基于教育數(shù)學理念解析幾何與高等代數(shù)課程教學內(nèi)容的幾點思考

宋元鳳，丁寶霞，于曉銳，李秀英

張景中院士在二十世紀八十年代提出了教育數(shù)學的概念.經(jīng)過40 多年的發(fā)展，教育數(shù)學的理念已經(jīng)得到了廣泛推廣，學者們編著了很多教育數(shù)學方面的書籍和教材，例如張景中［1-3］院士編著的《幫你學數(shù)學》《新概念幾何》《從數(shù)學教育到教育數(shù)學》，張景中等［4］編著的《新思路數(shù)學》，張奠宙等［5-6］編著的《中學代數(shù)研究》《中學幾何研究》.一些高校和中小學的數(shù)學教師進行了基于教育數(shù)學的數(shù)學課程教學改革，激發(fā)了學生的學習興趣和內(nèi)驅力，提高了學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

教育數(shù)學就是教育的數(shù)學，改造數(shù)學使之更適宜于教學與學習，教育數(shù)學就是要把數(shù)學變得容易，要把數(shù)學教學變得更容易［3］.如何才能使數(shù)學變得更容易，將數(shù)學知識融匯串聯(lián)起來，用更簡單、直觀的表述方法表述數(shù)學概念和結論，用更簡單、通用的求解方法解決數(shù)學問題，把抽象知識變得具體都能使數(shù)學變得更容易.

課題組致力于研究教育數(shù)學理念下高校數(shù)學類課程的教學改革與實踐，并取得了一些成果［7-8］.本文基于教育數(shù)學理念研究了平面二次曲線方程的化簡，柱面、錐面、旋轉曲面的方程求解，向量的共線、共面位置關系的判定，子空間直和的定義和判定.

1 關于平面二次曲線方程化簡的知識模塊的思考

高校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的解析幾何課程中平面二次曲線方程化簡這部分知識一般先講解二次曲線的直徑、二次曲線的主直徑和主方向，通過轉軸、移軸的方法化簡平面二次曲線的方程，應用不變量化簡平面二次曲線的方程［9］.這樣講解平面二次曲線方程的優(yōu)點是比較全面，缺點是比較抽象，而且用時比較多，學生學起來不感興趣，覺得難度太大.與此同時，通過轉軸與移軸化簡二次曲線方程時，針對一個具體的二次曲線方程的化簡，如果沒有給出新的坐標原點與旋轉方向則無法用這個辦法進行平面二次曲線方程的化簡.應用不變量化簡平面二次曲線的方程時理論介紹和邏輯推理過多，學生也會覺得枯燥乏味提不起學習興趣.

所謂平面二次曲線方程的化簡就是把方程（1）通過坐標變換化成一個只含有平方項和常數(shù)項的方程.針對平面二次曲線方程的化簡給出一種直接的方法即配方法.

設平面二次曲線方程為：

如果a12= 0，對方程（1）直接進行如下配方，有

即

即

通過平面二次曲線方程（2）可以判斷出平面二次曲線的大致圖形包括圓、橢圓、雙曲線等.

如果a12≠0，對方程（1）進行如下配方，有

整理得

令坐標變換為：

方程（3）可化為

這樣就把平面二次曲線方程（1）化成了不含交叉項的方程，按照前面介紹的方法就可以把平面二次曲線方程化簡成類似于（2）的方程，便于學生理解和接受.

2 關于求解柱面、錐面、旋轉曲面方程的知識模塊的思考

在求解柱面、錐面、旋轉曲面的方程問題時，一些解析幾何教材不是按照求解圖形方程的三個步驟即建立坐標系、設圖形上任意點的坐標、建立關于任意點坐標的方程去求解的.

例1［9］柱面準線方程是

母線方向是-1：0：1，求這個柱面的方程.

解法一 設M1(x1,y1,z1)為準線上的任意一點，則過M1(x1,y1,z1)的母線方程是

并且有

令

于是有

將式（6）代入式（5）消去參數(shù)t，得到所求柱面方程為：

這道題開始時是在柱面準線上任取一點，然后把這個點作為已知點，求過這個點的母線方程.這樣表述沒有錯誤，但是會給學生造成一點理解上的困難，和中學階段的求圖形方程的敘述略有區(qū)別.這道題還可以這樣求解.

