概念是怎樣開花的
——以“一次函數(shù)”為例

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校 劉密貴

概念是數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的起點(diǎn).在初中數(shù)學(xué)的課型中，概念教學(xué)往往難度較大.如何突破這個教學(xué)難點(diǎn)呢？

卜以樓老師指出，數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要重視概念的生長過程，生長過程源于概念產(chǎn)生的事實(shí)背景.所以，教師要選擇適切的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生親歷建立數(shù)學(xué)概念的思維之路，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念形成、生長之魅力[1].

受此啟迪，筆者以蘇科版八年級上冊“ 一次函數(shù)(第1課時)”為例，進(jìn)行了實(shí)踐和思考.

1定位與設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)內(nèi)容

在初中階段，學(xué)生會學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這三種函數(shù)都是基于代數(shù)式的結(jié)構(gòu)來定義的.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出“教師應(yīng)把握數(shù)與式的整體性”[2]，這個整體性完全可以延伸到函數(shù)的教學(xué)中.

筆者將本節(jié)內(nèi)容設(shè)置為“舉出不同的函數(shù)實(shí)例，根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)初步認(rèn)識不同種類的函數(shù)；初步認(rèn)識一次函數(shù)(正比例函數(shù))”，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度鳥瞰初中階段的函數(shù)全貌.

1.2 主問題串設(shè)計(jì)

(1)你能發(fā)現(xiàn)身邊的函數(shù)嗎？

(2)你能找到結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎？

(3)根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，將以上函數(shù)分類.

(4)哪些函數(shù)是一次函數(shù)(正比例函數(shù))？

2 實(shí)踐與說明

2.1 身邊的函數(shù)

問題1我們班共29人，有1位同學(xué)缺勤，實(shí)到28人.這里其實(shí)就蘊(yùn)涵著函數(shù)關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

師生活動：

生1：如果缺勤的同學(xué)有x人，實(shí)到y(tǒng)人，那么①y=29-x.

師：y是x的函數(shù)嗎？為什么？

生2：是的，因?yàn)閷的每個值，y都有唯一的值與它對應(yīng).

師：很好！另外，該函數(shù)源于實(shí)際，還應(yīng)確定自變量的取值范圍，這里的x可以取哪些值呢？

生3：x是一個正整數(shù)，并且1≤x≤29.

說明：該實(shí)例是貼近學(xué)生實(shí)際的一次函數(shù)，學(xué)生容易理解和接受.一次函數(shù)是函數(shù)的外延，從實(shí)例出發(fā)，感受實(shí)例中函數(shù)的特征是形成概念的必經(jīng)之路.

問題2我們的身邊有形形色色的函數(shù)，你能再舉出一個函數(shù)的實(shí)例嗎？

師生活動：學(xué)生舉出函數(shù)的實(shí)例，并說出表達(dá)式，老師板書并引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考.

生4：一個水池原來有水50 m3，如果放水速度是5 m3/h，且放水xh后還有ym3.那么②y=50-5x.

生5：汽車油箱里有40 L汽油，行駛過程中每小時耗油2 L，如果行駛xh后油箱里剩余yL油，那么③y=40-2x.

師：請看①～③式，怎么感覺它們非常像？

生6：它們都是一個總量減去x的倍數(shù).

師：難怪這么像，結(jié)構(gòu)都一樣！那么大家能舉出和它們結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎？

說明：教師沒有給出材料而是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，這樣做是為了真實(shí)呈現(xiàn)學(xué)生的理解水平.看到學(xué)生舉例的辦法是換情境，教師指出以上函數(shù)的“同”，引發(fā)學(xué)生對“不同”的追索.

2.2 不同的函數(shù)表達(dá)式

問題3繼續(xù)舉出函數(shù)的實(shí)例，要求函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)與以上不同.

師生活動：學(xué)生舉例，老師板書并引導(dǎo)生思考.

生7：一顆小樹高60 cm，假設(shè)它每年長高10 cm，如果x年后小樹高為ycm，那么④y=60+10x.

師：哦，有變化了！從“減”到“加”了！不過它們的結(jié)構(gòu)仍可以看作是相同的，大家試著從代數(shù)式的類型來看一看.

