概率論與數理統(tǒng)計課程思政的方法探索

王小飛 周亞群 王佳佳

摘?要：《概率論與數理統(tǒng)計》課程是高等院校理工類和經管類學生的必修課程，該門課程的學習效果直接影響后續(xù)專業(yè)課程的學習。結合教學經驗總結以及《高校思想政治工作質量提升工程實施綱要》文件的相關要求，本文介紹了《概率論與數理統(tǒng)計》課程思政教學方法的若干探索，其目的是提高學生學習的主動性，增強學生對該門課程的學習興趣。

關鍵詞：概率論與數理統(tǒng)計；教學；課程思政

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.04.082

0?引言

概率論與數理統(tǒng)計是高等院校理工類和經管類學生的基礎課程之一，是學生日后參加社會生產和工作的必要基礎。隨著社會的發(fā)展，概率論與數理統(tǒng)計課程在經濟、管理、社會生活和科學研究等方面有著越來越廣泛的應用。概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象客觀規(guī)律的一門學科，是數學的一個重要分支，其主要內容包含隨機事件及其概率、隨機變量及其期望、隨機變量的數字特征、大數定律與中心極限定理等內容。該門課程是理工科學生和經管類學生的必修課程，是高等數學的后續(xù)課程。大多數高等院校將該門課程放在學生大學生活的第三、第四學期進行學習。隨著年級的升高，部分學生的學習熱情有所下降，如何提高高年級學生對該門課程的學習興趣顯得非常重要。

另外，中共教育部黨組于2017年12月發(fā)布了《高校思想政治工作質量提升工程實施綱要》，詳細規(guī)劃了“十大育人”體系。《實施綱要》要求深入推動習近平新時代中國特色社會主義思想進教材、進課堂、進頭腦，大力推動以“課程思政”為目標的課堂教學改革，優(yōu)化課程設置，修訂專業(yè)教材，完善教學設計，加強教學管理，梳理各門課程所蘊含的思想政治教育元素和所承載的思想政治教育功能，融入課堂教學各環(huán)節(jié)，實現思想政治教育與知識體系教育的有機統(tǒng)一。培育選樹一批“學科育人示范課程”，建立一批“課程思政研究中心”（摘自《高校思想政治工作質量提升工程實施綱要》）。根據《實施綱要》要求，如何在該門課程中進行課程思政，也是需要探索的一個課題。

本文將從課程教學方法、在教學過程中如何進行課程思政等方面進行探索。

1?教材選擇

首先開設該門課程的學生是二年級以上的學生，學習該門課程時很多數學知識可能已經忘記，這樣會讓他們喪失學習該門課程的學習熱情。為了提高學生的學習熱情，我們可以在講授知識點之前適當復習一下需要用到的相關數學知識，提高他們的學習信心。其次，該門課程的可供參考的教材很多，難度不一。因此我們在選用教材時需要提前閱讀教材，盡量選擇一本適合自己學生的教材。

2?結合多媒體進行教學

由于該門課程一些定義和例子比較繁瑣，所以可以適當結合多媒體進行教學?？梢酝ㄟ^圖表、動畫等提高學生的課堂注意力。其次需要根據不同的學生，對課堂內容進行適當調整。對于比較繁瑣的證明，可以適當簡化其證明過程，力求化復雜為簡單，講清楚其證明思路，留充足的時間給學生自己練習。

3?在教學中引入生活案例，進行課程思政

在第一次上課時，可以給學生講解下我國概率統(tǒng)計的發(fā)展歷程，特別是介紹下我國數理統(tǒng)計學科和概率論學科的奠基人許寶騄先生。2010年9月1日，我國概率統(tǒng)計學科的奠基人許寶祿教授百年誕辰紀念會在北京大學舉行。國家統(tǒng)計局總統(tǒng)計師鮮祖德出席紀念會并致辭。鮮祖德說，“許寶祿教授是中國早期從事數理統(tǒng)計學和概率論研究并達到世界先進水平的杰出數學家，在中國開創(chuàng)了概率論、數理統(tǒng)計的教學與研究工作。許寶祿教授熱愛祖國，崇尚科學，他一生淡泊名利，為人謙和，刻苦鉆研。他晚年雖然體弱多病，仍頑強地堅持科研和教學工作，為提升我國的統(tǒng)計研究和應用水平作出了巨大貢獻，直至生命的最后一息。許寶祿教授對科學研究的態(tài)度和精神永遠值得我們學習，他是中國統(tǒng)計學界的驕傲”。在講授相關知識點時，可以用一些生活中的例子，提高學生的學習興趣。如：