解法二 設M(x,y,z)為所求柱面上的任意一點，則過點M的母線與準線交于一點，設為M1(x1,y1,z1).過點M的母線方程為：

并且有

令

于是有

將式（8）代入式（7）消去參數(shù)t，得到所求柱面方程為：

通過這道例題的求解會發(fā)現(xiàn)，這道題的解法二沿用了中學的方法，這種方法學生們更加熟悉，也更容易接受.

3 關于向量位置關系的知識模塊的思考

向量位置關系的相關問題是位置關系的一類基本問題，向量的位置關系包括兩向量共線、三向量共面等問題.

3.1 兩向量共線

兩個向量有共線與不共線兩種位置關系，判定兩個向量是否共線有多種方法，在教授這部分知識時，也需要總結這些方法，從一個高維度上理解這些知識，清楚知識間的脈絡關系.

命題1 若向量a≠0，則向量b與向量a共線的充要條件是b=xa，系數(shù)x被a與b唯一確定.

命題2 兩向量共線的充要條件為這兩向量線性相關.

命題3 兩非零向量a{X1,Y1,Z1}，b{X2,Y2,Z2}共線的充要條件為

例2［9］設a與b為兩個不共線的向量，試證明向量u=a1a+b1b，v=a2a+b2b共線的充要條件為

證明u與v兩向量共線的充要條件為向量u與v線性相關，即存在不全為零的數(shù)λ與μ，使得λu+μv= 0，于是有

因為a與b為兩不共線的向量，所以a與b為兩線性無關向量，于是

由于λ與μ不全為零，于是向量u與v共線的充要條件是

3.2 三向量共面

三個向量有共面與不共面的位置關系，判斷三個向量是否共面有多種方法.

命題4 若向量a，b不共線，則向量r與a，b共面的充要條件為r=xa+yb，系數(shù)被r，a，b唯一確定.

命題5 三向量共面的充要條件為這三向量線性相關.

命題6 三向量a，b，c共面的充要條件為（a，b，c）= 0.

命題7 三個非零向量a{X1,Y1,Z1}，b{X2,Y2,Z2}，c{X3,Y3,Z3}共面的充要條件為

例3 已知直角坐標系內(nèi)向量a{3,4,5}，b{1,2,2}，c{9,14,16}，判別這些向量是否共面.

解法一 因為

所以a,b,c共面.

解法二 因為2a+ 3b-c= 0，所以向量a，b，c線性相關，于是a，b，c共面.

這類問題一般可以針對一個問題采用多個解法，從而達到知識的橫向總結與歸納，加深對相關知識的理解，使數(shù)學知識被融匯串聯(lián)起來，這樣數(shù)學變得更容易，實現(xiàn)了教育數(shù)學理念.

4 關于子空間直和的知識模塊的思考

高等代數(shù)中子空間直和這部分內(nèi)容，講述子空間直和的定義和判定［10］，這部分知識比較抽象，沒有直觀性，不妨與幾何知識相結合進行理解. 三維幾何空間可以表示成R3= {(x,y,z)|x,y,z∈R }，xoy坐標面可以表示成P= {(x,y,0)|x,y∈R }，z軸可以表示成Q={(0,0,z)|z∈R }（圖1）.顯然，P，Q都是R3的子空間，并且R3=P+Q.易知，對于R3中任意向量(x,y,z) 可表示為(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z)，其中(x,y,0) ∈P，(0,0,z) ∈Q，并且向量(x,y,z)的分解式是唯一的.因為幾何空間R3的維數(shù)是3，子空間P的維數(shù)是2，子空間Q的維數(shù)是1，可見維數(shù)(R3) = 維數(shù)(P) + 維數(shù)(Q)，并且P∩Q= {0}.R3=P+Q被稱為直和.

圖1 三維空間中向量的分解

通過三維幾何空間引入直和的定義與判定，從而從幾何直觀上更好地理解這部分知識.

5 結語

本文從教育數(shù)學理念出發(fā)，利用配方法研究了平面二次曲線方程的化簡，利用求解圖形方程的常規(guī)方法去求解柱面、錐面、旋轉曲面的方程，總結了向量的共線、共面位置關系判定的三種方法，從幾何直觀角度引入了子空間直和的定義和判定，從而使數(shù)學學起來更加容易.