“雙創(chuàng)”背景下“高等數(shù)學(xué)”課程中旋轉(zhuǎn)體體積可視化教學(xué)設(shè)計(jì)

宣晶雪 張權(quán)

齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院 黑龍江齊齊哈爾 161006

隨著科技的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，“雙創(chuàng)”教育已成為教育改革的必然趨勢(shì)[1]。為滿足社會(huì)需求，我國(guó)愈加注重創(chuàng)新戰(zhàn)略型人才的培養(yǎng)。全國(guó)各高等院校積極響應(yīng)，高校教師紛紛推進(jìn)“雙創(chuàng)”理念融入課堂的工作。“雙創(chuàng)”教育即為創(chuàng)新和創(chuàng)業(yè)教育[2]。旨在高等教育教學(xué)環(huán)節(jié)的主渠道中，以基礎(chǔ)理論知識(shí)為載體，恰當(dāng)合理地在日常教學(xué)中融入“創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)”理念，加強(qiáng)培養(yǎng)青年學(xué)子科技創(chuàng)新實(shí)踐的能力，推動(dòng)其積極加入社會(huì)各項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)，獲取創(chuàng)業(yè)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。促使青年學(xué)子基礎(chǔ)理論知識(shí)與創(chuàng)新實(shí)踐能力協(xié)同并肩，促進(jìn)其蓬勃發(fā)展。

“高等數(shù)學(xué)”作為各高校理工科類別的一門既基礎(chǔ)又重要的理論課程，具有理論知識(shí)冗雜繁多、概念抽象難以理解、邏輯思維需求較高的特點(diǎn)[3]。除此之外，“高等數(shù)學(xué)”學(xué)科更善于傳授理論基礎(chǔ)，對(duì)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)與創(chuàng)業(yè)知識(shí)的傳播并不透徹。所以，這就需要高校教師們對(duì)現(xiàn)有的教學(xué)模式進(jìn)行改革，將“雙創(chuàng)”教育理念合理恰當(dāng)?shù)厝谌虢虒W(xué)工作中，深度培養(yǎng)并鍛煉青年學(xué)子的創(chuàng)新能力，鼓勵(lì)其積極創(chuàng)業(yè)。

將“雙創(chuàng)”教育理念合理恰當(dāng)?shù)厝谌搿案叩葦?shù)學(xué)”日常教學(xué)中，青年學(xué)子們無(wú)疑是最大獲益者。一方面保證了教育資源多樣性、教育方式多元化、教育模式生動(dòng)化、教學(xué)內(nèi)容印象化，在學(xué)科知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，理論聯(lián)系實(shí)際，結(jié)合創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理念進(jìn)行拓展，促使青年學(xué)子在大腦皮層留下深刻的印記，有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。另一方面，“雙創(chuàng)”教育理念在傳播給青年學(xué)子創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)業(yè)知識(shí)的同時(shí)，也在一定程度上推動(dòng)其邏輯思維能力的發(fā)展。在科研知識(shí)創(chuàng)新探索過程中，青年學(xué)子逐步形成縝密的邏輯思維，保持良好的自主探究能力和獨(dú)立思考問題的習(xí)慣，培養(yǎng)其多方位、多元化、多維度看待事情?！案叩葦?shù)學(xué)”作為理工科類別必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)學(xué)科，旨在培養(yǎng)思維方式多元化、思想品德高尚化、創(chuàng)新能力科研化的戰(zhàn)略型人才。所以在教學(xué)過程中，教師要將學(xué)生放在教育的主體地位上[4]，充分探索學(xué)生的主動(dòng)性。根據(jù)課程內(nèi)容合理布置思考問題，引導(dǎo)學(xué)生用創(chuàng)新的理念解決問題，注重強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，鍛煉其創(chuàng)新能力。教學(xué)方式也要多樣化，可根據(jù)課程需要通過多媒體展示知識(shí)內(nèi)容[5]，尤其是視頻圖例等，能夠直觀清晰展示課程內(nèi)容。開設(shè)多樣的實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)青年學(xué)子動(dòng)手動(dòng)腦能力，師生共同探究，教學(xué)相長(zhǎng)?？己朔绞蕉嘣l(fā)展，可在平臺(tái)多設(shè)置探究活動(dòng)，并記錄成績(jī)作為考核的一部分，在教學(xué)考核中無(wú)形促進(jìn)其創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成與能力的提升。

