Lévy飛行的正余弦烏燕鷗混合算法及應(yīng)用

孫珂琪，陳永峰

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院鐵道裝備制造學(xué)院，陜西渭南 714000）

1 引言

近年來，工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題變得越來越復(fù)雜。傳統(tǒng)數(shù)值方法在求解這類復(fù)雜問題時，很難獲得理想的優(yōu)化解，為克服傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)，元啟發(fā)式優(yōu)化算法得到了較大的發(fā)展，這些算法可以用來解決高維復(fù)雜帶有非線性約束的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題。如海鷗優(yōu)化算法（SOA）[1]，灰狼優(yōu)化算法（GWO）[2]，正余弦優(yōu)化算法（SCA）[3]，蜻蜓優(yōu)化算法（FA）[4]，飛蛾火焰優(yōu)化算法（MFO）[5]等。烏燕鷗算法優(yōu)化算法（STOA）[6]是最近比較流行的一種新型智能優(yōu)化算法，它在求解一些工業(yè)工程優(yōu)化問題能夠提供較好的結(jié)果，但是存在收斂精度低、種群多樣性弱、易早熟等缺點(diǎn)。為改善該算法的性能，文獻(xiàn)[7]提出了一種混合優(yōu)化算法STOA?GA 增強(qiáng)了STOA 算法的局部搜索能力，并成功應(yīng)用于求解同步優(yōu)化特征選擇的問題。

就工程實(shí)際應(yīng)用而言，元啟發(fā)式算法被廣泛應(yīng)用于解決主梁優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[8]基于DOE和狼群算法對橋式起重機(jī)主梁進(jìn)行了輕量化研究。文獻(xiàn)[9]提出了DA_PSO算法來對主梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)[10]提出了改進(jìn)的螢火蟲算法，對主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，取得較好的優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)[11]將混行策略引入GA與AFSA算法中，實(shí)現(xiàn)了主梁的輕量化設(shè)計。文獻(xiàn)[12]將LSTBSVM與BAT混合優(yōu)化算法用來解決主梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，并取得了較好的結(jié)果。中心引力算法用于解決箱型的起重機(jī)主梁優(yōu)化設(shè)計問題，達(dá)到了在滿足性能要求的情況下，質(zhì)量最優(yōu)的目的[13]。雖然這些優(yōu)化方法能夠成功地解決主梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，但是求解過程中依然存在穩(wěn)定性差，誤差較大等問題。

鑒于此，為克服標(biāo)準(zhǔn)的STOA算法的缺點(diǎn)，提高算法的性能和實(shí)際應(yīng)用能力，這里提出了一種混合正余弦算法和Lévy飛行的自適應(yīng)烏燕鷗算法（SLSTOA）。

改進(jìn)的算法主要貢獻(xiàn)有：（1）在STOA 算法的烏燕鷗攻擊行為中，借鑒正余弦算法SCA的搜索方式，同時采用非線性遞減自適應(yīng)正弦因子w，來增強(qiáng)STOA算法的全局與局部探索能力。（2）在遷徙行為階段，引入Lévy飛行機(jī)制，對烏燕鷗個體進(jìn)行變異，擴(kuò)大搜索空間，增加其多樣性，改善陷入局部最優(yōu)情況，增強(qiáng)全局探索能力。（3）迭代后期，對最優(yōu)烏燕鷗個體Lévy飛行變異，提高其全局探索能力。（4）為驗(yàn)證所提算法的有效性，將其應(yīng)用于解決32t/22.5m的橋式起重機(jī)主梁優(yōu)化設(shè)計中。

