材料力學(xué)課程中關(guān)于對(duì)稱性兩個(gè)問題的討論

李道奎，周仕明

（1.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073）

對(duì)稱性的利用在力學(xué)問題的求解中具有重要作用。在傳統(tǒng)的《材料力學(xué)》教材中，常常以“對(duì)稱與反對(duì)稱性質(zhì)的利（應(yīng)）用”[1-2]、“對(duì)稱與反對(duì)稱靜不定問題分析”[3-4]，或類似題目作為一節(jié)，專門介紹對(duì)稱結(jié)構(gòu)、對(duì)稱載荷和對(duì)稱內(nèi)力等概念及對(duì)稱性質(zhì)，并應(yīng)用對(duì)稱性質(zhì)簡化靜不定（超靜定）桿系問題的求解過程。

在一些文獻(xiàn)資料中，也有關(guān)于對(duì)稱性質(zhì)的描述與應(yīng)用。如蔣中祥[5]介紹了對(duì)稱載荷的判斷方法和對(duì)稱性質(zhì)，并用更能反映對(duì)稱性數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法，證明了對(duì)稱性質(zhì)。李冠鵬[6]導(dǎo)出了點(diǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載作用下的反力和內(nèi)力特征。張常光等[7]分析了反對(duì)稱荷載作用下靜不定對(duì)稱剛架的彎矩圖特點(diǎn)，從而找出了一般性規(guī)律。周臻等[8]將靜不定結(jié)構(gòu)力法中對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱與反對(duì)稱荷載時(shí)的結(jié)論，直接引用于靜定結(jié)構(gòu)分析，張曉萌[9]對(duì)為什么可以引用此結(jié)論進(jìn)行了證明。

在這些教材與文獻(xiàn)資料中，對(duì)于對(duì)稱載荷的判斷和對(duì)稱性質(zhì)的描述都還不夠清晰，甚至還會(huì)引起一些誤解。針對(duì)這些問題，本文提出了對(duì)稱載荷的詳細(xì)判斷步驟與方法，特別是對(duì)集中力偶載荷對(duì)稱性的判斷，提出了符號(hào)運(yùn)算判斷方法；在對(duì)稱性質(zhì)的描述中，指出現(xiàn)有描述容易引起誤解，提出將對(duì)稱內(nèi)力與反對(duì)稱內(nèi)力的性質(zhì)分開描述，并建議引入對(duì)稱位移與反對(duì)稱位移的概念。

需要說明的是，本文為簡單明了地說明問題，采用的結(jié)構(gòu)均為軸線在同一平面內(nèi)的桿系結(jié)構(gòu)，且力偶表示方式有兩種：兩端帶向外箭頭的折線（圖1（d）中的m），或一端帶雙箭頭的線段（圖1（d）中的m1和m2）。

一、載荷對(duì)稱性的判斷方法

載荷對(duì)稱性的判斷，往往是求解對(duì)稱性問題的難點(diǎn)，特別是在存在集中或分布力偶時(shí)，很多同學(xué)甚至是老師，都不能準(zhǔn)確地判斷載荷的對(duì)稱性，這就對(duì)利用對(duì)稱性求解靜不定問題帶來不可逾越的困難。下面，首先介紹教材與文獻(xiàn)中載荷對(duì)稱性的常規(guī)判斷方法，并指出這些方法中的問題，然后提出新的判斷方法。

（一）常規(guī)的判斷方法

在傳統(tǒng)教材[1-4]中，通常會(huì)給出載荷對(duì)稱性的概念，并可以直接用概念來判斷載荷的對(duì)稱性。例如文獻(xiàn)[1]是這樣描述的：在這樣的結(jié)構(gòu)（對(duì)稱結(jié)構(gòu)）上，如載荷的作用位置、大小和方向也都對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸，則為對(duì)稱載荷；如兩側(cè)載荷的作用位置和大小仍然是對(duì)稱的，但方向是反對(duì)稱的，則為反對(duì)稱載荷。其他教材[2-4]中的描述也與文獻(xiàn)[1]的類似。