例1：春節(jié)燃放煙花爆竹是延續(xù)了兩千余年的民族傳統(tǒng)，但燃放煙花爆竹也經常引發(fā)意外，造成慘劇。假定每次燃放煙花爆竹引發(fā)火警的概率是十萬分之一，若春節(jié)期間北京有100萬人次燃放煙花爆竹。計算沒有引發(fā)火警的概率。

解：用n表示燃放爆竹的人數，Aj表示第j次燃放沒有引發(fā)火警。則n=106，B=∩nj=1Aj表示春節(jié)期間燃放煙花爆竹沒有引發(fā)火警。由案例背景可知A1，A2，…，An相互獨立，且P（Aj）=1-10-5。則P（B）=P（∩nj=1Aj）=（1-10-5）n≈4.5×10-5

由此可知，不發(fā)生火警是一個小概率事件，在一次試驗中是不可能發(fā)生的。即不引起火警是不可能的。如文獻[6]所述：“據報道：2005春節(jié)期間，從臘月三十下午5時至正月初五下午3時，北京市共接報火警818起，其中煙花爆竹引發(fā)的火災282起，除夕夜接報火警444起，因燃放煙花引起的火情172起。市衛(wèi)生局統(tǒng)計，因燃放煙花爆竹致傷到28家重點醫(yī)院救治的有307人，4人因燃放煙花爆竹死亡”。講完該例子后，我們接著可以說有些地方政府春節(jié)期間禁止燃放煙花爆竹是合理的，是為了人民的切身利益，從而提高學生對政府政策的理解度，增強學生對政府的支持度。

例2：在講授貝葉斯公式時候，可以用如下的例子：俗話說“只有再一再二，沒有再三再四”，這是為什么呢？接著介紹貝葉斯公式。然后用貝葉斯公式來分析這一問題。經過計算可以發(fā)現，一個本來誠信的人，假如連續(xù)兩次撒謊，經過兩次使用貝葉斯公式，可以發(fā)現此人的誠信度急劇下降，第三次別人將不會再相信此人。類似的例子還有“烽火戲諸侯”，銀行放貸等。講完這些例子后，可以接著進行德育教育，說明誠實守信的重要性質。

例3：在講授正態(tài)分布時，力求介紹清楚正態(tài)分布的性質及其應用，說明正態(tài)分布很簡單，但是可以描述生活中的很多事。接著進行德育教育，正態(tài)分布很簡單，但是其在生活中有很多應用，即大道理有時候都非常簡單，如中國古代思想家教育家孔子的名言“己所不欲，勿施于人”，這句話雖然非常簡單，但是說明的道理卻很深刻，很多外國人也知道，由此來增強學生的民族自豪感。

例4：假設P（Bi）=ε，i=1，2，…，B1，B2，…相互獨立。其中ε表示很小的正數，A=∪

i=1Bi，求P（A）。

解：P（A）=P（∪

（1-ε）n=1。

該例求法比較簡單，但是隱含的思想比較深刻。由于ε很小，所以在一次試驗中事件Bi不會發(fā)生。事件A表示無窮多次試驗中，事件Bi至少發(fā)生一次的概率，由計算結果可知，無窮多次試驗中，事件Bi肯定會發(fā)生。這也是小概率思想，即概率不為0的事件只要堅持一直做下去，肯定會發(fā)生，但是在一次試驗中，小概率事件不發(fā)生。正如俗話說“常在河邊走，哪能不濕鞋”“常在江湖飄，哪有不挨刀”都是這個道理?？梢跃緦W生，平時注意防范微小的錯誤，不然日積月累，會發(fā)生質的變化，可能釀成大禍。

