聚焦主干突能力 突出素養(yǎng)顯內(nèi)涵
——2022年寧波數(shù)學(xué)中考試題分析

蔡衛(wèi)兵, 楊一麗

(1.鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)，浙江 寧波 315100；2.寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315100)

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)的頒布，我國數(shù)學(xué)教育已全面開啟了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課程改革.核心素養(yǎng)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育改革，尤其是數(shù)學(xué)考試和評(píng)價(jià)的改革，我國正式邁進(jìn)素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)時(shí)代.從應(yīng)試能力考查過渡到高階思維認(rèn)知能力考查，致力于學(xué)生的核心素養(yǎng)培育，著眼于人的全面發(fā)展.2022年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題堅(jiān)持“立德樹人，引導(dǎo)教學(xué)，服務(wù)學(xué)生發(fā)展”的綠色命題理念，著力于數(shù)學(xué)知識(shí)和思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用和文化，以真實(shí)自然的試題材料、突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的試題內(nèi)容、新穎的試題呈現(xiàn)方式考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[1].試題布局設(shè)計(jì)科學(xué)合理，遵循課標(biāo)，穩(wěn)中有變，擴(kuò)大選材范圍，綜合考查“四基”“四能”；聚焦關(guān)鍵能力，重點(diǎn)考查“核心概念和思想方法”；突出素養(yǎng)內(nèi)涵，有效考查“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與潛能”；接軌PISA理念，適度考查頗具“寧波特色”的試題.

1 “五育”并舉，促進(jìn)全面發(fā)展

立足立德樹人根本任務(wù)，貫徹“五育并舉”教育方針.從立意和選材上引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注社會(huì)現(xiàn)實(shí)、時(shí)代發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生徜徉體育運(yùn)動(dòng)和藝術(shù)經(jīng)典，助力體美勞教育，強(qiáng)化、凸顯數(shù)學(xué)中考的思想教育和價(jià)值引領(lǐng)，用立德樹人熔鑄數(shù)學(xué)價(jià)值.

第3題以醫(yī)保信息化、標(biāo)準(zhǔn)化取得里程碑突破為背景，考查科學(xué)記數(shù)法，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，彰顯改革開放以來的建設(shè)成就，增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心和自豪感.

第5題以疫情防控體溫監(jiān)測(cè)為背景，考查統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，融入新冠肺炎疫情，體現(xiàn)社會(huì)責(zé)任、科學(xué)防治、精準(zhǔn)施策，共同守護(hù)生命安全和身體健康.

第8題利用我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“粟米之法”，考查學(xué)生用二元一次方程組解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)古代勞動(dòng)人民的智慧和成果，依托史料，彰顯人文價(jià)值，激發(fā)愛國情懷.

第14題利用國家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)中的抖空竹作為背景，考查切線的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理和弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算的知識(shí)，繼承和發(fā)揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，體會(huì)我國傳統(tǒng)文化的博大精深，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

第20題以選手參加跑步集訓(xùn)為素材，考查學(xué)生觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)及應(yīng)用數(shù)據(jù)分析解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生熱愛體育，倡導(dǎo)強(qiáng)健體魄，錘煉意志.

第21題應(yīng)用消防車云梯并結(jié)合PISA理念編擬而成，考查三角函數(shù)與解直角三角形，加強(qiáng)消防安全知識(shí)宣傳，提高全民消防安全意識(shí)，以科技化手段提升防滅火和應(yīng)急救援能力，為建設(shè)平安和諧社會(huì)發(fā)揮積極作用,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)社會(huì)的責(zé)任感、使命感.

第22題以農(nóng)科院專家指導(dǎo)學(xué)生種植小番茄為背景，實(shí)現(xiàn)對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)的考查，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活的意義，懂得了勞動(dòng)光榮、勞動(dòng)致富，弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，熱愛勞動(dòng)，為人生發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2 淡化技巧，注重通性通法

關(guān)注四基要求，體現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，注重本原性方法，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式和最普遍的操作程序，注重通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，力圖引導(dǎo)中學(xué)遵循教學(xué)規(guī)律、提高課堂教學(xué)效果，服務(wù)“雙減”政策實(shí)施，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效.

例1點(diǎn)A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函數(shù)y=(x-1)2+n的圖像上.若y1

( )

(2022年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題第9題)

分析本題主要考查二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)以及學(xué)生的畫圖能力和識(shí)圖能力.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析,將直觀函數(shù)圖像的概念代入求值，得

y1=(m-2)2+n，y2=(m-1)2+n，

從而

(m-2)2+n<(m-1)2+n，

解得

將直觀函數(shù)圖像的規(guī)律進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離近，于是

|m-1-1|<|m-1|，

可根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求得結(jié)果.將直觀二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類：當(dāng)m-1≥1時(shí)，顯然成立；當(dāng)1

故

當(dāng)m≤1時(shí)，顯然不成立.

