基于“一題一課” 探析習(xí)題生長
——以一道九年級習(xí)題教學(xué)探究為例

許科挺， 毛孟杰

(海曙區(qū)集士港鎮(zhèn)中心初級中學(xué)，浙江 寧波 315171)

眾所周知，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課具有數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、基本技能熟練化、數(shù)學(xué)思想方法外顯化等功能．浙教版《數(shù)學(xué)》教材中的復(fù)習(xí)課大多以“小結(jié)”和“目標(biāo)與評定”的形式來呈現(xiàn)，其中“小結(jié)”主要羅列本章需要理解、掌握的基本知識與基本技能，“目標(biāo)與評定”是以習(xí)題的形式來評估學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握程度，以及學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力情況．事實(shí)上，復(fù)習(xí)課還可以用另一種課的形式——“一題一課”來演繹．“一題一課”就是教師通過對一道題或一個(gè)材料的深入研究，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于學(xué)情，合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動，以達(dá)成多維目標(biāo)的教學(xué)過程[1]．

由此可見，“一題一課”是一個(gè)由“題”化“課”、對教材素材進(jìn)行“二次開發(fā)”的過程．這個(gè)過程需要教師找出適當(dāng)?shù)牟牧匣蝾}目，通過改編、組合、加工和延拓，設(shè)計(jì)出一個(gè)彼此相關(guān)的“習(xí)題鏈”，從而達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、基本技能熟練化、思想方法外顯化和綜合運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力等多維目標(biāo)．因此，“一題一課”的目標(biāo)能否有效達(dá)成，很大程度上取決于“習(xí)題鏈”的設(shè)計(jì)是否具有針對性．本文以一道二次函數(shù)的習(xí)題為母題，通過全方位、多層次的思考與探究，設(shè)計(jì)出一個(gè)可生長的、涵蓋初中數(shù)學(xué)主要知識點(diǎn)的習(xí)題鏈．

1 母題呈現(xiàn)

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)為D(1，4)，求拋物線的解析式及點(diǎn)A,B的坐標(biāo)．

圖1

(答案:y=-x2+2x+3,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0).)

功能分析母題是由浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué))九年級上冊第一章第3節(jié)“二次函數(shù)的圖像”的一道課后作業(yè)題改編而成．本題的價(jià)值主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：

1)從代數(shù)角度來說，要確定拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，應(yīng)由3個(gè)條件確定，如拋物線經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)，或拋物線經(jīng)過2個(gè)點(diǎn)和它的對稱軸，或拋物線經(jīng)過頂點(diǎn)和另一點(diǎn).因此，由“拋物線經(jīng)過頂點(diǎn)和y軸上的一點(diǎn)，求其解析式”的問題是一道常規(guī)題.解決這類問題的方法有一般式、分解式和頂點(diǎn)式3種.根據(jù)題目給出的條件，顯然用一般式和頂點(diǎn)式較為合適，采用待定系數(shù)法列方程(組)來解決．因此，母題不僅能鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的解決問題方法的選擇意識，從而提高學(xué)生解決問題的能力．

2)從幾何角度來說，題目中“拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)”的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成四邊形，坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)C,A構(gòu)成直角三角形，坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)C,B構(gòu)成等腰直角三角形，拋物線的頂點(diǎn)D與點(diǎn)A,B構(gòu)成等腰三角形，整條拋物線是以“拋物線對稱軸”為對稱軸的軸對稱圖形．若讓點(diǎn)或線段分別在拋物線上或拋物線的對稱軸上運(yùn)動，再結(jié)合相關(guān)的一些點(diǎn)和線段，就出現(xiàn)一系列有關(guān)長度、位置、相似、特殊圖形存在性等問題．這就有利于教師在設(shè)計(jì)習(xí)題過程中，把初中數(shù)學(xué)中的“代數(shù)與幾何”兩個(gè)重要領(lǐng)域有機(jī)融合起來，從而達(dá)到“一題貫通一片”的目的．

2 習(xí)題生長

生長1周長與面積問題.

例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)為D(1，4).聯(lián)結(jié)AC，CD，BD．

圖2

1)求四邊形ABDC的周長;

2)求四邊形ABDC的面積.

設(shè)計(jì)意圖我們知道，長度、角度和面積等是平面幾何重要的研究對象．從求點(diǎn)的坐標(biāo)深入到求圖形的周長和面積，是母題不斷深化的過程．學(xué)生在求四邊形ABDC的周長時(shí)，應(yīng)先通過勾股定理求出線段AC,CD和BD的長度，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想；在求四邊形ABDC的面積時(shí)，需要把一般四邊形進(jìn)行分割，化成熟悉的直角三角形和直角梯形來解決，這較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“化歸”思想．而數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)的“本質(zhì)”與“精神”．

生長2函數(shù)與角度問題.

