NA樣本下隨機(jī)設(shè)計(jì)情形部分線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷

黃玉 ,晏振

(1.南寧學(xué)院教育學(xué)院,廣西 南寧 530200;2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

1.引言

如果對于集合{1,2,···,n}中的任何兩個互不相交的非空子集A1與A2,以及對每個變元均非降(非升)的函數(shù)f和g,只要E[f2(xi,1)]<∞,E[g2(xj,2)]<∞,都有Cov{f(xi,1),g(xj,2)}≤0,則稱隨機(jī)變量序列{xi,1≤i ≤n}是NA(Negative Association)序列.

NA序列的概念被Block等[1]、Joag-Dev和Proschan[2]首次介紹和研究,并且有很多學(xué)者研究了NA序列的極限性質(zhì)(中心極限定理、強(qiáng)大數(shù)律和完全收斂性等),如楊善朝和王岳寶[3]在NA相依樣本下研究了非參數(shù)回歸函數(shù)加權(quán)核估計(jì)的相合性;韋來生[4]研究了密度核估計(jì)的矩相合性、逐點(diǎn)強(qiáng)相合性和一致強(qiáng)相合性;Braenden和Jonasson[5]研究了抽樣中的負(fù)相關(guān)性等.由于NA序列的概念在可靠性理論、滲透理論和多元統(tǒng)計(jì)分析等中有廣泛的應(yīng)用,因此目前已經(jīng)有少量論文研究在NA相依樣本下具體的統(tǒng)計(jì)推斷,如QIN和LEI[6]研究了NA樣本下含附加信息時分位數(shù)的估計(jì);付鴻濤等[7]研究了NA樣本下隨機(jī)設(shè)計(jì)情形線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷等.

本文研究如下隨機(jī)設(shè)計(jì)情形部分線性模型:

其中y為一維響應(yīng)變量,(xT,t)T為(r+1)×1維隨機(jī)設(shè)計(jì)向量,β為r×1維回歸系數(shù)向量,g為定義在[0,1]上的未知函數(shù),ε為隨機(jī)誤差且滿足E(ε|x)0.設(shè)(x1,t1),(x2,t2),···,(xn,tn)是隨機(jī)設(shè)計(jì)向量的觀測值,y1,y2,···,yn為響應(yīng)變量的觀測值和ε1,ε2,···,εn為隨機(jī)誤差序列.同時,我們假定{x1,y1,x2,y2,···,xn,yn}為NA隨機(jī)變量序列.

部分線性模型是由Engle等[8]引入來研究天氣對電力需求的影響,這是非參數(shù)模型和線性模型的一種組合形式,具有非參數(shù)模型的穩(wěn)健以及線性模型的容易解釋的優(yōu)點(diǎn).由于它的廣泛應(yīng)用,部分線性模型在獨(dú)立樣本下得到了廣泛的研究[9-10].如QIN[11]、SHI和LAU[12]在獨(dú)立樣本下引進(jìn)經(jīng)驗(yàn)似然方法來研究部分線性模型等.

經(jīng)驗(yàn)似然方法是由Owen[13-14]提出,這一方法與非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法比較具有很多突出的優(yōu)點(diǎn)，如：用經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)造置信區(qū)域除有域保持性、變換不變性和置信域的形狀由數(shù)據(jù)自行決定等之外，還有糾偏性及無需構(gòu)造樞軸統(tǒng)計(jì)量等優(yōu)點(diǎn).正因?yàn)槿绱?這一方法引起了許多統(tǒng)計(jì)學(xué)者的興趣,他們將這一方法應(yīng)用到各類統(tǒng)計(jì)模型和領(lǐng)域中,如Owen[15]構(gòu)造了線性模型回歸系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然置信域;CHEN 和QIN[16]研究了非參數(shù)回歸模型的經(jīng)驗(yàn)似然;于卓熙等[17]研究了NA誤差下部分線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷等.而Kitamura[18]首次提出用分塊經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)造總體參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間;CHEN和WONG[19]用分塊經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)造了總體分位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間;CHEN和GUI[20]研究了EL方法在鞅差分誤差部分線性模型中的應(yīng)用;LEI和QIN[21]在誤差負(fù)相關(guān)的情況下用EL方法構(gòu)造部分線性模型回歸參數(shù)的置信區(qū)域;HUANG和QIN[22]則研究了強(qiáng)混合樣本下部分線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷等.

本文主要研究NA樣本下隨機(jī)設(shè)計(jì)情形部分線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷,將分塊技術(shù)應(yīng)用到經(jīng)驗(yàn)似然方法中,證明部分線性模型的參數(shù)β的對數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近分布為卡方分布,由此構(gòu)造NA樣本下β的經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間.同時,在有限樣本情況下給出運(yùn)用分塊技術(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然與不運(yùn)用分塊技術(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然的模擬對比結(jié)果.

接下來我們將在論文的第2節(jié)給出本文的主要結(jié)果,第3節(jié)給出模擬結(jié)果,第4節(jié)給出引理及主要結(jié)果的證明.

2.主要結(jié)果

其中Wni(t)(i1,2,···,n)為定義在[0,1]上的一個非負(fù)權(quán)重函數(shù).