通過直觀選項(xiàng)意義進(jìn)行排除：觀察A，B，D這3個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)m=2是一個(gè)特殊值，此時(shí)A(1,y1)，B(2,y2),顯然滿足題意，即可排除選項(xiàng)A，C，D.

例2將兩張全等的矩形和另兩張全等的正方形紙片按如圖1所示的方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出( )

圖1 圖2 圖3

A.正方形紙片的面積

B.四邊形EFGH的面積

C.△BEF的面積

D.△AEH的面積

(2022年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題第10題)

分析本題以矩形紙片為素材，以生成的圖形面積為問題核心，將整式的運(yùn)用、矩形的性質(zhì)、圖形的平移問題融匯在基本圖形中，為運(yùn)用割補(bǔ)、重組、轉(zhuǎn)移、等積變形、以數(shù)解形等方式提供平臺(tái).

直觀數(shù)量與數(shù)量關(guān)系：設(shè)正方形紙片的邊長(zhǎng)為a，矩形紙片的長(zhǎng)為b，寬為c，則

2a=b+c，

從而

EH=b-a，EF=a-c=b-a，

于是S陰影=(b-a)2+(b-a)c+(b-a)a=2a(b-a)，

故

S陰影=4S△BEF.

直觀圖形與圖形關(guān)系：如圖2，聯(lián)結(jié)EN，GM，EG，通過線段平移可得EF=EH，從而

S△AEH=S△NEH，S△CFG=S△MFG,

S△BEF=S△DGH=S△MEG=S△NEG,

于是

S陰影=4S△BEF.

(或如圖3，延長(zhǎng)HG交BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)GF交AB于點(diǎn)P，根據(jù)等積變形可得S矩形EFPQ=S矩形EHMN進(jìn)行求解.)在問題解決的過程中考查學(xué)生對(duì)于代數(shù)式的變形能力以及圖形的變換.

3 立足主干，聚焦關(guān)鍵能力

主干知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本內(nèi)容，是考查學(xué)生能力與素養(yǎng)的有效途徑和載體，更是學(xué)生今后生活和學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).關(guān)鍵能力是基于必備知識(shí)的提升，是發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).“活”的知識(shí)才是能力，“活”的能力才是素養(yǎng)，應(yīng)注重考查知識(shí)的形成過程以及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在知識(shí)的應(yīng)用中不斷地深化.

圖4

(2022年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

分析本題以矩形和對(duì)稱點(diǎn)為素材、以反比例函數(shù)為載體設(shè)置問題，實(shí)現(xiàn)雙曲線與平行線的圖形的完美組合，注重核心知識(shí)組合與串聯(lián)，使試題具有綜合性和靈活性，達(dá)到了用一道題考查諸多核心知識(shí)的目的.本題綜合考查了初中階段“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”的重點(diǎn)知識(shí)，矩形性質(zhì)生長(zhǎng)在幾何圖形變換的應(yīng)用中，反比例函數(shù)的概念生長(zhǎng)在面積轉(zhuǎn)換中，平行應(yīng)用到等積變形中，線段比應(yīng)用到代數(shù)推理中，點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)用到幾何性質(zhì)中，準(zhǔn)確把握了幾何與函數(shù)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容和要求，引導(dǎo)學(xué)生整體感知圖形特征，有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體意識(shí).

4 重視過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，理解知識(shí)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想[2].以數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)方法為載體實(shí)施即時(shí)學(xué)習(xí)，并運(yùn)用所得的知識(shí)方法探索、研究、解決相關(guān)問題，考查核心概念的同時(shí)，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟與認(rèn)知，以此來檢測(cè)學(xué)生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力，從而檢測(cè)出學(xué)生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.關(guān)注過程方法，活學(xué)結(jié)合活用，凸顯思維發(fā)展.

例41)(基礎(chǔ)鞏固)如圖5，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG=EG.

圖5 圖6 圖7

(2022年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題第23題)