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)為D(1，4).聯(lián)結(jié)BD，在BD上方的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，PH交BD于點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PB,PD,BC.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PQ的長度為s．

圖3 圖4

1)求s關(guān)于t的函數(shù)解析式;

2)當(dāng)PD∥BC時(shí)，求s的值以及∠PBH的正切值．

1)解如圖4，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則

即

則

QH=6-2t，

從而

PQ=PH-QH=-t2+2t+3-(6-2t)

=-t2+4t-3,

于是

s=-t2+4t-3(其中1

2)欲求s的值，先求t的值．

方法1如圖4，設(shè)DE與BC交于點(diǎn)M，PH與BC交于點(diǎn)N.由∠BOC=90°，OC=OB=3,知Rt△MEB和Rt△NHB都是等腰直角三角形，則

ME=EB=3-1=2,

NH=BH=3-t,

從而

DM=DE-ME=4-2=2,

PN=PH-NH=-t2+2t+3-(3-t)=-t2+3t.

由PD∥BC,PN∥DM,得四邊形DMNP是平行四邊形，則

DM=PN，

即

-t2+3t=2，

解得t=1(舍去)或t=2．下略.

方法2由PD∥BC得直線DP的斜率和直線BC的斜率相等，即

解得t=1(舍去)或t=2．

當(dāng)t=2時(shí)，

s=-t2+4t-3=-22+4×2-3=1,

PH=-t2+2t+3=-22+2×2+3=3,

BH=3-t=3-2=1,

故

設(shè)計(jì)意圖由BD上方的拋物線上的動點(diǎn)P，引起PQ,PN,QN和NH等線段長度的變化，從而使圖形由封閉走向開放、從靜態(tài)走向動態(tài)．在兩個(gè)變化數(shù)量之間探索彼此相互依存的關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)思想．在探究s與t的函數(shù)解析式的過程中，用到銳角三角函數(shù)或相似三角形性質(zhì)；在探求“當(dāng)PD∥BC時(shí)，求s的值以及∠PBH的正切值”的問題中，用到了等腰直角三角形、平行四邊形和直線斜率等性質(zhì)．學(xué)生在用圖形的性質(zhì)來簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程中，有利于提升自身的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

生長3全等與相似問題.

例4如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)為D(1，4).設(shè)M是拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AC與MB,若△MNB∽△AOC，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖5 圖6

解由△MNB∽△AOC且∠MNB=∠AOC=90°,得

這樣的點(diǎn)M有4處M1,M2,M3，M4，如圖6所示.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-t2+2t+3.

1)對于點(diǎn)M1,有

M1N1=3BN1，

即

-t2+2t+3=3(3-t)，

解得t=2或t=3(舍去).由

-t2+2t+3=-22+2×2+3=3，

知點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(2，3).

2)對于點(diǎn)M2,有

M2N2=3BN2，

即

-(-t2+2t+3)=3(3-t)，

解得t=-4或t=3(舍去).由

-t2+2t+3=-(-4)2+2×(-4)+3=-21，

知點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(-4，-21)．

3)對于點(diǎn)M3,有

BN3=3M3N3，

即

3-t=3(-t2+2t+3)，

4)對于點(diǎn)M4,有

BN4=3M4N4，

即

3-t=-3(-t2+2t+3)，

評注當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，3)時(shí)，△MNB≌△AOC．

設(shè)計(jì)意圖三角形相似是平面幾何中一種只要求保角的圖形變換，而三角形全等可看做相似比為1的相似變換，它是一種要求既保角又保距的圖形變換，因此全等與相似是幾何中重要的圖形變換．在探求符合“與已有的Rt△AOC相似的△MNB”的點(diǎn)M坐標(biāo)中，由于涉及兩個(gè)相似三角形直角邊不同的對應(yīng)關(guān)系和直角邊MN的不同表示方法，學(xué)生在解題中需要用到“分類討論”思想．“分類討論”思想不僅是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更是學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的一種具體表現(xiàn)．

生長4最值與定值問題.

例5如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)為D(1，4)，P是拋物線對稱軸m上的一個(gè)動點(diǎn)，線段PQ=1(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方).分別聯(lián)結(jié)CP和AQ,求CP+AQ的最小值．

圖7 圖8

解如圖8，過點(diǎn)Q作QE∥PC交y軸于點(diǎn)E，則

CP=EQ，CE=PQ=1．

聯(lián)結(jié)線段BE交直線m于點(diǎn)G，由于點(diǎn)A,B關(guān)于直線m對稱，從而

AQ=BQ,

于是

CP+AQ=EQ+BQ.

欲求CP+AQ的最小值，只需求EQ+BQ的最小值．根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”得:當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，EQ+BQ的值最小，最小值為線段BE的長度．由點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，CE=1，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，2),從而

圖9

證明設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),點(diǎn)N(x2,y2),經(jīng)過點(diǎn)M，N的直線解析式為

代入y=-x2+2x+3，整理得

由韋達(dá)定理,得

則

所以

生長5圖形與存在問題.