1 課程目標(biāo)

1.1 知識(shí)目標(biāo)

(1)理解與掌握薄片法與柱殼法的方法和思想。

(2)熟練掌握繞x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)體的體積公式。

1.2 能力目標(biāo)

(1)通過可視化培養(yǎng)學(xué)生空間架構(gòu)想象能力；通過薄片法、柱殼法探究培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力；通過概念知識(shí)講授培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟理解能力。

(2)通過小組討論培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、團(tuán)結(jié)合作、善于觀察總結(jié)、樂于探索的能力。

1.3 情感目標(biāo)

(1)通過引入神舟飛船視頻，培養(yǎng)學(xué)生樂于奉獻(xiàn)、科技強(qiáng)軍、航天報(bào)國(guó)的愛國(guó)主義情懷。

(2)通過問題探究培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦，善于思考，從多維角度看待問題的態(tài)度。

2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.1 問題探究

多媒體展示旋轉(zhuǎn)體圖片，神舟飛船視頻以及雷達(dá)衛(wèi)星圖片并設(shè)置思考問題：(1)它們都是怎樣的幾何體？(2)何為旋轉(zhuǎn)體？

引導(dǎo)學(xué)生分小組自主探究并查閱相關(guān)資料，了解旋轉(zhuǎn)體的定義，并以小組為單位進(jìn)行匯報(bào)。

探究結(jié)果匯報(bào)：

旋轉(zhuǎn)體定義：旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形或是一條平面內(nèi)的曲線，圍繞著平面內(nèi)任何一條直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體，平面內(nèi)這條直線就稱之為旋轉(zhuǎn)軸[6]。

以動(dòng)畫形式直觀演示矩形、直角三角形、直角梯形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體，如圖1所示。并計(jì)算其旋轉(zhuǎn)體體積。

圖1 旋轉(zhuǎn)體展示圖

(1)矩形圍繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體稱之為圓柱體，圓柱的體積為：V圓柱=底面積×高。

進(jìn)行總結(jié)，并設(shè)置問題：圓柱、圓錐和圓臺(tái)都是中學(xué)學(xué)過的規(guī)則的體，所以它們的體積容易計(jì)算。那么，如果是曲邊梯形圍繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的不規(guī)則的體，其體積應(yīng)該如何計(jì)算？

2.2 重難點(diǎn)探究與分析

給出具體問題案例，設(shè)置問題探究，引導(dǎo)學(xué)生分小組討論。

2.2.1薄片法

設(shè)曲線y=f(x)是一條連續(xù)的曲線，且f(x)≥0，現(xiàn)有一個(gè)曲邊梯形，由曲線y=f(x)，x=a，x=b以及y=0所圍成，現(xiàn)令這個(gè)曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周[4]，其所形成的不規(guī)則旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)如何計(jì)算？

圖2為可視化曲邊梯形圖片，提示學(xué)生采用微元法的方式來計(jì)算，并引導(dǎo)學(xué)生回顧微元法思想和計(jì)算方法，其具體思想是化“不規(guī)則”為“規(guī)則”。

圖2 薄片法旋轉(zhuǎn)體圖

探究結(jié)果檢驗(yàn)：

①分割：在區(qū)間[a，b]上任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，記a=x0，x1，x2…xn-1，xn=b，則區(qū)間[a，b]被分成n個(gè)大小相等的小區(qū)間，并記做[x0，x1]，[x1，x2]…[xn-1，xn]，并令xi-xi-1=dx(0≤i≤n)。