生8：29-x，50-25x，40-2x，60+10x都是多項(xiàng)式，并且都是一次二項(xiàng)式.

師：有沒有函數(shù)的表達(dá)式不是一次二項(xiàng)式呢？

(課堂陷入了沉默中.)

師：想不出來不著急，我們一起來看個例子.(教師畫出兩個邊長為x的正方形.)

師：第1個正方形，若y是它的周長，那么……

生：⑤y=4x.

師：在第2個正方形中，若y是它的……

生：若y是它的面積，那么⑥y=x2.

看到不同的代數(shù)式了嗎？再想一想，試一試.

說明：什么是表達(dá)式的結(jié)構(gòu)？學(xué)生剛開始的認(rèn)識比較模糊，通過教師指明“代數(shù)式的類型”，學(xué)生對“結(jié)構(gòu)”的認(rèn)識開始明晰.由于生活經(jīng)驗(yàn)不足，學(xué)生很難想到不同的實(shí)例.教師的舉例讓學(xué)生轉(zhuǎn)變視角，從單薄的生活現(xiàn)實(shí)回歸到熟悉的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中.

生9：一個棱長為x的正方體，它的體積是y，那么⑦y=x3.

師：大家很棒！以上例子幾乎已經(jīng)涵蓋了初中階段所有可能出現(xiàn)的函數(shù).

2.3 不同種類的函數(shù)

問題4觀察我們剛才寫出的10個函數(shù)，根據(jù)代數(shù)式的類型，你能給它們分類并命名嗎？

①y=29-x； ②y=50-25x；

③y=40-2x； ④y=60+10x；

⑤y=4x； ⑥y=x2；

師生活動：教師請學(xué)生在黑板上寫出代數(shù)式的分類圖(圖1)，學(xué)生自行嘗試.教師巡視發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生能依據(jù)代數(shù)式類型對10個函數(shù)進(jìn)行簡單分類，少數(shù)學(xué)生能類比圖1畫出圖2.

圖1

圖2

學(xué)生普遍認(rèn)為⑩是分式函數(shù)，⑧⑨是無理函數(shù)，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為⑤～⑦是單項(xiàng)式函數(shù)，①～④都是多項(xiàng)式函數(shù).在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)行了如下討論.

討論1：

生13：剛才我們說①～④都中代數(shù)式都是一次二項(xiàng)式，整式既有項(xiàng)數(shù)(單項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)是1)又有次數(shù)，所以只根據(jù)項(xiàng)數(shù)分類是不全面的，還可以按式子的次數(shù)分類，比如①～⑤都是一次函數(shù)，⑥是二次函數(shù)，⑦是三次函數(shù).

生14：還可以根據(jù)次數(shù)、項(xiàng)數(shù)兩個標(biāo)準(zhǔn)交叉分類，比如⑤是一次一項(xiàng)函數(shù)，①～④都是一次二項(xiàng)函數(shù)，⑥是二次一項(xiàng)函數(shù).

討論2：

師：發(fā)現(xiàn)得好！這告訴我們，將表達(dá)式化簡到底，才能看到它的真面目.

綜上，可將函數(shù)①～⑧的歸類整理成下表1.

表1

說明：這個環(huán)節(jié)中還隱藏著一個問題，那就是對整式函數(shù)的劃分，項(xiàng)數(shù)和次數(shù)哪個更重要.

2.4 一次函數(shù)

師生活動：通過閱讀補(bǔ)充材料，學(xué)生知道正比例函數(shù)的命名來自小學(xué)階段“正比例關(guān)系”.在定義的基礎(chǔ)上，學(xué)生體會兩種函數(shù)的關(guān)系，并舉出一些不同的一次函數(shù)例子.

問題5正比例函數(shù)和一次函數(shù)二者之間有什么關(guān)系？我們學(xué)習(xí)過類似的關(guān)系嗎？

生16：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

生17：像這樣的特殊與一般的關(guān)系還有很多，比如，正方形是特殊的長方形，整數(shù)是特殊的有理數(shù)，有理數(shù)是特殊的實(shí)數(shù)……

問題6我們已經(jīng)舉了很多一次函數(shù)的例子，你覺得一次函數(shù)能舉得完嗎？

生18：舉不完.因?yàn)橄禂?shù)、常數(shù)是無窮無盡的.

