局部道路連通空間的性質(zhì)

黃 瑞

在拓?fù)鋵W(xué)中，與“連通”相關(guān)的拓?fù)淇臻g有很多，如本科階段點集拓?fù)浣滩臅攸c介紹的連通空間、局部連通空間和道路連通空間，而局部道路連通空間教材一般只是簡單介紹或直接放在課后習(xí)題中.

學(xué)者也對相關(guān)此類問題進(jìn)行研究，如田蘇妹［1］研究了強連通空間和局部強連通空間.鄭春燕［2］研究了局部強序列連通空間.王小霞［3］研究了局部δ-連通空間.汪賢華［4］研究了局部θ-連通空間等等.局部道路連通空間與局部連通空間的定義非常相似，同時它們也有一些相似的平行性質(zhì)，文獻(xiàn)［5-9］研究了它們的性質(zhì)，包括等價刻畫、拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)、有限可積性質(zhì)等.

基于已有的研究，本文首先研究了拓?fù)淇臻g道路連通分支的性質(zhì)，指出道路連通分支與連通分支之間的關(guān)系，即拓?fù)淇臻g連通分支的道路連通分支就是這個拓?fù)淇臻g的道路連通分支.隨后，不同于文獻(xiàn)［6］的方法，證明了局部道路連通空間的連通分支與道路連通分支等價，局部道路連通性對開子空間可遺傳等.還證明了局部道路連通性是可商性質(zhì)，并給出點集拓?fù)浣滩闹械纳鲜鏊膫€拓?fù)淇臻g之間蘊涵關(guān)系不成立的例子.文章中的概念和符號均可見文獻(xiàn)［7］，文中不再一一說明.

1 預(yù)備知識

定義1［7］設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x，y∈X.若X中有一個連通子集同時包含x和y，則稱x，y在X中是連通的.

定義2［7］設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x，y∈X.若X中有一條從x到y(tǒng)的道路，則稱x，y在X中是道路連通的.

引理1 若y1，y2在拓?fù)淇臻gX的子空間Y中是（道路）連通的，則y1，y2在X中是（道路）連通的.

證明 由定義1 可知，連通的情形顯然成立，下面證明道路連通的情形.

設(shè)f是Y中從y1到y(tǒng)2的道路，則存在連續(xù)映射f:[0,1] →Y，滿足f(0) =y1，f(1) =y2.

構(gòu)造映射g:[0,1] →X，滿足?t∈[0,1]，f(t) =g(t)，則g是X中從y1到y(tǒng)2的一條道路，即y1，y2在X中是道路連通的.

引理1 的逆不成立.例如1，5 在實數(shù)空間中是（道路）連通的，但1，5 在實數(shù)空間的子空間Y=（0，2）∪（4，6）中卻不是（道路）連通的.

根據(jù)引理1 得到定義2 的等價定義.

定義3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x，y∈X.若X中有一個道路連通子集同時包含x和y，則稱x，y在X中是道路連通的.

由定義1 和定義3 可以推出，拓?fù)淇臻g中點的道路連通關(guān)系蘊涵點的連通關(guān)系.

引理2［9］設(shè)(Y,Γ|Y)是(X,Γ)的開子空間，V?Y，則V∈Γ?V∈Γ|Y.

引理3 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的開子空間，y∈Y,U?Y，則U是y在X中的鄰域?U是y在Y中的鄰域.

引理4 設(shè){Aγ}γ∈Γ是拓?fù)淇臻gX的道路連通子集構(gòu)成的一個集族. 若則是X的一個道路連通子集.

2 道路連通分支的性質(zhì)

定理1 設(shè)D是拓?fù)淇臻gX的一個道路連通分支，則

（1）若Y是X的一個道路連通子集，且Y∩D≠?，則Y?D.

（2）D是X的道路連通子集.

證明（1）取a∈Y∩D.?y∈Y，則X中的道路連通子集Y同時包含a，y，根據(jù)定義3 得到a，y在X中是道路連通的.又a∈D，因此得到y(tǒng)∈D.