本題呈現(xiàn)形式新穎簡(jiǎn)約，問題設(shè)計(jì)坡度合理，連貫有層次，蘊(yùn)涵豐富的思維，且兼顧整體性，又對(duì)“個(gè)性發(fā)展”的差異性做出有效甄別.以平行相似基本圖形中的比例線段為起點(diǎn)，尋找中間比實(shí)現(xiàn)等比替換，巧用線段成比例證明線段相等，以此獲得線段中點(diǎn)的基本結(jié)論，結(jié)合垂直進(jìn)而出現(xiàn)等腰三角形三線合一的基本圖形，逆用線段垂直平分線的逆定理實(shí)現(xiàn)等量替換線段.在此基礎(chǔ)上利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)隱藏線段中點(diǎn)的條件，去除等腰三角形三線合一的一半圖形，根據(jù)問題情境的變化，通過類比和引申合理進(jìn)行思想方法、思維方式和思維策略的遷移，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為背靠背解三角形的基本圖形，實(shí)現(xiàn)問題的自然轉(zhuǎn)化.體現(xiàn)出試題結(jié)構(gòu)的整體性和系統(tǒng)性，梯度進(jìn)階，互相關(guān)聯(lián)，漸次展開，從證明體驗(yàn)(基礎(chǔ)鞏固)—思考探究(嘗試應(yīng)用)—拓展延伸的學(xué)習(xí)過程的考查，要求學(xué)生學(xué)習(xí)能夠從“知識(shí)的回顧”到“本質(zhì)的理解”再抵達(dá)“靈活應(yīng)用”的層次，為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累重要的方法，充分體現(xiàn)建立聯(lián)系、融會(huì)貫通等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的意義.

5 關(guān)注思維，凸顯素養(yǎng)導(dǎo)向

對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科來說，特別重要的是淡化記憶，凸顯思維.數(shù)學(xué)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，試題內(nèi)容應(yīng)從核心素養(yǎng)角度出發(fā)思考需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力，將數(shù)學(xué)知識(shí)與核心素養(yǎng)有機(jī)融合，給學(xué)生提供展示邏輯推理和思維能力的平臺(tái)，突出每個(gè)學(xué)生用自己的數(shù)學(xué)方式思考、探究，注重考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力以及有理、有序、有度的思維品質(zhì)，在問題探究中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)探究能力，彰顯數(shù)學(xué)教育對(duì)學(xué)生能力發(fā)展的價(jià)值.

圖8 圖9

1)用含α的代數(shù)式表示∠BFD.

2)求證：△BDE≌△FDG.

3)如圖9，AD為⊙O的直徑.

②當(dāng)OF∶OE=4∶11時(shí)，求cosα的值.

(2022年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題第24題)

分析本題以圓為背景，將圓的基本性質(zhì)與三角形邊角關(guān)系、三角形全等和相似、勾股定理、三角函數(shù)等核心知識(shí)融合在一起，蘊(yùn)涵了函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、從一般到特殊等重要的數(shù)學(xué)思想方法，將重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)得淋漓盡致，層次分明，適度綜合，讓不同水平的學(xué)生都有充分展示數(shù)學(xué)水平與能力的空間，較好地發(fā)揮了試題的評(píng)價(jià)導(dǎo)向功能.第1)小題重基礎(chǔ)，通概念，激活知識(shí)梳理，由主干條件提取信息：∠AFB-∠BFD=α.把握幾何圖形特征：∠AFB-∠BFD=180°，建立方程組求解.第2)小題重過程，通思維，引領(lǐng)理性思考，體現(xiàn)綜合性，加強(qiáng)理性思維含量.從尋找目標(biāo)中提取常用的解題經(jīng)驗(yàn)，已知一邊相等，通過平行線尋找角相等，結(jié)合等弧等圖形結(jié)構(gòu)特征得到角相等的條件，在第1)小題角度計(jì)算的自然銜接與相互關(guān)聯(lián)中發(fā)現(xiàn)等腰△BEF、等腰△BDF、等腰△BFG，使之成為一個(gè)合乎邏輯的和諧結(jié)構(gòu).

第②小題重訓(xùn)練，通算理，培養(yǎng)運(yùn)算能力，增加思維量，考查理解分析能力.求余弦值的方法比較常規(guī)，恰恰在常規(guī)解法基礎(chǔ)上，設(shè)置了障礙，即不容易表示出這個(gè)角的鄰邊和斜邊.在定性分析位置關(guān)系和定量確定數(shù)量關(guān)系的思維操作程序的指導(dǎo)下，只需設(shè)OF=4x，OE=11x，DE=DG=y,再用符號(hào)進(jìn)行相關(guān)線段的數(shù)學(xué)表達(dá)即可.

圖10 圖11

思路2在前面發(fā)現(xiàn)等腰△BEF的指引下，如圖11，作BH⊥AD于點(diǎn)H，即可表示出

利用△BDH∽△ADB列方程求解.

思路4由△FBE∽△FDB，得FB2=15x(15x+y)，再利用雙勾股BF2-FH2=BD2-DH2，問題迎刃而解.

本題堅(jiān)持試題的應(yīng)有開放度和綜合性，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)性、創(chuàng)新性與開放性的融合，理性思維——交相輝映，相得益彰；科學(xué)探究——傳承創(chuàng)新，包容開放，以“謀求教學(xué)長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展為”終極目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生全面素質(zhì)的提高和教師專業(yè)的全面發(fā)展，引領(lǐng)教學(xué)進(jìn)入良性循環(huán)的軌道.