2 烏燕鷗算法

烏燕鷗算法主要包括兩種烏燕鷗群體智慧行為即遷徙行為和攻擊行為。

（a）遷徙行為

在遷徙階段，首先應(yīng)該避免相鄰烏燕鷗個體之間發(fā)生碰撞，可以用式（1）來表示。

式中：Ct(Z)—指烏燕鷗不碰撞當(dāng)前位置；Pt—指烏燕鷗當(dāng)前位置；S—在[2，0]內(nèi)的線性遞減因子，可以用式（2）計算。

其中，z=0，1，2，...，Maxiteration，Cf=2。

其次在滿足不碰撞的條件下，烏燕鷗個體向最佳搜索方向移動，可以用式（3）表示。

式中：Mt—指不同的烏燕鷗位置Pt(z)朝著最佳的烏燕鷗位置Pbt移動；C2—是一個隨機(jī)全局調(diào)節(jié)因子。

可以由式（4）計算。

式中：r—是一個[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

最后，烏燕鷗個體的位置由式（5）來更新。

式中：Dt—指根據(jù)烏燕鷗當(dāng)前位置和最佳烏燕鷗的位置確定的。

（b）攻擊行為

在遷徙過程中，烏燕鷗個體采用螺旋方式來攻擊獵物，可由式（6）來描述這種攻擊行為：

式中：r—每個螺旋的半徑；i—在0 ≤k≤2π 里的任意角度；u和v—螺旋形狀的相關(guān)常數(shù)；e—自然對數(shù)的底數(shù)。烏燕鷗個體的位置由式（7）確定。

標(biāo)準(zhǔn)烏燕鷗算法的步驟流程圖，如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)烏燕鷗算法的步驟流程圖Fig.1 Flowchart of STOA

3 混合正余弦算法和Lévy飛行的自適應(yīng)烏燕鷗算法（SLSTOA）

3.1 自適應(yīng)正余弦策略

在標(biāo)準(zhǔn)的STOA算法，烏燕鷗個體隨著迭代次數(shù)的增加，烏燕鷗個體的搜索空間逐漸減小，易造成烏燕鷗群體的種群多樣性降低，陷入局部最優(yōu)。為克服此問題，在烏燕鷗攻擊行為中，借鑒正余弦算法SCA的搜索方式，同時采用非線性遞減自適應(yīng)正弦因子w，在迭代初期，w取值較大，可以增強(qiáng)其全局探索，在迭代后期，w取值較小，可以增強(qiáng)其局部勘探能力。

標(biāo)準(zhǔn)的STOA算法的攻擊階段，烏燕鷗個體的位置更新由改進(jìn)的時式（8）和式（9）確定。

式中：r1—[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

3.2 Lévy飛行策略

在標(biāo)準(zhǔn)的STOA算法遷徙行為中，當(dāng)烏燕鷗個體不斷向最佳個體移動過程中，隨著迭代次數(shù)的增加，在最優(yōu)解附近鄰域內(nèi)的烏燕鷗群體多樣性在減弱，使得烏燕鷗個體不易跳出局部最優(yōu)。為此，在遷徙行為階段，引入Lévy飛行機(jī)制，對烏燕鷗個體進(jìn)行變異，擴(kuò)大搜索空間，增加其多樣性，改善陷入局部最優(yōu)情況，增強(qiáng)全局探索能力。在遷徙行為階段，改進(jìn)后的烏燕鷗個體位置更新方式由式（10）～式（12）確定。Lévy飛行可以由式（10）和式（11）確定[5]。

其中，Γ(x)=(x?1)！

式中：r2，r3，r4—［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；ξ—Lévy飛行系數(shù)，一般取值為1.5。

同時，對最優(yōu)的烏燕鷗個體采取Lévy 飛行機(jī)制進(jìn)行變異。如式（13）所示。

因此，SLSTOA算法的步驟流程，如圖2所示。

圖2 混合正余弦算法和Lévy飛行的自適應(yīng)烏燕鷗算法流程圖Fig.2 Flowchart of SLSTOA

4 SLSTOA算法性能評價

為驗(yàn)證SLSTOA算法的有效性和魯棒性。通過選取四種先進(jìn)的算法SOA，GWO，SCA和MFO和5個測試函數(shù)來對SLSTOA算法的性能進(jìn)行分析。算法參數(shù)設(shè)置，如表1所示。5個測試函數(shù)（包含單峰和多峰函數(shù)，高維和低維函數(shù)），如表2所示。所有算法均在相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下（即Windows 7 64位系統(tǒng)，8G內(nèi)存，處理器為Intel Core i7，2.3GHz，仿真軟件為Matlab 2019b）獨(dú)立進(jìn)行30次計算，實(shí)驗(yàn)結(jié)果選取30次結(jié)果的平均解，標(biāo)準(zhǔn)差和耗時。

表1 算法參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter Settings of Algorithms