例5：結合時事熱點進行授課，如在講授數學期望時，可以分析如下問題：在進行社區(qū)大規(guī)模核酸檢測時，分成幾人一組進行混檢效率最高？

解：假設需要對n個人進行檢測，人群中的病毒攜帶者的概率為p，每次將l個人的唾液樣本進行混合檢測。若混合樣本的檢測結果為陰，則說明這l人都不攜帶該病毒。否則說明這l人中至少有一人攜帶該病毒，接下來需要將l人進行逐一檢測以找出病毒攜帶者。問題是將l設置為多少最合適呢？若用X表示每個人的檢測次數，則X的可能取值為1/l，1+1/l。取值的概率分別為：

P（X=1/l）=（1-p）l，P（X=1+1/l）=1-（1-p）l

從而可知：EX=1-（1-p）l+1/l。在實際中得到p的估計后，自然是希望EX越小越好。因此這是一個簡單的求極值問題，很容易得到合理的l的估計。

例6：在講授數學期望定義時，先講清期望的定義。以離散型隨機變量為例，假定隨機變量X的分布律為：

P（X=xi）=pi，i=1，2，…

則當級數∑

i=1xipi的求和不會因為求和次序的改變而發(fā)生改變。講完該知識點后，可以接著進行課程思政，即我們說的加法具有交換律是指在有限項的情況下，當求和項具有無窮多項時，交換律就不一定成立。這蘊含了量變到質變的哲學思想。在學習和實踐中就必須首先作艱苦的量的積累工作，要有腳踏實地，埋頭苦干的精神，要一點一滴地做細小的事情，反對急于求成，立竿見影，揠苗助長，須知欲速則不達的道理。老子說：“為學日益，為道日損”?！叭找妗薄叭論p”都是量變的過程。在進行量的積累時就要充滿必勝的信心和信念，不能因量變的漫長和艱辛而放棄或失去信心，要相信規(guī)律、相信質變必然會發(fā)生（摘自對立統(tǒng)一規(guī)律、量變質變規(guī)律、否定之否定規(guī)，https：//www.doc88.com/p-98337093528.html-2011）。

例7：假定在n重伯努利實驗中，事件A出現在概率：P（A）=p，X表示n次實驗中事件A出現的次數，則

P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，…，n

稱X服從參數為n，p的二項分布，記為X～B（n，p）。講完該定義后，接著講如下例子：

假設有80臺機器，每臺及其發(fā)生故障的概率為0.01，假定機器之間是否發(fā)生故障是相互獨立的，假定每名維修工人只能同時維修一臺機器，假定有兩種維修方案，一種維修方案是配備三個工人同時維修80臺，第二種維修方案是配備四個工人，每人承包20臺。試問兩種維修方案，哪種不能及時維修的概率??？（該例來自文獻[2]）。

分析：在第一種方案下，用X表示80臺機器中需要維修的臺數，則根據問題背景可知：

X～B（80，0.01），不能及時維修的概率為：

P（X≥4）=∑80k=4Ck800.01k0.991-k=0.0091

在第二種方案下，用Ai表示“第i個人承包的20臺機器不能及時維修”，i=1，2，3，4。則不能即使維修等價于事件A1，A2，A3，A4至少有一個發(fā)生，即所求的概率為：

P（A1∪A2∪A3∪A4）≥P（A1）=∑20k=2Ck200.01k0.9920-k=0.0175

通過計算可以發(fā)現，第一種方案較好。本例中，n較大，p較小，因此可以近似地看成參數λ=np的泊松分布。第一種方案下，λ=np=0.8。所求概率為：

P（X≥4）=1-P（X≤3）≈1-∑3k=00.8kk！e-0.8≈0.0091

第二中方案下，λ=np=0.2，所求概率為：

P（X≥2）=1-P（X≤1）≈1-∑1k=00.2kk！e-0.2≈0.0175

可見兩種方法所得的結論是一致的。講完該例子后，可以進行課程思政。第一種方案是在三人合作的情況的取的結果，即說明團隊合作的重要性。一滴水，不管多么晶瑩剔透，風一吹，太陽一曬就會瞬間消逝，然而匯入大河，則會展示其無限的生命力。一道微光，起不了什么作用，可是千萬道光聚在一起，便足以驅走黑暗，帶來光明。在我們現實生活中，無處不體現團隊協(xié)作的重要性。就拿拔河比賽來說，即使個人的力量再強大，如果沒有相互協(xié)作，胡亂使勁，又有什么用呢？反之，即使個人的力量很渺小，但大家都勁往一處使，力往一處發(fā)，那么，勝利將是屬于他們的，因為分工明確，因為團結。古人云：“人心齊，泰山移”，這是對團隊協(xié)作的最好總結（摘自團隊協(xié)作的重要性（總結10篇），http：//www.qunzou.com/shenghuo/10296.html-2019）。

