新課標(biāo)下小學(xué)數(shù)學(xué)探究能力培養(yǎng)的思考
——以北師大版六年級(jí)“圓的周長(zhǎng)”一課為例

文| 孫治國(guó)

新課標(biāo)背景下，學(xué)生是課堂的主體，教師需要結(jié)合學(xué)生成長(zhǎng)特點(diǎn)講授新知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、探索與創(chuàng)新，主動(dòng)分享不同看法?，F(xiàn)以北師大版六年級(jí)“圓的周長(zhǎng)”一課為例，帶領(lǐng)學(xué)生探索圓的周長(zhǎng)并透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)所在，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

（一）創(chuàng)設(shè)生活化情境，幫助學(xué)生初步構(gòu)建周長(zhǎng)的概念

教師：同學(xué)們，我問(wèn)大家一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一只螞蟻沿著正方形走一圈，另一只螞蟻沿著圓走一圈，誰(shuí)走的路程長(zhǎng)？請(qǐng)大家大膽猜一猜。

學(xué)生積極思考，通過(guò)討論明確：要比較螞蟻?zhàn)哌^(guò)的路程，應(yīng)該比正方形一圈的長(zhǎng)度與圓一圈的長(zhǎng)度。

教師：現(xiàn)在我們換一種方式，請(qǐng)思考下面的問(wèn)題：（1）自行車(chē)和滑板車(chē)，誰(shuí)的輪子大？（2）如果同樣只滾動(dòng)一圈，誰(shuí)能滾得更遠(yuǎn)？（3）為什么它滾得遠(yuǎn)？

學(xué)生結(jié)合剛才的結(jié)論，明確上述問(wèn)題比較的是圓的一圈的長(zhǎng)度，回顧與圓相關(guān)的知識(shí)。

教師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诩埳袭?huà)一個(gè)圓，裁剪好。請(qǐng)把裁剪好的圓舉起來(lái)，摸一摸圓的周長(zhǎng)，再次體會(huì)圓的周長(zhǎng)是什么。（實(shí)際上是圓的一周的長(zhǎng)度）那么，現(xiàn)在繼續(xù)思考，自行車(chē)和滑板車(chē)誰(shuí)滾得遠(yuǎn)？

學(xué)生發(fā)散思維，思考自行車(chē)輪與滑板車(chē)輪滾動(dòng)與圓之間的聯(lián)系。

生1：車(chē)輪滾動(dòng)一圈，留下一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)就是車(chē)輪的周長(zhǎng)。

生2：輪子越大，滾動(dòng)距離越長(zhǎng)，是不是圓越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)？

教師設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：①自行車(chē)車(chē)輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是什么？②滑板車(chē)車(chē)輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是什么？

學(xué)生進(jìn)一步思考與探索，教師指名回答。

生1：自行車(chē)車(chē)輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是自行車(chē)車(chē)輪的周長(zhǎng)。

生2：滑板車(chē)車(chē)輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是滑板車(chē)車(chē)輪的周長(zhǎng)。

（設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用生活元素讓知識(shí)立體化與直觀化，同時(shí)通過(guò)多個(gè)有關(guān)聯(lián)的問(wèn)題帶領(lǐng)學(xué)生走入生活情境，回顧車(chē)輪滾動(dòng)一圈的情況，引發(fā)探討興趣，理解周長(zhǎng)的真正含義，構(gòu)建周長(zhǎng)的概念。）

（二）展開(kāi)新課

教師結(jié)合小學(xué)生思維特征，帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，并設(shè)計(jì)引導(dǎo)問(wèn)題：觀察圓并說(shuō)一說(shuō)什么是圓的周長(zhǎng)，總結(jié)圓的周長(zhǎng)概念。

學(xué)生再次摸一摸剛才剪好的圓形紙片，再比一比同桌的圓，結(jié)合教師的問(wèn)題，指著圓片爭(zhēng)相講解。

生1：圓的周長(zhǎng)是這個(gè)圓一圈的長(zhǎng)度。

生2：圓形的周長(zhǎng)是圍成圓形的這條曲線(xiàn)的長(zhǎng)度。

教師及時(shí)揭示課題：現(xiàn)在，我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓的周長(zhǎng)。請(qǐng)大家回答下面的問(wèn)題：（1）我們知道了圓的周長(zhǎng)，如果讓你制作另一個(gè)圓，要求比第一個(gè)圓大或者小，你該怎么畫(huà)？（2）想一想，圓的周長(zhǎng)是一個(gè)長(zhǎng)度，它和什么有關(guān)系呢？