師：可以用什么代表無窮無盡、千變?nèi)f化呢？

生：字母！

師：對，字母表示數(shù)！誰來試試看？

生19：y=ax+b(a，b為常數(shù)，a≠0).(括號是在其他學(xué)生提示下加的.)

師：由于正比例函數(shù)中的自變量系數(shù)又叫做比例系數(shù)，常用k表示.于是約定：

定義2一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).

特別地，當(dāng)b=0時，y=kx(k為常數(shù)，k≠0))，y叫做x的正比例函數(shù).

例1表2中，y是x的一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)嗎？如果是，指出k和b的值；如果不是，指出函數(shù)的類型.

表2

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)要先把一次函數(shù)寫成一般形式后再確定k和b的值.

例2已知一次函數(shù)y=-2x+3.

(1)當(dāng)x為何值時，y=0？

(2)當(dāng)x為何值時，y>2？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)y的值確定時，實(shí)際上得到了關(guān)于x的一元一次方程、一元一次不等式，學(xué)生初步體會方程、不等式、函數(shù)之間是可以互相轉(zhuǎn)化的.

2.5 結(jié)語

師：今天這節(jié)課拉開了豐富多彩的函數(shù)世界的帷幕，我們會從一次函數(shù)開始踏上認(rèn)識函數(shù)、理解函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)的征程.

3 反思與提煉

數(shù)學(xué)概念不但是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)，還是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的載體，為培養(yǎng)學(xué)生“三會”提供了得天獨(dú)厚的思維平臺.概念教學(xué)不僅是教學(xué)任務(wù)，還是教學(xué)機(jī)遇.

3.1 概念形成需要多元化的實(shí)例——真

概念的形成常始于從實(shí)例抽象，而限于篇幅，教材中往往給出的都是符合概念的完美例子.在概念教學(xué)中，應(yīng)該鼓勵學(xué)生舉出多元化的例子，學(xué)生在對比和沖突中自發(fā)摒棄不完美的例子，從而聚焦于完美例子，是概念形成的最好的模樣.事實(shí)上，這指向了學(xué)生概念學(xué)習(xí)的一個重要要素——“真”.

3.2 概念形成要回歸到概念體系中去——貫與破

數(shù)學(xué)概念之間有嚴(yán)密、精確的關(guān)聯(lián)，任何一個概念總是概念體系中的一點(diǎn)，它們不是孤立、憑空而生的，新概念的形成往往既有“一以貫之”(合理性)，又有“破而后立”(必要性).

“貫”是內(nèi)部和諧，“破”是外部需求，回到概念體系中認(rèn)識貫與破，恰是概念教學(xué)的核心任務(wù).

“貫”是繼承，“破”是創(chuàng)造，其實(shí)哪個概念的形成不是貫與破的共舞呢！

3.3 概念形成不妨兼顧周邊概念——窮

函數(shù)的外延不止有一次函數(shù)，還有反比例函數(shù)、二次函數(shù)等.在學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念時，由于出現(xiàn)了不同類型的實(shí)例，因此完全可以順勢而為，窮盡不同的同級概念.本節(jié)課中，同級概念的提出，不但無損于一次函數(shù)概念的形成，反而通過對比強(qiáng)化了彼此的理解.

在概念形成的過程中，“真”是土壤，“窮”是花園，“貫、破”是陽光雨露，萌發(fā)的是學(xué)生思維之芽，綻放的是學(xué)生思維之花，結(jié)出的是學(xué)生思維之果，而教師在這個生長過程中，只需培土、澆水、維護(hù)，是一個護(hù)花使者.

進(jìn)一步看，“真”指向以生為本的人文教育觀念，“貫、破”指向數(shù)學(xué)教學(xué)特有的結(jié)構(gòu)意識，為教學(xué)提供了生長視角，“窮”指向無限可能的生長課堂.

概念是這樣開花的，開花的不止是概念，還有學(xué)生思考的心靈.