例8：在賭場，有很多人在賭廿一點時順便押對子。其規(guī)則如下：莊家從6副（每副52張）撲克中隨機發(fā)給你兩張。如果賭徒下注a元，當得到的兩張牌是一對時，莊家賠賭徒十倍，否則賭徒輸掉的賭注。如果賭徒下注100元，賭徒和莊家在每局中各期望贏多少元？（該例來自文獻[6]）。

解：用X和Y分別表示賭徒和莊家在一局中的獲利，a=100。則由古典概型可知

P（X=10a）=0.074，P（X=-10a）=1-0.074

于是每局賭徒期望贏得

EX=10a×0.074-10a×（1-0.074）=-18.6

每局莊家期望贏得

EY=-10a×0.074+10a×（1-0.074）=18.6

即每局賭徒期望以輸錢結束。進一步，結合強大數定律可知，樣本均值以概率1收斂到總體均值，即若長期賭下去，賭徒以概率1不會贏錢。如文獻[6]所述：“據記載，人類的賭博活動已經有三千多年的歷史了。在這漫長的歷史中，大量的賭徒早已輸光，而新的賭徒也在不斷地涌現并將不斷地輸光，為數極少的賭莊也有形成而且還會形成，但是在公平賭博模型下，它們最終總逃脫不掉破產的命運。容易理解，在非公平賭博模型下，賭徒破產和賭莊聚積賭資都將加快，而且賭莊會以一個正概率永不破產”。這個例子告訴學生一個人生哲理：不要做投機取巧的事情，只有越努力越幸運。想不通過自己的努力和付出，對工作、學習或生活進行蒙騙、造假，企圖獲得通過是行不通的。人生的路沒有捷徑可走，要一步一個腳印的去走，要撲下身子，扎扎實實地去做。

4?注意線上與線下教育相結合

在上課之前，要求同學們先預習相關內容，對不理解的地方通過微信群、QQ群等方式告知老師，這樣在課堂上可以進行針對性講解。在課堂結束后，可以適當給學生留下一些和生活密切相關的一些思考問題，如敏感性問題調查等，增強學生對該門課程的學習興趣。通過建立微信群、QQ群等方式，經常與學生溝通，了解學生的學習情況，視情況調整教學方式。另外可將學生課堂表現、課后思考問題的解答等納入課程過程考核，激發(fā)學生學習的主觀能動性。

2?總結

本文介紹了一些《概率論與數理統(tǒng)計》課程思政教學方法改革的一些思考，重點從教學內容及其方式的改革等方面進行了探索。在以后的教學中需要不斷總結經驗，緊跟時代步伐，根據國家的教育政策持續(xù)更新教學理念及其教學方法，不斷提高教學水平，希望能取得更好地教學效果。

參考文獻

［1］沈愛婷.大數據時代背景下概率論與數理統(tǒng)計的教學研究[J].赤峰學院學報：自然科學版，2018，34（10）.

[2]杜先能，孫國正.概率論與數理統(tǒng)計：理工類[M].合肥：安徽大學出版社，2012.

[3]張艷，陳美蓉，王亞軍，等.課程思政理念下概率論與數理統(tǒng)計?教學改革的探索與實踐[J].教書育人（高教論壇），2019，（12）：8283.

[4]張明輝.《新文科建設宣言》背景下中國語言文學專業(yè)語言學課程建設研究[J].遼東學院學報：社會科學版，2021，23（5）.

[5]楊金鐸.中國高等院?！罢n程思政”建設研究[D].長春：吉林大學，2019.

[6]何書元.概率引論[M].高等教育出版社，2011.