這種直接利用概念來判斷載荷對(duì)稱性的方法，存在一大一小兩個(gè)問題。大的方面的問題是，這種判斷方法對(duì)于圖1（a）—（c）中集中力或分布力載荷對(duì)稱性的判斷，是沒有問題的，但對(duì)于集中力偶或分布力偶載荷對(duì)稱性的判斷，學(xué)生較難接受，例如圖1（d）中，按照概念描述，集中力偶載荷m 的力偶矩矢量的指向關(guān)于對(duì)稱軸是反對(duì)稱的，事實(shí)上它們?yōu)閷?duì)稱載荷。小的方面問題是，關(guān)于方向?qū)ΨQ或反對(duì)稱，對(duì)于學(xué)生來說容易混淆，有必要把方向這一個(gè)指標(biāo)再分解為方位（與對(duì)稱軸的夾角）與指向兩個(gè)指標(biāo)，無論是對(duì)稱載荷還是反對(duì)稱載荷，方位關(guān)于對(duì)稱軸還是對(duì)稱的，只是指向有對(duì)稱（圖1（b））與反對(duì)稱（圖1（c））之分。

圖1 載荷對(duì)稱性判斷的示意圖

在一些文獻(xiàn)資料中，也給出了載荷對(duì)稱性的判斷方法。如文獻(xiàn)[5]中是這樣描述的：所謂對(duì)稱載荷是指沿對(duì)稱結(jié)構(gòu)桿件分布的一個(gè)矢量場(chǎng)，繞對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)180°包括載荷在內(nèi)的計(jì)算簡圖不變；所謂反對(duì)稱載荷是指沿對(duì)稱結(jié)構(gòu)桿件分布的一個(gè)矢量場(chǎng)，改變對(duì)稱軸一側(cè)的載荷矢量的方向即得一對(duì)稱載荷。這種判斷方法較教材上直接利用概念的判斷方法進(jìn)了一步，不僅適用于集中力與分布力載荷對(duì)稱性的判斷，還適用于平面內(nèi)集中力偶和分布力偶載荷對(duì)稱性的判斷，且判斷方法較為直觀，在很多學(xué)校的教學(xué)中，也按照此種方法進(jìn)行講解。

但這種方法對(duì)于力偶作用面與剛架軸線平面垂直的集中力偶和分布力偶（如具有產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形效應(yīng)的力偶），則會(huì)得出相反的結(jié)果，如圖1（d）中的兩個(gè)m1或兩個(gè)m2，它們的矢量方向雖關(guān)于對(duì)稱軸呈反對(duì)稱性質(zhì)，但結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸左右兩側(cè)的變形是對(duì)稱的，因此，它們實(shí)際為對(duì)稱載荷。

（二）新的判斷方法

根據(jù)教材與文獻(xiàn)資料對(duì)載荷對(duì)稱性判斷中存在的問題，提出如下載荷對(duì)稱性的判斷方法與步驟。

（1）觀察結(jié)構(gòu)本身和載荷作用點(diǎn)的位置關(guān)于對(duì)稱軸是否對(duì)稱，以及載荷的大小是否相等，如果有一個(gè)“否”，則為非對(duì)稱載荷，如果全為“是”（例如圖1 的4 個(gè)圖中的載荷），則進(jìn)入下一步。

（2）觀察載荷作用的方位關(guān)于對(duì)稱軸是否對(duì)稱，如果為“否”，則為非對(duì)稱載荷（例如圖1（a）），如果為“是”，則一定為對(duì)稱或反對(duì)稱載荷（例如圖1（b）—（d）），然后進(jìn)入下一步。

（3）觀察載荷的指向關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱性，這時(shí)需要分兩種情況討論：集中力或分布力、集中力偶或分布力偶。

對(duì)于集中力或分布力，根據(jù)力矢量箭頭的指向很容易判斷，指向?qū)ΨQ的為對(duì)稱載荷（圖1（b）），指向反對(duì)稱的為反對(duì)稱載荷（圖1（c））。

對(duì)于集中力偶或分布力偶，載荷指向?qū)ΨQ性判斷可采用三個(gè)指標(biāo)的符號(hào)運(yùn)算方法。三個(gè)指標(biāo)為：力偶作用面與剛架軸線平面的關(guān)系，力偶矩矢量與對(duì)稱軸關(guān)系，以及兩個(gè)力偶矩的矢量關(guān)系。且設(shè)指標(biāo)力偶作用面與剛架軸線平面平行為“-”，垂直為“+”；力偶矩矢量與對(duì)稱軸平行為“-”，垂直為“+”；兩個(gè)力偶矩矢量反向?yàn)椤?”，同向?yàn)椤?”。三者相乘結(jié)果為“+”的指向是對(duì)稱的（定義為“+”），此時(shí)的載荷為對(duì)稱載荷，為“-”的指向是反對(duì)稱的（定義為“-”），此時(shí)的載荷為反對(duì)稱載荷，見表1。根據(jù)這種符號(hào)運(yùn)算判斷方法，圖1（d）中的三對(duì)力偶載荷均為對(duì)稱載荷。