生3：增加圍成圓的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度，讓圓變大。

生4：用手部做出擴(kuò)大的動(dòng)作，表示大圓；用縮小的動(dòng)作表示小圓。

學(xué)生意識(shí)到可以增加或者縮短圓的直徑，從而調(diào)整圓的周長(zhǎng)。

教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概念，提出問(wèn)題：同學(xué)們，如果用嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)的語(yǔ)言該如何表述圓的周長(zhǎng)？

學(xué)生結(jié)合圓的概念與性質(zhì)思考，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去組織語(yǔ)言，總結(jié)出圍成圓一周的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度是圓的周長(zhǎng)，成功獲得圓的周長(zhǎng)概念。

（設(shè)計(jì)意圖：教師在情境創(chuàng)設(shè)后直接揭示課題，通過(guò)簡(jiǎn)單的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概念性知識(shí)，將更多的時(shí)間放在后續(xù)探索環(huán)節(jié)，保證新課程標(biāo)準(zhǔn)能夠落實(shí)到位。）

二、探索交流，解決問(wèn)題

（一）自主探究

教師結(jié)合圓的周長(zhǎng)概念，帶領(lǐng)學(xué)生探索如何測(cè)量圓的周長(zhǎng)。

教師通過(guò)設(shè)問(wèn)引思，幫助學(xué)生明確探索方向：（1）你如何知道這個(gè)圓形紙片的周長(zhǎng)？（2）你會(huì)使用什么辦法？（3）你的辦法最簡(jiǎn)單嗎？請(qǐng)展示你的辦法。

學(xué)生自主思考與研究，計(jì)算圓形紙片的周長(zhǎng)。

生5 展示自己的辦法，用一根繩子繞圓形紙片外邊一圈，做好標(biāo)記，用直尺量繩子長(zhǎng)度，就算出這個(gè)圓片的周長(zhǎng)。

教師巧設(shè)問(wèn)題：（1）大家都是用這個(gè)辦法嗎？（2）想一想，還有其他不同的辦法嗎？

學(xué)生展示不同方法，有的將圓立起來(lái)，放在紙上，記錄圓與紙接觸的位置，再滾動(dòng)圓片一周，待滾動(dòng)至剛才圓上標(biāo)記的點(diǎn)時(shí)停下來(lái)，計(jì)算這一段滾動(dòng)的長(zhǎng)度。

教師總結(jié)：看來(lái)大家想到的辦法，基本上是把圓的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)的長(zhǎng)度。很棒，這種辦法很不錯(cuò)，是測(cè)量圓的周長(zhǎng)的好辦法。但如果圓非常大，你該怎么計(jì)算？古代的人是怎么計(jì)算圓的周長(zhǎng)的？

（學(xué)生思維開(kāi)始活躍，期待學(xué)習(xí)計(jì)算圓周長(zhǎng)的新辦法。）

設(shè)計(jì)意圖：調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究完成圓的周長(zhǎng)測(cè)量，同時(shí)將數(shù)學(xué)思想“化曲為直”滲透其中，幫助學(xué)生去尋找解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的辦法，培養(yǎng)其探究意識(shí)與實(shí)踐能力。

（二）喚醒動(dòng)力

教師結(jié)合上一環(huán)節(jié)留下的疑問(wèn)，創(chuàng)設(shè)新情境，用多媒體展示北京天壇公園的回音壁，又展示“天津之眼”的摩天輪，引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）回音壁與摩天輪都是什么形狀？（2）請(qǐng)問(wèn)如何用剛才的方法去測(cè)量它們的周長(zhǎng)？是否有其他辦法測(cè)量？

（學(xué)生紛紛思考并分享自身真實(shí)想法。）

生1：可以運(yùn)用目測(cè)法計(jì)算。

生2：可以用比例與估算的方式去計(jì)算。

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧：圓包括半徑、直徑、圓心，那么圓的周長(zhǎng)是否跟這些元素有關(guān)？

（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)新情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟用“圍”的方式測(cè)量圓周長(zhǎng)的局限性，從而理解計(jì)算圓周長(zhǎng)公式的重要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，成功喚醒學(xué)生探索動(dòng)力，進(jìn)一步落實(shí)新課標(biāo)。）

