二次直紋面的判定定理

安佰玲，宋玉輝，朱 菊，張 巖

（淮北師范大學(xué)，安徽 淮北 235000）

1 引言及預(yù)備知識

二次直紋曲面，除了退化為平面的情形，包括柱面、錐面、單葉雙曲面和雙曲拋物面，是空間解析幾何研究的重要曲面之一。二次直紋面在實(shí)際生活中具有重要應(yīng)用，文獻(xiàn)［1-3］討論了其在建筑、機(jī)械及水利工程中重要的應(yīng)用，文獻(xiàn)［4］以雙曲拋物面為基本單元，提出了一種新型的光滑復(fù)合雙曲面結(jié)構(gòu)。二次直紋面的判定方法和條件是解析幾何研究的重要問題：文獻(xiàn)［5］與［6］利用不變量和半不變量給出了二次直紋面的經(jīng)典判別法；文獻(xiàn)［7］與［8］利用直線的參數(shù)方程及其方向向量的存在性，得到了二次直紋面的判定定理；文獻(xiàn)［9］根據(jù)析因子法，根據(jù)三條直母線方向向量是否共面，分類討論了二次直紋曲面的等價(jià)條件。根據(jù)二次曲面的代數(shù)方程的特征，不少作者利用二次型和矩陣特征值理論研究其幾何特征，如文獻(xiàn)［10］與［11］研究二次曲面圓截面的存在性問題和求解方法。本文將借助于矩陣特征值理論，給出二次直紋面的判定定理及求解方法，這種方法不僅能夠給出各種二次直紋面的判定條件，得到其標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)給出變量之間的變換公式。從不同角度研究二次直紋面的判定條件，不僅有助于認(rèn)識這類曲面的幾何特征，同時(shí)還為利用數(shù)學(xué)軟件繪制二次直紋面的圖形，提供了理論依據(jù)和可行的算法［12］。

為方便定理的敘述，筆者首先利用二次型理論將一般三元二次方程F(x,y,z)=ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33z2+2ɑ12xy+2ɑ13xz+2ɑ23yz+2ɑ14x+2ɑ24y+2ɑ34z+ɑ44=0 轉(zhuǎn)化為只含平方項(xiàng)的三元方程f(x′,y′,z′)=0。令

于是

對于二次曲面S:F(x,y,z)=0，存在正交變換

使得Q′AQ=diag(λ1,λ2,λ3)。于是

亦即

令Fi(x,y,z)=Aix+Biy+Ciz+Di,i=1,2,3,4,對于二次曲面S:F(x,y,z)=0，若

引理1［9］設(shè)二次曲面S:F(x,y,z)=0，若F(x,y,z)可以分解成（3）的形式，則二次曲面S為二次直紋面。

引理2［5］在空間直角坐標(biāo)系中，只含兩個(gè)變元（坐標(biāo)）的三元方程所表示的曲面是一個(gè)柱面，它的母線平行于所缺元（坐標(biāo)）的同名坐標(biāo)軸。

引理3［5］設(shè)二次曲面S:F(x,y,z)=0，除了退化為平面的情形，二次直紋面利用不變量的判定條件是

（i）單葉雙曲面：I3≠0,I2≤0,I4＞0;

（ii）雙曲拋物面：I3=0,I4＞0;

（ⅲ）二次錐面：I3≠0,I2≤0，I4=0;

（ⅳ）橢圓柱面：I3=I4=0,I2＞0，I1K2＜0;

（ⅴ）雙曲柱面：I3=I4=0,I2＜0，K2≠0;

（ⅵ）拋物柱面：I3=I4=I2=0,K2≠0.

2 主要結(jié)論及證明

設(shè)λ1,λ2,λ3是二次型Φ(x,y,z)=ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33z2+2ɑ12xy+2ɑ13xz+2ɑ23yz對應(yīng)的實(shí)對稱矩陣A的特征根，也稱為二次曲面S:F(x,y,z)=0 的特征根，根據(jù)零特征根的個(gè)數(shù)和特征根的符號，分成三種情形討論二次直紋面的判定條件。

作平移坐標(biāo)變換

二次曲面S:F(x,y,z)=0 在原坐標(biāo)系通過旋轉(zhuǎn)變換（1）和平移變換（5）復(fù)合后的坐標(biāo)系O″-x″y″z″中的簡化方程

證畢

定理2.2設(shè)λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)零特征值λi，若βi=0 或者βi≠0，λlλm＜0,(l,m≠i)，則二次曲面S為二次直紋面

證 若λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)零特征值λi，不妨設(shè)λ1=0，由（2）可得

當(dāng)β1=0，由引理2 可知，方程（7）表示母線平行于x軸的二次柱面。

當(dāng)β1≠0，并且λ2λ3＜0,方程（7）的左端可以分解成（3）的形式，因此二次曲面S是直紋面。此時(shí)，將方程（7）配方可得

將（8）式代入（9）式 中，得到二次曲面S:F(x,y,z)=0 在原坐標(biāo)系通過旋轉(zhuǎn)變換（1）和平移變換（9）復(fù)合后的坐標(biāo)系O″-x″y″z″中的簡化方程

