基于數(shù)學(xué)建模思想的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)研究

●董天琪 關(guān)勁秋

一、我國(guó)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展進(jìn)程

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，我國(guó)官方的綱領(lǐng)首次提出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”是在1992年頒布的《初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中。而“核心詞”一詞是在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中首次出現(xiàn)亮相。2014年頒布的《關(guān)于全面深化課程改革、落實(shí)立德樹人根本的意見(jiàn)》中，首次提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出也使如今在教學(xué)實(shí)踐領(lǐng)域以及教學(xué)科學(xué)研究領(lǐng)域，就數(shù)學(xué)學(xué)科課程而言,人們?cè)絹?lái)越重視學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高,那么，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也自然而然成為了教學(xué)研究的重點(diǎn)課題之一。

二、基于數(shù)學(xué)建模思想的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)研究的理論依據(jù)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)科課程的目標(biāo)與內(nèi)容休戚相關(guān)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)習(xí)者在進(jìn)行不同階段的教育過(guò)程中，以數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容為載體，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科特有的知識(shí)技能，逐步發(fā)展形成的既能滿足個(gè)人終生發(fā)展需要，又能滿足適應(yīng)社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)學(xué)科思維與關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合反映。數(shù)學(xué)建模本身也是依據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與方法，運(yùn)用抽象、簡(jiǎn)化等方法來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)加以求解，進(jìn)而通過(guò)結(jié)果來(lái)實(shí)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種十分有力的數(shù)學(xué)手段。

從教學(xué)的定義來(lái)進(jìn)行分析探究，數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，是根據(jù)建構(gòu)主義理論的一種自主學(xué)習(xí)的過(guò)程，是一種抽象化數(shù)學(xué)探究模式，通過(guò)合理地應(yīng)用這種抽象化數(shù)學(xué)探究模式，十有八九的數(shù)據(jù)可以被合理地量化，通過(guò)運(yùn)用這種量化可以構(gòu)建精確高效的數(shù)學(xué)問(wèn)題模型。隨著新課程改革的推進(jìn)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模思想教育已成為必然，這樣一來(lái)就要求教師要以數(shù)學(xué)建模思想為出發(fā)點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)邏輯思維等基本知識(shí)結(jié)構(gòu)。從這個(gè)方向研究，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的教育教學(xué)，不但能夠推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，同時(shí)還有利于對(duì)學(xué)生自身的數(shù)理生涯進(jìn)行有效的鋪墊和規(guī)劃[1]。

從關(guān)聯(lián)的角度來(lái)進(jìn)行分析探究，數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)系是密不可分的，屬于唇齒相依的關(guān)系。通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)解決問(wèn)題是一種非常有效的方式，同時(shí)數(shù)學(xué)建模也是能夠?qū)崿F(xiàn)將數(shù)學(xué)教育與現(xiàn)實(shí)世界銜接的一種方法。教師通過(guò)在日常的教學(xué)中向?qū)W生滲透建模思想，不但可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還可以增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展[2]。

三、基于數(shù)學(xué)建模思想的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)研究發(fā)展策略

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的，有數(shù)學(xué)抽象，直觀想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析幾個(gè)方面的能力。在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力

1.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的依據(jù)。數(shù)學(xué)抽象能力是人們從感性認(rèn)識(shí)中獲得事物本質(zhì)特征的一種必備能力，數(shù)學(xué)抽象是將實(shí)現(xiàn)具體的數(shù)學(xué)模型與抽象形式之間相互轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)抽象后的形式化語(yǔ)言，在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中需要將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后再將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成為符號(hào)關(guān)系，這其中需要充分地利用抽象思維能力，所以通過(guò)數(shù)學(xué)建模的思想方式能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力[3]。

2.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的有效途徑。在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)讓學(xué)生在建模的情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，充分揭示數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。建立數(shù)學(xué)模型以特殊到一般為主線,以知識(shí)本質(zhì)為核心,以知識(shí)結(jié)構(gòu)為依托,搭建數(shù)學(xué)橋梁，實(shí)現(xiàn)知識(shí)轉(zhuǎn)換，總結(jié)問(wèn)題規(guī)律，使學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)提高數(shù)學(xué)抽象能力；通過(guò)應(yīng)用情景教學(xué)的方式提高學(xué)生建模意識(shí)；通過(guò)拓展建模思維培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例1：通常，包100個(gè)餃子需要用1kg的面和1kg的餡。今天，1kg的面不變，但是餡比1kg多了，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該多包幾個(gè)比平時(shí)小的餃子，還是多包幾個(gè)比平時(shí)大的餃子?通過(guò)數(shù)學(xué)建模思維角度面面相當(dāng)于餃子的表面積，餡相當(dāng)于餃子的體積。