（2）?x，y∈D.由定義3，X中存在一個道路連通子集Yxy同時包含x，y.顯然有Yxy∩D≠?，應(yīng)用定理1 的（1）得到Y(jié)xy?D.最后根據(jù)引理1 得到x，y在D中是道路連通的，因此D是X的道路連通子集.

（道路）連通分支是拓?fù)淇臻g中“極大”的（道路）連通子集，即拓?fù)淇臻g的任意一個（道路）連通子集必定完全含在拓?fù)淇臻g的某一個（道路）連通分支中.拓?fù)淇臻g的連通分支一定是閉集，但道路連通分支未必是閉集.

例1 在歐氏平面R2中，令則S、T和T*都是R2中的道路連通子集. 令S1=S∪T，文獻(xiàn)［3］指出S1是連通的，但不是局部連通的，也不是道路連通的.易見S1的道路連通分支是S和T，而=S1，因此S1的道路連通分支S不是閉集.

令=S∪T∪T*.應(yīng)用引理4，是R2中的道路連通子集，但是在T- {(0,0)}中的每一個點的任何一個不包含(0,0)點的鄰域不連通也不道路連通，因此既不是局部連通的也不是局部道路連通的.

定理2 設(shè)D是拓?fù)淇臻gX的連通分支C的一個道路連通分支，則D也是拓?fù)淇臻gX的道路連通分支.

證明 根據(jù)定理1 的（2）可得，D是C的道路連通子集，因此D也是拓?fù)淇臻gX的一個道路連通子集.不妨設(shè)D含在X的道路連通分支D*之中，即D?D*.

由定理1 的（2）可得，D*是X的一個道路連通子集，從而D*也是X的一個連通子集.

易見D*∩C?D∩C=D≠?，由連通分支是極大的連通子集可得D*?C.將D*看成C的道路連通子集，D*∩D=D≠?，再根據(jù)定理1 的（1）得到D*?D.

綜上，D=D*.

推論1 拓?fù)淇臻g中道路連通的連通分支同時也是這個拓?fù)淇臻g的一個道路連通分支.

定理3 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，X的道路連通分支D必定含在X的某個連通分支C中，即D?C，且D是C的一個道路連通分支.

證明 由定理1 的（2）可得，D是X的一個道路連通子集，從而D也是X的一個連通子集，因此存在X的連通分支C，D?C.下面證明D是C的一個道路連通分支.

將D看成C的道路連通子集，不妨設(shè)D含在C的道路連通分支D*之中，即D?D*.易見X的道路連通子集D*滿足D*∩D=D≠?，因此得到D*?D.

綜上，D=D*.

定理4 拓?fù)淇臻g的道路連通分支就是該空間連通分支的道路連通分支.

定理5［9］拓?fù)淇臻g中既開又閉的非空連通子集是連通分支.

定理6 拓?fù)淇臻g中既開又閉的非空道路連通子集是連通分支也是道路連通分支.

證明 設(shè)A是拓?fù)淇臻g中滿足定理條件的子集，則A滿足定理5 的條件，因此A是這個拓?fù)淇臻g的連通分支.又因為A是道路連通的，所以由推論1 知結(jié)論成立.

3 局部道路連通空間的性質(zhì)

定理7 局部道路連通性對開子空間可遺傳.

證明 設(shè)y是局部道路連通空間X的開子空間Y中的任意一個點，U是y在Y中的任意一個鄰域，由引理3 可得，U也是y在X中的一個鄰域.根據(jù)局部道路連通空間的定義，y在X中存在道路連通鄰域V，V?U?Y.再由引理3 可得，V是y在Y中的道路連通的鄰域，且V?U，因此Y是局部道路連通空間.

定理8 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，X是局部道路連通空間?X的任意開集的任意道路連通分支是開集.

證明 必要性. 設(shè)D是X的任意開集U的任意一個道路連通分支,下面證明D是X中的開集.?x∈D?U，則U是x在局部道路連通空間X中的一個開鄰域，于是x在X中存在一個道路連通鄰域V，x∈V?U.將V看成U中的道路連通子集，V∩D≠?.根據(jù)定理1 的（1），V?D，從而得到D是x在X中的一個鄰域.因此，D是X中的開集，再由引理2 得到D也是U中的開集.