表1 力偶載荷對(duì)稱性判斷的符號(hào)運(yùn)算方法

（三）判斷方法的應(yīng)用

下面用幾個(gè)例題說明判斷方法的應(yīng)用。

例題1：如圖2（a）所示小曲率圓環(huán)的彎曲剛度為EI，鉸接于圓環(huán)內(nèi)側(cè)的直桿CD 的拉壓剛度為EA，承受均布的切向載荷q 和力偶Me作用，試判斷載荷的對(duì)稱性。

解：通過觀察圖2（a），可以看出AB 是結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸，且在關(guān)于AB 的對(duì)稱位置，作用了大小相等的切向分布載荷q。集中力偶Me作用在對(duì)稱截面B上，可將其分解為作用在對(duì)稱截面兩側(cè)的兩個(gè)力偶矩為Me/2 的集中力偶（圖2（b）），也滿足對(duì)稱位置上作用了相等載荷的條件，因此，步驟（1）中的條件全部滿足；然后觀察對(duì)稱位置上的載荷作用方位是否對(duì)稱，將對(duì)稱位置上的分布載荷q，分解為水平向分布載荷q1和垂直向載荷q2，結(jié)合對(duì)稱截面上的兩個(gè)集中力偶的矢量方位，可以知道載荷作用的方位關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的；最后觀察載荷的指向，對(duì)稱軸兩邊的q1和q2指向是反對(duì)稱的，而兩個(gè)Me/2 的集中力偶，根據(jù)表1 的載荷情況1 可知，三個(gè)指標(biāo)分別為“-”“+”“+”，三者相乘為“-”，因此載荷是反對(duì)稱的。由此可知，所有載荷的指向關(guān)于對(duì)稱軸都是反對(duì)稱的，因此本例中的載荷是反對(duì)稱載荷。

圖2 載荷對(duì)稱性判斷的示意圖

例題2：如圖3（a）所示三角形剛架，各桿的彎曲剛度均為EI，在各邊的中點(diǎn)處作用有集中力偶M，試判斷載荷的對(duì)稱性。

解：通過觀察圖3（a），可以看出CD 是結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸，以將對(duì)稱截面D 上的集中力偶M 分解為作用在對(duì)稱截面兩側(cè)的兩個(gè)力偶矩為M/2 的集中力偶，再將E和F 截面上的集中力偶M 分解為水平向集中力偶Mx和豎直方向集中力偶My（圖3（b）），很容易看出兩個(gè)M/2、兩個(gè)Mx和兩個(gè)My，都是作用在對(duì)稱位置上的相等載荷，且方位對(duì)稱，因此只需要判斷指向的對(duì)稱性。對(duì)于兩個(gè)M/2 和兩個(gè)Mx，根據(jù)表1 的載荷情況3 可知，三個(gè)指標(biāo)分別為“+”“+”“+”，三者相乘為“+”，因此載荷指向是對(duì)稱的；對(duì)于兩個(gè)My，根據(jù)表1 的載荷情況2 可知，三個(gè)指標(biāo)分別為“+”“-”“-”，三者相乘為“+”，因此載荷指向也是對(duì)稱的。由此可知，所有載荷的指向關(guān)于對(duì)稱軸都是對(duì)稱的，因此本例中的載荷是對(duì)稱載荷。其實(shí)圖3（a）中的BE 和AF 也是對(duì)稱軸，如以它們?yōu)閷?duì)稱軸進(jìn)行分析，同樣可以得到本例中載荷是對(duì)稱載荷。

圖3 載荷對(duì)稱性判斷的示意圖

二、對(duì)稱性質(zhì)的描述

應(yīng)用對(duì)稱性質(zhì)，可以減少靜不定對(duì)稱問題的求解變量，簡化求解過程，有些時(shí)候甚至可以直接求出某些未知內(nèi)力。下面，首先介紹教材與文獻(xiàn)中關(guān)于對(duì)稱性質(zhì)的描述，并提出其中的一些問題，然后提出新的描述。