三、小組活動(dòng)，深入探究

（一）合作探究

教師設(shè)問(wèn)：（1）長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算需要什么條件？（2）計(jì)算圓的周長(zhǎng)需要知道什么？

學(xué)生回顧并積極回答。

生1：長(zhǎng)方形周長(zhǎng)需要知道長(zhǎng)與寬。

生2：在滾動(dòng)的方式下計(jì)算圓的周長(zhǎng)時(shí)，圓的半徑與直徑并沒(méi)有發(fā)生變化，所以計(jì)算圓的周長(zhǎng)需要知道圓的半徑或者直徑。

師：那么，你們知道圓的周長(zhǎng)與半徑、直徑有什么關(guān)系嗎？

學(xué)生分小組探究，各小組通過(guò)估算明白圓的周長(zhǎng)是直徑的2 倍多，但未獲得具體數(shù)值。

（設(shè)計(jì)意圖：用合作探究方式解決上一環(huán)節(jié)遺留問(wèn)題，探究圓的半徑、直徑與周長(zhǎng)的關(guān)系。教師通過(guò)問(wèn)題與小組合作讓學(xué)生挖掘知識(shí)之間的聯(lián)系，讓知識(shí)成功遷移，有利于培養(yǎng)學(xué)生探索能力。）

（二）推導(dǎo)公式

教師布置小組任務(wù)：（1）將圓分成不同等份，計(jì)算圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍。（2）各小組試著計(jì)算，分別分成4 份、6 份，記錄計(jì)算結(jié)果。

各小組展示計(jì)算結(jié)果：

1 小組：把圓等分成4 份，圓的周長(zhǎng)是直徑的4倍左右。

2 小組：在分成6 份時(shí)，圓的周長(zhǎng)比圓的直徑的3 倍多一點(diǎn)。

……

各小組進(jìn)入深度探索階段，計(jì)算出3.2 左右。

教師：圓的周長(zhǎng)除以直徑的商為什么都不是固定的數(shù)呢？是因?yàn)闇y(cè)量不準(zhǔn)確而存在一些誤差嗎？

學(xué)生繼續(xù)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此，從而陷入困惑。

教師：大家的計(jì)算過(guò)程完全正確，但不可避免會(huì)出現(xiàn)誤差，只能減少誤差。在古代，我國(guó)知名數(shù)學(xué)家祖沖之揭示循環(huán)小數(shù)圓周率為3.1415926……比歐洲早好幾百年。后來(lái)歐洲數(shù)學(xué)家進(jìn)一步研究之后，圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后12411 億位，并用π 表示。

學(xué)生在知道這一結(jié)果之后，開(kāi)始崇拜公式的形成過(guò)程，水到渠成地理解了圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式為C=πd 或者C=2πr。

（設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合上一環(huán)節(jié)的疑問(wèn)，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)猜想與假設(shè)，進(jìn)入公式推導(dǎo)過(guò)程。在合作探究中用舊知學(xué)習(xí)新知，幫助學(xué)生通過(guò)思考與驗(yàn)證形成新知識(shí)，體會(huì)極限思想，同時(shí)滲透愛(ài)國(guó)主義教育，讓學(xué)生帶著自豪感去探索數(shù)學(xué)知識(shí)。）

四、回顧整理，實(shí)踐應(yīng)用

（一）總結(jié)提升

教師總結(jié)：今天你有什么新收獲？

學(xué)生：了解了圓的周長(zhǎng)概念，學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)公式，知道了祖沖之和圓周率的故事。

教師：你認(rèn)識(shí)了哪位科學(xué)家？他的成就是什么？

學(xué)生：我們認(rèn)識(shí)了祖沖之，他發(fā)現(xiàn)了圓周率。

教師：你還想了解有關(guān)圓的什么知識(shí)？

學(xué)生：圓在生活中有哪些應(yīng)用呢？

學(xué)生討論后，教師總結(jié)：在日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面，都可以見(jiàn)到圓的形象，如蒙古包、汽車(chē)輪胎等。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)知識(shí)之間的聯(lián)系去學(xué)習(xí)新知識(shí)，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想，掌握學(xué)習(xí)方法與運(yùn)用技巧，促進(jìn)學(xué)生總結(jié)和探究等能力的提升。）