表2 測試函數(shù)Tab.2 Test Functions

4.1 結(jié)果分析

不同測試函數(shù)下，各種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如表3所示。由表3可知。從平均解來看，對于F1，SLSTOA算法可獲得全局理論最優(yōu)解0。GWO算法的收斂精度可達(dá)1E?08。SLSTOA算法收斂精度明顯高于其他四種競爭算法。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Experimental Results

對于F2，SLSTOA和GWO算法獲得平均解精度可達(dá)1E?01，且高于GWO，SCA，SOA 和MFO 算法。對于F3，SLSTOA 算法獲得全局理論最優(yōu)解0。收斂精度明顯高于GWO，SCA，SOA 和MFO算法。對于F4，SLSTOA算法獲得全局理論最優(yōu)解0。收斂精度明顯高于GWO，SCA，SOA 和MFO 算法。對于F5，SLSTOA算法同樣可獲得全局理論最優(yōu)解0，明顯優(yōu)于GWO，SCA，SOA和MFO算法。

對于F6，SLSTOA 算法的收斂精度可達(dá)1E?03，明顯優(yōu)于GWO，SCA，SOA和MFO算法?？傊还苁歉呔S還是低維，單峰還是多峰的測試函數(shù)，相比其他算法，SLSTOA 算法可以獲得較好的平均解，說明SLSTOA 算法具有較好的尋優(yōu)能力和收斂精度。從標(biāo)準(zhǔn)方差來看，對于F1，F(xiàn)2，F(xiàn)4和F5，SLSTOA算法的標(biāo)準(zhǔn)方差為0。

對于F3和F6，SLSTOA算法獲得的標(biāo)準(zhǔn)方差明顯小于其他4種算法。因此，對于所有的測試函數(shù)，SLSTOA 算法的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值較小充分說明了在尋優(yōu)過程中，SLSTOA算法具有更強(qiáng)的魯棒性。從平均耗時來看，對于所有測試函數(shù)，SLSTOA 算法耗時低于MFO算法，與SOA算法接近，高于GWO和SCA算法。這表明了SLSTOA算法是一種高效的全局搜索方法。

4.2 收斂曲線對比分析

測試函數(shù)的收斂曲線，如圖3所示。從圖3可以明顯看出，對于所有的測試函數(shù)，與GWO，SCA，SOA 和MFO 算法相比，SL‐STOA 算法的收斂曲線一直位于其他算法的下方，表明SLSTOA算法收斂速度更快，并且可獲得更小的最優(yōu)解，求解精度更高。SLSTOA算法的收斂曲線較大的拐點(diǎn)較少，可以很快地跳出局部最優(yōu)?？傊?，對于所有測試函數(shù)，SLSTOA 算法能夠表現(xiàn)出更佳的收斂性能。

圖3 測試函數(shù)收斂曲線Fig.3 Convergence Curves of Test Functions

綜上所述，相比其他算法，SLSTOA 算法通過不同的改進(jìn)策略，提高了STOA算法的性能，是一種效率更高，收斂精度高和魯棒性強(qiáng)的元啟發(fā)式算法。

5 工程案例

本案例選擇用偏軌箱型雙梁橋式起重機(jī)主梁作為優(yōu)化對象。起重量為32t，跨度為22.5m，工作級別為A5，材料為Q235鋼。通過SOLIDWORKS三維建模軟件，可以得到主梁結(jié)構(gòu)模型，如圖4所示。主梁優(yōu)化的主要目的在于輕量化，同時需要保證結(jié)構(gòu)的安全可靠性，故綜合考慮質(zhì)量的影響因素和權(quán)值大小，選取主梁截面參數(shù)作為設(shè)計變量。給出了優(yōu)化設(shè)計變量的選取與取值范圍，如圖5和表4所示。

表4 主梁優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Optimization Results of Main Girder

圖4 主梁結(jié)構(gòu)Fig.4 Main Girder Structure

圖5 主梁截面參數(shù)選取Fig.5 Parameter Selection of Main Girder Section

選取主梁截面面積最小作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，同時主梁結(jié)構(gòu)需滿足剛度約束，強(qiáng)度約束和整體穩(wěn)定性約束等條件。結(jié)合起重設(shè)計手冊?？梢越⒅髁航Y(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，如式（14）所示。