（一）教材與文獻(xiàn)中的描述

在傳統(tǒng)教材[1-4]中，在介紹對(duì)稱性質(zhì)之前，一般先會(huì)將內(nèi)力分為對(duì)稱內(nèi)力與反對(duì)稱內(nèi)力，即軸力與彎矩是對(duì)稱內(nèi)力，剪力與扭矩是反對(duì)稱內(nèi)力，然后再給出對(duì)稱性質(zhì)的描述。文獻(xiàn)[3]教材中關(guān)于對(duì)稱性質(zhì)的描述是這樣的：在對(duì)稱載荷作用下，對(duì)稱結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力分布對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸（對(duì)稱面），對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸（對(duì)稱面）處橫截面上的反對(duì)稱內(nèi)力（剪力與扭矩）為零；而在反對(duì)稱載荷作用下，對(duì)稱結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力分布反對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸（對(duì)稱面），對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸（對(duì)稱面）處橫截面上的對(duì)稱內(nèi)力（軸力與彎矩）為零。其他教材中，要么沒有明確描述對(duì)稱性質(zhì)[1]，要么描述的內(nèi)容與文獻(xiàn)[3]的描述類似[2，4]。

對(duì)于這種描述，存在三個(gè)方面的問題。①變形是個(gè)整體的概念，“變形分布對(duì)稱（反對(duì)稱）于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸”的說法不妥，而應(yīng)該是“某一位移的分布對(duì)稱（反對(duì)稱）于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸”；②“內(nèi)力分布對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸”也不準(zhǔn)確，因?yàn)閮?nèi)力存在對(duì)稱內(nèi)力和反對(duì)稱內(nèi)力，它們之中的一類是對(duì)稱分布的話，另一類一定是反對(duì)稱分布；③沒有很好地描述對(duì)稱截面上位移的特點(diǎn)，而這一特點(diǎn)對(duì)于靜不定對(duì)稱問題的求解也非常有用，有些教材描述了對(duì)稱截面上位移特點(diǎn)，但不夠準(zhǔn)確（發(fā)生面外位移時(shí)不準(zhǔn)確），而且不直觀。

在一些文獻(xiàn)資料中，也給出了對(duì)稱性質(zhì)的描述。如文獻(xiàn)[5]中是這樣描述的：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱載荷作用下，內(nèi)力和位移對(duì)稱；在反對(duì)稱載荷作用下，內(nèi)力和位移反對(duì)稱。這種描述盡管將變形改成了位移，但并不是所有位移都是同樣的分布規(guī)律，因此也不夠準(zhǔn)確。

（二）新的描述

根據(jù)教材與文獻(xiàn)資料對(duì)對(duì)稱性質(zhì)的描述中存在的問題，首先應(yīng)該引入對(duì)稱位移與反對(duì)稱位移的概念，然后再對(duì)對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行描述。

按照對(duì)稱內(nèi)力定義方式，定義撓度與截面的扭轉(zhuǎn)角為對(duì)稱位移，軸向位移與截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角為反對(duì)稱位移，見表2。

表2 內(nèi)力和位移對(duì)稱性定義

按對(duì)稱內(nèi)力和對(duì)稱位移定義，關(guān)于對(duì)稱性質(zhì)的描述如下：

在對(duì)稱載荷作用下，對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱內(nèi)力和對(duì)稱位移分布對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸，反對(duì)稱內(nèi)力和反對(duì)稱位移分布反對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸，在對(duì)稱截面上，只存在對(duì)稱內(nèi)力和對(duì)稱位移，而反對(duì)稱內(nèi)力和反對(duì)稱位移為零，見表3。

在反對(duì)稱載荷作用下，對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱內(nèi)力和對(duì)稱位移分布反對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸，反對(duì)稱內(nèi)力和反對(duì)稱位移分布對(duì)稱于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸，在對(duì)稱截面上，只存在反對(duì)稱內(nèi)力和反對(duì)稱位移，而對(duì)稱內(nèi)力和對(duì)稱位移為零，見表3。

表3 對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱截面的內(nèi)力和位移性質(zhì)

三、結(jié)論

本文針對(duì)現(xiàn)有教材與文獻(xiàn)中關(guān)于材料力學(xué)中載荷對(duì)稱性判斷方法和對(duì)稱性質(zhì)描述中存在的問題，提出新的載荷對(duì)稱性判斷方法和對(duì)稱性質(zhì)描述，主要結(jié)論如下。

（1）提出了分三步進(jìn)行載荷對(duì)稱性的判斷新方法，特別是力偶載荷對(duì)稱性判斷的符號(hào)運(yùn)算方法。該方法不僅可以涵蓋以往的判斷方法，還修正了以往的判斷方法中的問題。

（2）在對(duì)稱性質(zhì)的描述中，引入了對(duì)稱位移與反對(duì)稱位移的概念，并提出將對(duì)稱內(nèi)力（位移）與反對(duì)稱內(nèi)力（位移）的性質(zhì)分開描述的新的對(duì)稱性質(zhì)描述方法。