澳洲VCE教材中關(guān)于非線性數(shù)據(jù)的回歸分析

林佳青

數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，要求學(xué)生具有基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力．本文以研究澳洲VCE課程（Victoria Certifi-cate of Education）高中數(shù)學(xué)教材中關(guān)于非線性數(shù)據(jù)的回歸分析為切入點(diǎn)，探討數(shù)據(jù)分析與圖形計(jì)算器的運(yùn)用，進(jìn)而在現(xiàn)實(shí)情境中提出探究性問(wèn)題，旨在通過(guò)海外教材中有關(guān)數(shù)據(jù)處理的教學(xué)內(nèi)容和特點(diǎn)的分析，為國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)課程中相關(guān)板塊的實(shí)際課堂教學(xué)提供借鑒，也為今后結(jié)合本土教育教學(xué)特色進(jìn)行有效融合與創(chuàng)新提供思路．

1 一元線性回歸分析

回歸分析（regression analysis）是一種統(tǒng)計(jì)分析方法，用于確定兩種或兩種以上變量之間的定量關(guān)系．根據(jù)涉及的變量數(shù)量，分為一元回歸和多元回歸分析．根據(jù)自變量和因變量之間的關(guān)系類(lèi)型，回歸分析可分為線性回歸分析和非線性回歸分析．在高中階段，主要學(xué)習(xí)一元回歸分析．

對(duì)于一元線性回歸分析，基于最小二乘法原理，可以用形式為的直線來(lái)進(jìn)行擬合．利用圖形計(jì)算器輸入已知數(shù)據(jù)，可以較容易地獲得擬合直線，通過(guò)相關(guān)系數(shù)或者擬合優(yōu)度判定系數(shù)的大小來(lái)判斷直線擬合的程度．越接近1或者越接近1，說(shuō)明擬合程度越高．計(jì)算器一般會(huì)在每次函數(shù)擬合后自動(dòng)算出對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)和擬合優(yōu)度判定系數(shù)．

2 一元非線性回歸分析

在統(tǒng)計(jì)離散數(shù)據(jù)時(shí)，往往利用散點(diǎn)圖（scatter-plot）呈現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系．一些數(shù)據(jù)之間的關(guān)系并非是線性的，如果單單依靠線性擬合來(lái)表征，往往并不準(zhǔn)確．澳洲教材在處理一元非線性數(shù)據(jù)時(shí)，利用函數(shù)變換和化歸的數(shù)學(xué)思想，化曲為直來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合．相比于單純使用圖形計(jì)算器來(lái)解決擬合問(wèn)題，這樣的處理方式能夠鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行分析及解決問(wèn)題的能力．

2.1 非線性數(shù)據(jù)的變換處理

澳洲教材中在處理非線性數(shù)據(jù)時(shí)，首先利用散點(diǎn)圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)間的關(guān)系．散點(diǎn)圖的形狀不同，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)關(guān)系也不同，因此需要運(yùn)用合理的變換以達(dá)到“化曲為直”的效果．值得注意的是，同一種非線性的數(shù)據(jù)形態(tài)會(huì)有多種不同的變換處理方式．如圖1，左上角的散點(diǎn)圖對(duì)應(yīng)的變換可以是． y2，lgx，1/x

這里澳洲教材只討論單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減的非線性數(shù)據(jù)回歸分析，這也與國(guó)內(nèi)高中階段對(duì)于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要求較一致．以教科書(shū)中的平方變換、對(duì)數(shù)變換和倒數(shù)變換為例（見(jiàn)表1），解釋說(shuō)明其變換對(duì)于非線性數(shù)據(jù)“化曲為直”的原理．

2.2 圖形計(jì)算器在非線性回歸中的運(yùn)用

在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，通常需要確定變量并收集一定數(shù)量的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出相應(yīng)的散點(diǎn)圖．之后根據(jù)繪制后的散點(diǎn)圖形態(tài)選擇合適的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式并進(jìn)行回歸分析，最終得到回歸方程．對(duì)于回歸方程，還需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．這整個(gè)過(guò)程需要大量的計(jì)算和時(shí)間，容易讓學(xué)生感到繁瑣和重復(fù)．

作為傳統(tǒng)教學(xué)方式的一種補(bǔ)充，圖形計(jì)算器能夠有效地實(shí)現(xiàn)曲線擬合與數(shù)學(xué)其它分支的多元聯(lián)系，突破了曲線擬合教學(xué)的瓶頸．因此，圖形計(jì)算器在教學(xué)中發(fā)揮著重要作用．表2列舉了12個(gè)國(guó)家人口平均壽命（年）和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP（億美元）的數(shù)據(jù)：

（1）根據(jù)表2中各組對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，能否找到一種關(guān)系式，使它能夠近似反映人口壽命（用表示）關(guān)于國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（用表示）的關(guān)系？試寫(xiě)出一個(gè)人口壽命關(guān)于國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的關(guān)系式（系數(shù)保留三位有效位數(shù)）．

