也談“平面向量的除法”

周寧 林新建

在舊教材必修4平面向量（以下簡稱向量）運算法則的教學中，筆者對“向量是否有除法”總感覺有些道不明說不清．雖然文[1]、[2]從逆運算的角度分別剖析向量的數(shù)乘、數(shù)量積、向量積這三種運算在數(shù)學上不存在逆運算，以此說明向量不存在除法，但是無法解釋為什么可以用向量的加減說明復數(shù)加減的幾何意義，也無法用向量的乘除說明復數(shù)乘除的幾何意義．向量與復數(shù)不是一一對應嗎？筆者試從2019年人教A版必修2教材（以下簡稱必修2）的學習和理解出發(fā)，談談對“向量是否有除法”的想法和體會，以期拋磚引玉．

3 為什么沒有定義向量的除法？

從上述的討論看出，向量除法是可以定義，自洽的．那么中學為什么不介紹這個內(nèi)容？筆者認為有以下兩個原因：（1）向量是由物理學科延伸發(fā)展過來的數(shù)學概念，在物理的發(fā)展史上沒有出現(xiàn)要定義本文向量乘除法的需求；（2）本文之所以可以類比復數(shù)乘除的三角表示定義向量的乘除法，是因為復數(shù)域與二維向量空間同構(gòu)，但是無法推廣到高維向量空間，因為實數(shù)域上有限維可除代數(shù)的維數(shù)只有1維、2維、4維，而4維可除代數(shù)中的乘法不滿足交換律，因此在數(shù)學上也沒有定義的價值．

參考文獻

[1]李祎．中小學數(shù)學中的“為什么”[M]．福州：福建教育出版社，2012

[2]范素杰，郜舒竹．向量為什么不存在除法[J]．中小學數(shù)學（高中版），2012（4）：9-11

[3]劉春艷．聚焦核心素養(yǎng)的單元教學設計——以高中“平面向量的運算”單元為例[J]．數(shù)學通報，2020（7）：49-53

[4]章建躍．利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律——“平面向量及其應用”內(nèi)容分析與教學思考[J]．數(shù)學通報，2020（12）：4-13，29

[5]章建躍．加強知識的綜合聯(lián)系，發(fā)展學生的理性思維——復數(shù)的內(nèi)容分析與教學思考[J]．數(shù)學通報，2021（1）：11-17