簡(jiǎn)化假設(shè)：

（1）餃子皮的厚度一致

（2）餃子的形狀大小一致

（3）每個(gè)餃子都是皮剛好把餡包起來(lái)，不多也不少

符號(hào)說(shuō)明

S為餃子皮面的總面積，單位為m2；

s為包餃子時(shí)每個(gè)餃子所用的皮的面積，單位為m2；

V為餡的總體積，單位為m3；

v為包餃子時(shí)每個(gè)餃子所用餡的體積，單位為m3；

R為大皮的半徑，單位為m；

r為小皮的半徑，單位為m；

k1為半徑的平方與表面積成正比的系數(shù)；

k2為半徑的立方與體積成正比的系數(shù)；

K為運(yùn)算過(guò)程中由k1，k2，得到的系數(shù)；

n為餃子的數(shù)目，單位為個(gè)。

模型的建立與求解：

因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，包餃子的過(guò)程，存在諸多難以量化統(tǒng)一的量，比如餃子的形狀，大小，餃子皮的厚薄程度等，但是本題對(duì)包餃子的過(guò)程進(jìn)行了抽象簡(jiǎn)化，把餃子抽象成立體圖形，假定餃子皮和餃子餡完美貼合，所以此式可用s這個(gè)立體圖形的表面積代替餃子皮的表面積，V立體圖形的體積代替餃子餡的體積，在這個(gè)模型的建立過(guò)程中，就將實(shí)際的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了數(shù)學(xué)模型，在解決問(wèn)題的同時(shí)，充分的培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力。

由表面積和半徑的平方成正比關(guān)系，以及體積和半徑的立方成正比得

S=k1×R2，V=k2×R3

由（1）（2）（3）得v=n×n1/2×v

所以v＞n×v并且V是n×v的n1/2倍。

最后得出在1kg面不變的情況下，餡比1kg多，則要多包幾個(gè)比平時(shí)大一點(diǎn)的餃子。

（二）基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力

1.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的依據(jù)。一般來(lái)說(shuō)，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師大致就采用平面幾何、立體幾何和解析幾何這三種基本的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建對(duì)培養(yǎng)空間思維能力，解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題有直接的促進(jìn)作用。模型的構(gòu)建能起到將繁瑣抽象的問(wèn)題直觀化進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)單化的效果，因此模型的構(gòu)建能夠?qū)W(xué)生的直觀想象能力產(chǎn)生積極的作用。

2.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的有效途徑。教師在立體幾何的課堂教學(xué)中，可以合理運(yùn)用于數(shù)學(xué)建模思想方式輔助教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地對(duì)抽象的幾何問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，然后在對(duì)建立的模型進(jìn)行觀察和分析，找出數(shù)學(xué)各對(duì)象之間存在的密切關(guān)系，然后嘗試著根據(jù)實(shí)際問(wèn)題自己去建立模型，打開思路，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，這樣既幫助學(xué)生成功解決了問(wèn)題，又達(dá)到了提高學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)效果。在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)一定的觀察，基于數(shù)學(xué)建模的思想方法解決問(wèn)題可以提高自身的數(shù)形結(jié)合的能力，這是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的一個(gè)基本方式。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，搭建數(shù)形聯(lián)系，培養(yǎng)直觀想象能力，利用直觀操作，推進(jìn)直觀想象進(jìn)度。

（三）基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力

1.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的依據(jù)。數(shù)學(xué)建模的基本思想和邏輯推理能力都是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的重要體現(xiàn)，如果能將二者進(jìn)行有效的結(jié)合，那么一定會(huì)起到事半功倍的作用。因此，教師在教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生按照從特殊到一般的思維順序進(jìn)行自主建模，讓學(xué)生依據(jù)建模的邏輯思維順序來(lái)思考并解決相關(guān)的問(wèn)題，從而使學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力得以全面升華。

2.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的有效途徑。在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生從特例中總結(jié)規(guī)律，然后再靈活地將其推廣到一般的應(yīng)用之中，這樣學(xué)生們便能夠在自主建模學(xué)習(xí)的過(guò)程中，掌握相關(guān)的思維邏輯順序，提升解題效率和學(xué)科核心素養(yǎng)能力。構(gòu)建多樣化的教學(xué)情境，滲透數(shù)學(xué)文化，建立數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力；豐富邏輯知識(shí)，借助數(shù)學(xué)建模，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

例如，對(duì)于“同底數(shù)冪的乘法法則”這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，舉一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子，即計(jì)算100×10000，學(xué)生可以很輕松的計(jì)算出它的答案，那么如果將這個(gè)式子構(gòu)建成一個(gè)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算模型，即100×10000＝102×104＝102+4＝106，那么學(xué)生們同樣可以很清晰的觀察到在進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算時(shí)，指數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù)的冪的和，再將其推廣應(yīng)用到一般的模型中便不難得到以下結(jié)論:am×an=am+n，a≠0。按照這種邏輯思維順序,學(xué)生們便能夠很容易理解同底數(shù)冪的乘法法則這一數(shù)學(xué)要點(diǎn)的精髓，并且在做題時(shí)將其靈活應(yīng)用[4]。