例6如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，頂點(diǎn)為D(1,4)，問：在拋物線對稱軸m上是否存在一點(diǎn)P，使△PBD是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖10 圖11

2)若BD=BP,則點(diǎn)P,D關(guān)于x軸對稱，故t=-4；

3)若PD=PB，則

(4-t)2=(0-t)2+(3-1)2,

引申1把例6中的點(diǎn)P改為在y軸上，把“△PBD是等腰三角形”改成“△PBD是直角三角形”，其他條件不變，問：這樣的點(diǎn)P是否存在？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明．

(答案：如圖12，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，3.5)或(0，-1.5)或(0，1)或(0，3)，使得△PBD是直角三角形.)

圖12 圖13

引申2在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，頂點(diǎn)為D(1,4)，問:在平面上是否存在一點(diǎn)P,使得以P,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(答案:如圖13，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-1)或(4，1)或(-2，7)，使得以P,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.)

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生探究特定圖形是否存在的問題，屬于探究性問題．它需要一定的構(gòu)造方法，通過該類問題的解決能有效地發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識．例6和它的兩個(gè)引申分別把所求的點(diǎn)放在拋物線的對稱軸、y軸和平面上，探究等腰三角形、直角三角形和平行四邊形是否存在的問題．學(xué)生解決這些題除了要用到等腰三角形、直角三角形和平行四邊形知識外，還需要用到圓和線段中垂線的知識，更需要具備分類討論思想和幾何直覺能力．

3 3點(diǎn)思考

筆者認(rèn)為，教師要進(jìn)行“一題一課”的習(xí)題設(shè)計(jì)，需要注意以下3個(gè)方面．

3.1 注重素材收集，思辨母題功能

作為生長為“習(xí)題鏈”的母題，它的素材主要源自教材中的典型例題、習(xí)題、中考題或?qū)W生熟悉的學(xué)習(xí)與生活背景．這些素材由于較為經(jīng)典或者廣為學(xué)生熟知，素材也較為貼近學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式，因此它比較容易激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生進(jìn)入積極參與探究活動的心理狀態(tài)．

由收集得到的素材改編成為的母題，它應(yīng)該具有習(xí)題的基本功能，比如母題既能有效考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法，又能提升學(xué)生解決問題的應(yīng)用意識；它還應(yīng)該具有潛在的生長功能，比如，母題由于具有良好的結(jié)構(gòu)，因此可以適當(dāng)改變它的條件，去探索結(jié)論的變化，或者給定一些特定的結(jié)論，去探索使結(jié)論成立的條件，或者它與數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域相結(jié)合，在更大的空間中探求問題的變化等．

3.2 研究習(xí)題生長，關(guān)注題間銜接

我們認(rèn)為，在將母題設(shè)計(jì)出一個(gè)習(xí)題系列時(shí)，一般有以下3種方法：1)從簡單到復(fù)雜.當(dāng)母題具有可以深化探究的可能時(shí)，設(shè)計(jì)習(xí)題可以從“簡單到復(fù)雜”．例如，例2是從母題結(jié)論中“拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)”出發(fā)，與已知條件中的兩點(diǎn)結(jié)合，設(shè)計(jì)出“探求四邊形的周長與面積”的問題.2)從靜態(tài)到動態(tài).當(dāng)母題條件處于封閉、靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，設(shè)計(jì)習(xí)題可以“從靜態(tài)到動態(tài)”．例如，母題中的拋物線、對稱軸、頂點(diǎn)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等都是靜態(tài)的、確定的，我們在拋物線上設(shè)置動點(diǎn)和在對稱軸上設(shè)置動線段，就出現(xiàn)了相應(yīng)線段長度的變化，從而為探求變量之間的函數(shù)關(guān)系和相關(guān)量的最值問題提供了可能.3)從單一到多維.當(dāng)母題條件較為單一時(shí)，設(shè)計(jì)習(xí)題可以“從單一到多維”．例如，母題中的條件僅有拋物線的頂點(diǎn)和其他4個(gè)定點(diǎn)，我們可以分別加上“平行”“相似”“等腰三角形”“直角三角形”和“平行四邊形”等元素，使習(xí)題變得更有韻味．

設(shè)計(jì)好一系列習(xí)題后，接下去應(yīng)關(guān)注習(xí)題之間的銜接，使之成為層次分明的“習(xí)題鏈”．習(xí)題之間的銜接，主要是數(shù)學(xué)知識間的銜接、數(shù)學(xué)思想方法間的銜接和思維層次上的銜接．

3.3 彰顯數(shù)學(xué)精神，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

習(xí)題鏈設(shè)計(jì)要有針對性，有利于“一題一課”教學(xué)多維目標(biāo)的達(dá)成.首先，每一道習(xí)題要有主干知識的考查，促使學(xué)生形成較為完備的數(shù)學(xué)知識體系；其次，習(xí)題要有重要數(shù)學(xué)思想的滲透，從而彰顯數(shù)學(xué)精神；最后，習(xí)題更要有對學(xué)生核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，尤其要突出對學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀等方面素養(yǎng)的提升[2]．