②近似替代：取任意一個(gè)小區(qū)間[x，x+dx]，其中dx是非常微小的量，對(duì)于窄曲邊梯形ABCE而言，可近似用窄矩形ABCD替代。窄矩形ABCD繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體為圓柱體。圓柱體中的高即為[x，x+dx]的區(qū)間長(zhǎng)度dx，圓柱體的底面半徑為x點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)。那么，圓柱體的體積等于底面積×高，即為πf(x)2dx，即小區(qū)間[x，x+dx]所對(duì)應(yīng)的體積微元dv為dv=πf(x)2dx。

例1：計(jì)算由曲線y2=x且x∈[0，1]與y=0所圍成的曲邊梯形分別繞x軸y軸各旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。

圖3為可視化曲邊梯形形狀，直觀演示其分別繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體。并引導(dǎo)學(xué)生回顧根據(jù)薄片法得到的繞x軸和繞y軸旋轉(zhuǎn)體的體積公式。

根據(jù)牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

根據(jù)牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

2.2.2柱殼法

設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生分小組探究：仍是上述曲邊梯形，由曲線y=f(x)(f(x)≥0)，x=a，x=b以及y=0所圍成，現(xiàn)令其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的不規(guī)則旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)如何計(jì)算？

圖4為柱殼法對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)體演示過程圖。以小組匯報(bào)的形式，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新探究，檢驗(yàn)探究結(jié)果，并計(jì)入考核成績(jī)。通過可視化的方式，引導(dǎo)學(xué)生共同分析匯報(bào)內(nèi)容如下：

(a)

圖5 柱殼法旋轉(zhuǎn)體圖

例1中曲線y2=x且x∈[0，1]與y=0所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積可采用柱殼法方法計(jì)算。

根據(jù)牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

2.3 總結(jié)歸納

通過引導(dǎo)青年學(xué)子以共同回憶的方式來梳理旋求轉(zhuǎn)體體積的知識(shí)脈絡(luò)，進(jìn)行歸納總結(jié)，使青年學(xué)子清晰直觀地掌握課程核心內(nèi)容。

3 課后檢驗(yàn)

通過探究式的自主學(xué)習(xí)過程，以及對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握，完成布置的課后任務(wù)，并在規(guī)定時(shí)間內(nèi)提交，完成布置的知識(shí)測(cè)評(píng)。

4 課程思考拓展

(1)尋找生活中旋轉(zhuǎn)體的案例，例如圓形水杯、橢圓形的橄欖球等，并嘗試是否能計(jì)算出其體積？

(2)布置思考任務(wù)：若某立體不是旋轉(zhuǎn)體，但該立體垂直于某一定軸的各個(gè)截面面積AX已知[6]，則該立方體的體積應(yīng)如何來計(jì)算？

“高等數(shù)學(xué)”這門學(xué)科不單單傳授給學(xué)生科學(xué)文化知識(shí)，更要鍛煉學(xué)生邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)新意識(shí)和高尚的道德情操。本文基于“雙創(chuàng)”背景下，以“高等數(shù)學(xué)”課程中求旋轉(zhuǎn)體體積為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。摒棄傳統(tǒng)教學(xué)模式，對(duì)講授方法與講授內(nèi)容進(jìn)行革新。借助于多媒體渠道，通過“探究式+可視化”的教學(xué)方式，分別介紹了薄片法、柱殼法以及其分別對(duì)應(yīng)的繞x軸，y軸的旋轉(zhuǎn)體體積公式。數(shù)形結(jié)合的可視化讓學(xué)生直觀感受到旋轉(zhuǎn)體空間立體構(gòu)架，更易接受并理解深刻。分小組探究討論充分發(fā)揮了青年學(xué)子自主式學(xué)習(xí)，提升其學(xué)習(xí)熱情與積極性。積極探索課程教育學(xué)新領(lǐng)域，這種教育革新更適應(yīng)社會(huì)需求，保證了“雙創(chuàng)”教育理念下創(chuàng)新型戰(zhàn)略人才的培養(yǎng)與快速發(fā)展，在一定程度上推動(dòng)了“高等數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)質(zhì)量的提升。