（四）基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

1.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的依據(jù)。如果說(shuō)數(shù)學(xué)是自然科學(xué)之母，那么數(shù)學(xué)運(yùn)算能力則是其嫡長(zhǎng)子。對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和運(yùn)算能力的培養(yǎng)對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重大意義，由于在數(shù)學(xué)建模的求解過(guò)程中需要大量的運(yùn)算，所以通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方式可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展，兩者可以相輔相成，在數(shù)學(xué)建模的解題過(guò)程中潛移默化地促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算思維發(fā)展。

2.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的有效途徑。創(chuàng)設(shè)趣味情境，建立模型，激發(fā)學(xué)生運(yùn)算興趣，逐步深化學(xué)生對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)；充分利用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而提高對(duì)運(yùn)算思路的有效探求，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算過(guò)程的具體化與直觀化；滲透建模思想，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算過(guò)程的重視及運(yùn)算結(jié)果的恰當(dāng)表達(dá)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程與運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)驗(yàn)算的意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與靈活性，引導(dǎo)學(xué)生盡可能發(fā)掘多樣化算法巧解復(fù)雜計(jì)算，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算思維，總結(jié)運(yùn)算方法，完善知識(shí)體系，建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建數(shù)學(xué)運(yùn)算認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例2：一飼養(yǎng)場(chǎng)讓一頭60kg的豬每天增重2.5kg需要花費(fèi)6元費(fèi)用，用于飼養(yǎng)、設(shè)備和人力等方面。現(xiàn)在的市場(chǎng)售價(jià)為12元/kg，但是預(yù)測(cè)每天豬的價(jià)格會(huì)降低0.1元，請(qǐng)問(wèn)該飼養(yǎng)場(chǎng)該什么時(shí)候出售這樣的豬？

模型假設(shè)：

每天花費(fèi)6元使豬每天體重增加的常數(shù)為r,r為2.5kg；豬的市場(chǎng)售價(jià)每天降低的常數(shù)為g，g為0.1元。

符號(hào)說(shuō)明：t為繼續(xù)養(yǎng)豬的時(shí)間，單位為天；w為豬的體重，單位為kg；P為豬的單價(jià)，單位為元/kg；R為豬出售的收入，單位為元；Q為出售豬賺取的純利潤(rùn)，單位為元；C為t天投入的資金，單位為元。

模型建立：

依據(jù)假設(shè)w=60+rt（r=2.5），p=12-gt（g=0.1）

又知道r=pw，c=6t

由于純利潤(rùn)應(yīng)該減去以當(dāng)前市場(chǎng)售價(jià)（12元/kg）出售60kg豬的收入，則有Q=R-C-12×60

得到目標(biāo)函數(shù)，即純利潤(rùn)為Q（t）=（12-gt）（60+rt）-6t-720

其中r=2.5，g=0.1

求t（≥0）使Q（t）最大

當(dāng)r=2.5，g=0.1時(shí)，t=40，Q（36）=324

即10天后賣掉這樣的豬，可以獲得最大的純利潤(rùn)，該純利潤(rùn)為324元。

（五）基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力

1.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的依據(jù)。數(shù)據(jù)分析能力是有組織地、有目地收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，使之成為信息的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模是借助數(shù)學(xué)模型的方式將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具象化展示，而數(shù)據(jù)分析可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)加以邏輯推理和理性分析，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，二者都是抽絲剝繭的數(shù)學(xué)探究和資源梳理過(guò)程。通過(guò)構(gòu)建模型可以將提取的信息進(jìn)行數(shù)據(jù)推理進(jìn)而獲得結(jié)論，通過(guò)數(shù)學(xué)建?？梢杂行У赝苿?dòng)數(shù)據(jù)分析的過(guò)程。如果將這兩種能力加以聯(lián)合培養(yǎng)，則可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握、學(xué)習(xí)能力的強(qiáng)化和數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的逐步完善。

2.基于數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的有效途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，采集典型數(shù)據(jù)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)整理能力；創(chuàng)設(shè)合理情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以此激發(fā)學(xué)生數(shù)據(jù)探究欲望；滲透數(shù)學(xué)建模思想樹立統(tǒng)計(jì)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)；運(yùn)用數(shù)據(jù)建模方式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，幫助學(xué)生獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定量分析，從而滿足數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的基本需求。

四、結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)這一大目標(biāo)下，教師應(yīng)從數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)入手，并根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況和現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際去設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，并在這一基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)邏輯知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、形象的模型問(wèn)題，從而使得學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力得到發(fā)展。