采用SLSTOA 算法對主梁進(jìn)行優(yōu)化的收斂曲線，如圖6 所示。優(yōu)化前后結(jié)果對比，如表4所示。

圖6 主梁收斂曲線Fig.6 Convergence Curve of Main Girder

由圖6 可知，采用SLSTOA 算法可以快速地實(shí)現(xiàn)主梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。由表5 可知，主梁優(yōu)化前截面面積為41000mm2，優(yōu)化后的截面面積為30524.46mm2，減小了25.55%，達(dá)到了輕量化的目的。

為了更好地檢驗(yàn)優(yōu)化后的主梁性能，通過ANSYS Work‐bench對優(yōu)化前后的主梁模型進(jìn)行力學(xué)性能分析。網(wǎng)格采用Siz‐ing控制，將網(wǎng)格大小設(shè)置為50mm，劃分之后節(jié)點(diǎn)總數(shù)為，單元總數(shù)為。劃分網(wǎng)格之后模型，如圖7所示。將小車、起升重量和司機(jī)室的重量簡化為集中載荷加載在小車輪壓位置并且插入加速度載荷模擬主梁自重；邊界條件設(shè)置為在主梁兩端端梁下側(cè)設(shè)置位移約束。邊界條件設(shè)置，如圖8所示。優(yōu)化前后有限元分析結(jié)果，如圖9所示。由圖9可知。

圖7 主梁網(wǎng)格劃分Fig.7 Main Girder Mesh

圖8 主梁約束條件設(shè)置Fig.8 Constraint Condition Setting of Main Girder

由圖9（a）、圖9（b）可知，主梁優(yōu)化前的最大應(yīng)力大小為148.43MPa，優(yōu)化后主梁的最大應(yīng)力為156.24MPa，雖然最大應(yīng)力有所增加，但是仍然小于其許用應(yīng)力[σ]H=175MPa。滿足強(qiáng)度要求。

由圖9（c）、圖9（d）可知，主梁優(yōu)化前的最大變形為6.4024mm，優(yōu)化后主梁的最大變形為6.9075mm，最大變形增加了約為0.5mm，小于其許用垂直變形。滿足剛度要求。

由圖9（e）可知，優(yōu)化后的主梁一階固有頻率為5.6906Hz，沿水平方向的擺動，大于其許用自振頻率[fv]=2Hz。

圖9 有限元分析結(jié)果Fig.9 Finite Element Analysis Results

采用SLSTOA算法可以實(shí)現(xiàn)橋式起重機(jī)主梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，達(dá)到輕量化的設(shè)計目的。也同時說明了SLSTOA算法具有較強(qiáng)的工程實(shí)際應(yīng)用性能。

6 結(jié)論

為克服STOA算法的缺點(diǎn)，提出混合正余弦算法和Lévy飛行的自適應(yīng)烏燕鷗算法（SLSTOA），并通過測試函數(shù)對SLSTOA 算法性能的進(jìn)行了評價。并將SLSTOA算法應(yīng)用于解決橋式起重機(jī)主梁優(yōu)化問題中，驗(yàn)證了其實(shí)際應(yīng)用能力。

得出以下結(jié)論：

（1）在STOA 算法攻擊行為中，采用融合非線性遞減自適應(yīng)正弦因子與正余弦算法位置更新方式，同時在STOA算法遷徙行為中，引入Lévy飛行機(jī)制，改進(jìn)了STOA算法遷徙位置更新方式和對烏燕鷗最優(yōu)個體擾動，增強(qiáng)了STOA算法的全局與局部探索能力。

（2）通過測試函數(shù)對比分析，結(jié)果表明，與SOA，GWO，SCA和MFO算法相比，SLSTOA算法具備更好的優(yōu)化性能，具有較高的求解精度，穩(wěn)定性和魯棒性。

（3）通過橋式起重機(jī)主梁優(yōu)化實(shí)例分析，主梁的截面面積減小約為25.55%，達(dá)到了輕量化設(shè)計目的。

由此可以看出SLSTOA算法具有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用能力，同時將來可以將SLSTOA 算法應(yīng)用于其他領(lǐng)域如特征選擇，故障診斷，車間調(diào)度等。