為了獲得β的經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間,我們需要對經(jīng)驗(yàn)似然得分函數(shù)的和進(jìn)行大塊和小塊分割:令

其中rm(m?1)(p+q)+1,lm(m?1)(p+q)+p+1,m1,2,···,k,kkn[n/(p+q)],這里[a]表示a的整數(shù)部分,pp(n)和qq(n)為正整數(shù)且滿足p+q≤n.

為簡便記ωniωn,i(β)(1 ≤i≤n).則分塊經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量如下:

(-2log)分塊經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量為

其中λ(β)Rr由下式確定

其中常數(shù)C>0.

(A3) 如上面描述的n,p,q和k,滿足:

(i)pk/1;

(ii)qk/0.

接下來我們給出本文的主要結(jié)論.

定理2.1若假設(shè)條件(A1)到(A3)都滿足,則當(dāng)時有

3.模擬結(jié)果

在模擬中,我們考慮如下部分線性模型:

我們用BELCI記由式(2.3)給出的β的基于經(jīng)驗(yàn)似然方法的置信區(qū)間,用ELCI記文[17]中的定理2.1給出的β的基于經(jīng)驗(yàn)似然方法的置信區(qū)間.

從上述(3.1)模型中重復(fù)產(chǎn)生1000個樣本{(xi,ti,yi),i1,2,···,n},樣本容量分別為n300,400,500,600和700.我們選取Nadaraya-Watson權(quán)重函數(shù)如下:

其中K(t)(15/16)(1?t2)2I(|t| ≤1),Kh(t)取hn-1/2(logn)-1/2,q[n5/25],p[n6/25],名義置信水平1?α0.95.利用這些模擬樣本,計(jì)算出1000次BELCI和ELCI置信區(qū)間中包含真值β的覆蓋率,所得結(jié)果見表1.

模擬結(jié)果表明,置信區(qū)間的覆蓋率隨著樣本容量的增加逐步接近名義置信水平0.95.同時在相同的樣本容量下,BELCI比ELCI有更精確的覆蓋率,因此運(yùn)用分塊技術(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然優(yōu)于不運(yùn)用分塊技術(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然.

4.引理及主要結(jié)果的證明

用C表示與n不相關(guān)的正實(shí)數(shù),它每次的出現(xiàn)可能代表不同的值.為了證明本文的主要結(jié)果,下面給出本文需要的引理.

引理4.1[23]假設(shè){ηi,1 ≤i≤n}是NA隨機(jī)變量序列,并滿足Eηi0,E|ηi|s<∞(s>1),且{ai,i ≥1}是一個實(shí)數(shù)列.則存在常數(shù)C(與所給的s有關(guān))使得

引理4.2假設(shè)A1,A2是兩個無公共元素的整數(shù)子集,且{ηi,1∪A2}是NA隨機(jī)變量序列.函數(shù)g1: Rn1R和g2: Rn2R的偏導(dǎo)數(shù)存在且有界,用∥?g/?ti∥∞表示的偏導(dǎo)數(shù)g的上確界.則有

證見文[24]的引理1和文[25]的引理3.5的證明.

引理4.3若假設(shè)條件(A1)到(A3)都滿足,則當(dāng)時有

證根據(jù)假設(shè)條件(A1)(iii)和(A2),我們有

對任意給定的Rr且∥l∥1,有

同理可證

得(4.1)和(4.2),故引理4.3證畢.

引理4.4若假設(shè)條件(A1)到(A3)都滿足,且任意給定的Rr滿足∥l∥1,則當(dāng)時有

由引理4.2,當(dāng)∥x∥≤r,∥y∥≤r時,有

為了證明(4.4),只需證明,對任意給定的Rr且∥l∥1,有

由引理4.3,我們證得(4.6)和(4.7),現(xiàn)在只需證明(4.5).

作為準(zhǔn)備,我們首先證明

由平穩(wěn)性和文[25]的引理3.2的證明,我們得

根據(jù)引理4.2和(4.3),可證得

再由(4.13)和(4.14)得

因此證得(4.11).

根據(jù)引理4.2和平穩(wěn)性,可得

因此我們證得(4.8).由(4.12)和(4.13),得(4.9)和(4.10).故引理4.4證畢.

引理4.5若假設(shè)條件(A1)到(A3)都滿足,且任意給定的Rr滿足∥l∥1,則當(dāng)時有

由q ≤Cp,n ?k(p+q)≤Cp,可得(4.16).而根據(jù)引理4.4得(4.17).所以接下來我們只需證明(4.18)和(4.19).我們先證明(4.18).

作為準(zhǔn)備,我們首先證明

根據(jù)引理4.4的證明,我們需要證,對任意給定的Rr且∥l∥1,有

由引理4.1和(4.15),可以證明

則根據(jù)Cr不等式,我們有(4.24).

因此由(4.22)和(4.25)可推出(4.21).

由(4.20)和(4.21),接下來我們?yōu)榱俗C得(4.18)需要證明如下：

證得(4.26).因此,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和(4.26),我們證得

根據(jù)引理4.2和假設(shè)條件(A3),可證得

由此證得(4.27).類似我們可證得(4.28)到(4.31).因此證得(4.18).

接下來證明(4.19).對任意給定的Rr且∥l∥1,有

因此得到(4.19),故引理4.5證畢.

定理2.1的證明運(yùn)用引理4.5和文[6]中定理2.1的證明,本文定理2.1得證.