充分性.?x∈X，設(shè)U是x在X中的任意一個鄰域，因此存在X中的開集V，x∈V?U.作V的道路連通分支，不妨設(shè)x在V中所在的道路連通分支為D，則x∈D?V?U.由條件知D是X中道路連通的開集，因此D是x在X中的道路連通鄰域，且D?U，最后由局部道路連通空間的定義知結(jié)論成立.

定理9 在局部道路連通空間中，連通分支與道路連通分支等價.

證明 道路連通分支對拓?fù)淇臻g作了一個“劃分”，即拓?fù)淇臻g等于若干個兩兩無交的非空道路連通分支的并.應(yīng)用定理1 的（2）和定理8 得，局部道路連通空間的道路連通分支滿足定理6 中的條件，再由定理6 和定理4得結(jié)論成立.

推論2 在局部道路連通空間中，點的連通關(guān)系與點的道路連通關(guān)系等價，連通性與道路連通性等價.

定理10 設(shè)f是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的連續(xù)映射，D是Y的道路連通分支.?x∈f-1(D)，記x在X中所在的道路連通分支為Dx，則Dx?f-1(D).

證明 假設(shè)存在∈Dx，?f-1(D). 易見x,∈Dx，由道路連通性是在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)得，f(Dx)是Y中同時包含f(x)、f()的道路連通子集.

又由于f(x) ∈f(Dx)∩D，即f(Dx) ∩D≠?.根據(jù)定理1 的（1），f(Dx) ?D，由此得f(xˉ) ∈D，這與假設(shè)xˉ?f-1(D)矛盾.

定理11 局部道路連通性是可商性質(zhì).

證明 設(shè)（X R，ΓR）是局部道路連通空間（X，Γ）相對于X中的等價關(guān)系R而言的商空間.U是（X R，ΓR）的任意一個開集，DU是U的任意一個道路連通分支.根據(jù)定理8，要證明商空間（X R，ΓR）是局部道路連通空間，只需證明DU∈ΓR即可.由商空間的定義得DU∈ΓR?P-1(DU) ∈Γ，其中商映射P是自然投射P:(X,Γ) →(X R,ΓR).

不妨把商映射P在X的子集P-1(U) 上的限制仍然記作P，則P:P-1(U) →U也是一個連續(xù)映射.?x∈P-1(DU)，記x在P-1(U)中所在的道路連通分支為Dx. 應(yīng)用定理10 得Dx?P-1(DU).

P-1(U) 是局部道路連通空間X的開子空間，由定理7 得拓?fù)淇臻gP-1(U)也是局部道路連通空間.再由定理9 得，P-1(U)的每一個道路連通分支Dx都是P-1(U)中的開集，從而得P-1(DU)是X的開子空間P-1(U) 中的開集.最后根據(jù)引理2 得，P-1(DU)也是X中的開集，即P-1(DU) ∈Γ.

4 連通性、局部連通性、道路連通性和局部道路連通性之間的蘊涵關(guān)系及不成立的例子

連通性、局部連通性、道路連通性和局部道路連通性四者之間的12 個關(guān)系中只成立兩個必然的蘊涵關(guān)系，即（局部）道路連通空間一定是（局部）連通空間，其余10 個蘊涵關(guān)系不成立的例子均可在文章中的例1、例2、例3中找到.

例2 設(shè)Y=（0，2）∪（4，6）是實數(shù)空間的子空間，則Y既是局部連通空間也是局部道路連通空間，但Y既不是連通空間也不是道路連通空間.

例3［10-11］假設(shè)拓?fù)淇臻gX是定義在不可數(shù)集X上的可數(shù)補空間，則X是連通空間、局部連通空間，但X不是道路連通空間、局部道路連通空間.

5 結(jié)語

文章研究了局部道路連通空間的道路連通分支、開子空間和商空間等方面的性質(zhì)，列舉了連通性、局部連通性、道路連通性和局部道路連通性四者之間的10 個不成立的蘊涵關(guān)系的例子.至于局部道路連通空間的其他性質(zhì)，例如和分離性公理、緊空間有關(guān)的性質(zhì)，仍需作進(jìn)一步研究.