此時(shí)二次曲面S:F(x,y,z)=0 為雙曲拋物面。

同理可證只有λ2=0 或者只有λ3=0 的情形。證畢

定理2.3設(shè)λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)非零特征根λi，則二次曲面S必為二次直紋面，并且

（ⅰ）當(dāng)βl,βm不全為零（l,m≠i），二次曲面為二次柱面；

（ⅱ）當(dāng)βl=βm=0（l,m≠i）且，二次曲面為兩個(gè)重合的平面；

（ⅲ）當(dāng)βl=βm=0（l,m≠i）且，二次曲面為兩個(gè)平行的平面。

證 若λ1,λ2,λ3僅有一個(gè)非零特征根λi，不妨設(shè)λ1≠0，由（2）可得

由引理1 可知，方程（11）表示的曲面為二次直紋面，并且

（?。┊?dāng)β2,β3不全為0，分兩種情形討論：

若β2,β3中僅有一個(gè)為0，由引理2 可知，二次曲面S:F(x,y,z)=0 表示柱面。

若β2β3≠0，方程（11）的左端可以分解成（3）的形式，即

由引理1 可知二次曲面S是直紋面。此時(shí)，方程（11）同解于方程組

易求得直母線Γt的方向向量

vt={0,2β1λ1,-2β2λ1} ∥{0,β1,-β2}，于是二次曲面S:F(x,y,z)=0 為柱面。

（ⅱ）當(dāng)β2=β3=0，將方程（11）配方可得

同理可證只有λ2≠0 或者只有λ3≠0 的情形。證畢

綜上由定理2.1、定理2.2 及定理2.3 的證明過程，利用特征值可以分別給出二次錐面、二次柱面、單葉雙曲面及雙曲拋物面的判定條件。

推論2.1二次曲面S:F(x,y,z)=0 為錐面?λ1,λ2,λ3的符號不全相同，且

推論2.2二次曲面S:F(x,y,z)=0 為柱面?λ1,λ2,λ3中只有λi=0，且βi=0 或者λ1,λ2,λ3中只有λi≠0，且βl,βm不全為零（l,m≠i）。

推論2.1由定理2.2和定理2.3的證明可得。

推論2.3二次曲面S:F(x,y,z)=0 為單葉雙曲面?λ1λ2λ3≠0，且存在λi,使得λiɑ*44＜0,λlλm＜0(l,m≠i),其中

推論2.4二次曲面S:F(x,y,z)=0 為雙曲拋物面?λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)零特征值λi，且βi≠0，λlλm＜0,(l,m≠i)。

3 應(yīng)用舉例

例1［5，9］判斷下列三元二次方程是否表示二次直紋面，如果是二次直紋面請指明其具體類型，

（1）x2+y2+z2-2xz-1=0；

（2）x2+y2+z2+2xy+6xz-2yz+2x-6y-2z+1=0；

（3）3x2+6xy+6xz+4yz-y+z=0.

（1）解法一 易求得，二次曲面的特征根和正交矩陣為

由于α′=(0,0,0)，從而β1=β2=β3=0,由推論2.2，方程x2+y2+z2-2xz-1=0 表示柱面。柱面的簡化方程為y′2+2z′2-1=0

依據(jù)正交變換（1），x2+y2+z2-2xz-1=0 表示橢圓柱面，方向?yàn)?/p>

解法二 計(jì)算二次曲面的不變量和半不變量得I3=I4=0,I2=1 ＞0，I1K2=-3 ＜0，根據(jù)引理3，可以判斷二次曲面為橢圓柱面。

（2）解法一 由R軟件求得（結(jié)果精確到百分位），特征根和正交矩陣為λ1=4,λ2=1.56,λ3=-2.56,，由于α′=(1,-3,-1)，從而β1=0,β2=2.27,β3=2.43,于是,由推論2.1可得，方程x2+y2+z2+2xy+6xz-2yz+2x-6y-2z+1=0，表示錐面，依據(jù)平移坐標(biāo)變換公式（5），可知錐面的頂點(diǎn)為(0,-1.46,0.95) 。

解法二 計(jì)算二次曲面的不變量和半不變量得I3=-16≠0,I2=-8 ≤0，I4=0;于是根據(jù)引理3，可以判斷二次曲面為二次錐面。

（3）解法一 由R 軟件求得（結(jié)果精確到百分位），特征根λ1=6.77，λ2=-1.77，λ3=-2.00，Q=，由 于，從 而β1=0,β2=0,β3=0.71,于 是,由推論2.3 可得，方程3x2+6xy+6xz+4yz-y+z=0 表示單葉雙曲面，依據(jù)平移坐標(biāo)變換公式（5），可知其中心為(0,0,0.355) 。

解法二 計(jì)算二次曲面的不變量和半不變量得I3=15≠0,I2=-22 ≤0,I4=6 ＞0;于是根據(jù)引理3，可以判斷二次曲面為單葉雙曲面。

4 結(jié)語

基于特征值和不變量的方法得到的結(jié)論一致，從計(jì)算量上相差不大，都容易通過數(shù)學(xué)軟件求得。但是本文提出的方法還能夠獲得二次曲面更多的幾何特征，比如頂點(diǎn)、中心、方向和主方向等，通過正交坐標(biāo)變換公式和平移坐標(biāo)變換還能夠得到二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及在原坐標(biāo)系中的位置。