（二）實(shí)踐應(yīng)用

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)開(kāi)展變式訓(xùn)練。

教師多媒體出示之前展示的天壇回音壁與摩天輪的圖片，邀請(qǐng)學(xué)生解決最初遇到的問(wèn)題。教師給出的已知條件是：天壇回音壁圍墻直徑為65 m，摩天輪圓形框架半徑為55 m，同時(shí)設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練，一個(gè)長(zhǎng)方形的羊圈需要改裝成圓形羊圈，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5 m，寬為3 m，請(qǐng)問(wèn)圓形羊圈的周長(zhǎng)是多少？

學(xué)生利用C=πd 或者C=2πr 完成計(jì)算并展示計(jì)算結(jié)果，感受π 的關(guān)鍵作用，還靈活地將長(zhǎng)方形周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生運(yùn)用親自探究得出的圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式去解決最開(kāi)始遇到的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)變式訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)其解決問(wèn)題能力的同步培養(yǎng)。）

五、教學(xué)反思

（一）創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)探究欲望

在新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師通過(guò)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)幫助學(xué)生建立起圓的周長(zhǎng)概念，全面調(diào)動(dòng)其生活經(jīng)驗(yàn)。但教師還應(yīng)重視學(xué)生適應(yīng)社會(huì)能力的培養(yǎng)，如帶領(lǐng)學(xué)生探索測(cè)量山體與湖泊的周長(zhǎng)，增強(qiáng)其社會(huì)責(zé)任感，學(xué)生將化身設(shè)計(jì)師去探索與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

（二）重視推導(dǎo)過(guò)程，探究新的知識(shí)

在自主探究與合作探究環(huán)節(jié)，教師成功融入“化曲為直”的數(shù)學(xué)思維，快速啟動(dòng)問(wèn)題“倍數(shù)關(guān)系”，使各小組憑借集體智慧探索圓的周長(zhǎng)公式。在該過(guò)程中，學(xué)生觀察圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，大膽去驗(yàn)證與分享想法，獲得圓周率近似值。在新課標(biāo)下，教師要圍繞學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，增設(shè)小組競(jìng)賽活動(dòng)，讓各小組更積極地去探索，融合創(chuàng)新思維去尋找測(cè)量圓的周長(zhǎng)的辦法。在比賽氛圍中，學(xué)生能夠突破“圍”與“繞”的局限，用計(jì)算的方式去解決實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合圓的近似值去探索圓的周長(zhǎng)、直徑、半徑之間的聯(lián)系，對(duì)前面的猜想、推理做到及時(shí)驗(yàn)證與總結(jié)，通過(guò)探究獲得新知識(shí)，提升自身探究能力。

（三）豐富教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)習(xí)情感

教師要促進(jìn)知識(shí)遷移，做到“為遷移而教”，讓學(xué)生善于探索知識(shí)間的聯(lián)系并加以利用，讓原有知識(shí)與新知識(shí)同化、融合。教師不僅要通過(guò)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算引出圓的周長(zhǎng)，還應(yīng)融入游戲元素，例如，設(shè)計(jì)闖關(guān)游戲，先說(shuō)出長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算原理，成功者進(jìn)入第二關(guān)看到圓的周長(zhǎng)、圓周率的故事，化身數(shù)學(xué)家去總結(jié)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式。再進(jìn)入第三關(guān)，看到思維導(dǎo)圖內(nèi)容，理清知識(shí)之間的聯(lián)系，如圓的直徑、半徑、圓周率與周長(zhǎng)的關(guān)系。與此同時(shí)，教師用短視頻展示劉徽、祖沖之獲得的世界性成就，講述更多數(shù)學(xué)家的故事，激發(fā)學(xué)生探索、愛(ài)國(guó)的學(xué)習(xí)情感。

（四）開(kāi)展實(shí)踐應(yīng)用，強(qiáng)化探究能力

在總結(jié)與訓(xùn)練環(huán)節(jié)，教師應(yīng)融入更多實(shí)際元素，設(shè)計(jì)多種類(lèi)型的訓(xùn)練，例如，計(jì)算圓形廣場(chǎng)、圓形農(nóng)田的周長(zhǎng)等。在實(shí)踐應(yīng)用中，學(xué)生將圓周長(zhǎng)計(jì)算公式運(yùn)用于生活各方面，更好地理解圓周長(zhǎng)計(jì)算與運(yùn)用的實(shí)際意義。