（2）若一個(gè)國(guó)家的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP為20000億美元，利用（1）問(wèn)求得的關(guān)系式，推測(cè)其人口的平均壽命（保留一位小數(shù)位數(shù)）．

（3）查詢相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分析其他影響人口壽命的因素，進(jìn)一步探究其關(guān)聯(lián)程度，概括總結(jié)出報(bào)告；預(yù)測(cè)近一年我國(guó)的人口平均壽命，討論可能產(chǎn)生偏差的成因．

在以往課堂教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)于問(wèn)題（1），容易想到先畫(huà)出表2數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（如圖2），利用圖象直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，適當(dāng)選擇函數(shù)用以描述人口壽命與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的關(guān)系．之后借助圖象計(jì)算器快捷地?cái)M合出函數(shù)解析式．最后根據(jù)擬合優(yōu)度判定系數(shù)r 2，其值越接近于1擬合度越高．

相比之下，澳洲教材用數(shù)據(jù)的變換角度來(lái)解決這個(gè)非線性擬合問(wèn)題：首先從原始散點(diǎn)圖直觀上觀察到點(diǎn)的分布呈現(xiàn)凹的遞增形狀，可以利用y2，lgx或x/1等非線性變換使數(shù)據(jù)線性化，即化曲為直．這里我們不妨使用變換，也就是把橫坐標(biāo)標(biāo)度調(diào)整為對(duì)數(shù)標(biāo)度lg（GDP）：，使得原本呈曲線形態(tài)的散點(diǎn)圖變換成近似線性形態(tài)（如圖3）．

此時(shí)人口壽命y與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的常用對(duì)數(shù)lgx呈近似線性形態(tài)，即y x lgx），問(wèn)題化歸為一元線性回歸分析問(wèn)題，于是基于最小二乘法原理，采用直線y = a lg（x）+b來(lái)進(jìn)行擬合（如圖4）．最后得到關(guān)系式：lifespan = 54.3+5.59×lg（GDP）．對(duì)于問(wèn)題（2），只需令x = 20000，代入上式可得lifespan = 54.3+5.59×1g（20000）= 78.3years ，因此，當(dāng)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP為20000億美元時(shí)，人口平均壽命的預(yù)測(cè)值為78.3歲.

當(dāng)然，也可選擇其他類(lèi)型的變換進(jìn)行擬合，根據(jù)擬合優(yōu)度判定系數(shù)，選擇較優(yōu)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．

問(wèn)題（3）是開(kāi)放型試題，可以作為一個(gè)挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題．學(xué)生們能夠在現(xiàn)實(shí)情境中查找資料，獲取信息，并經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程．這類(lèi)問(wèn)題有助于培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角觀察世界，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考世界，以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界．因此，這類(lèi)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生的綜合素養(yǎng)提高有著積極的促進(jìn)作用．另外數(shù)據(jù)來(lái)源于真實(shí)世界，并非人為拼湊，學(xué)生在建立模型、數(shù)據(jù)分析之后所得的結(jié)果并非完美，也能夠進(jìn)一步促使學(xué)生思考、修正、探究數(shù)據(jù)背后的信息．這也符合數(shù)學(xué)課程跨學(xué)科融合的大趨勢(shì)，值得借鑒．

3 啟示與思考

作為上海市“試點(diǎn)高中國(guó)際課程”的一線數(shù)學(xué)教師，筆者致力于在不同教學(xué)模式中找到契合點(diǎn)，尋找有利于國(guó)內(nèi)培養(yǎng)核心素養(yǎng)的元素，當(dāng)然在本文關(guān)于非線性數(shù)據(jù)回歸教學(xué)中也有著進(jìn)一步的反思．

3.1 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化課堂教與學(xué)的方式．進(jìn)一步地，教師應(yīng)為學(xué)生提供理解概念所需的背景，并引導(dǎo)學(xué)生課后自主獲取資源．教師和學(xué)生可以共同探索利用信息技術(shù)探索算法，進(jìn)行大規(guī)模計(jì)算，從數(shù)據(jù)庫(kù)中獲取數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)方式難以達(dá)到的效果．因此，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用有著重要的意義，可以為學(xué)生和教師提供更豐富、更高效的教學(xué)資源和方法． 3.2 在綜合情境中闡釋科學(xué)規(guī)律

高中數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)不僅是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和實(shí)踐能力，提升他們的思維水平和創(chuàng)新能力．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題可以激發(fā)學(xué)生的興趣和動(dòng)力，幫助他們理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，開(kāi)拓視野和思維．相信在“雙新”背景下的教學(xué)將來(lái)更加開(kāi)放與多元．

參考文獻(xiàn)

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[2]Peter Jones，Kay Lipson，Michael Evans．General Mathematics[M]． Melbourne：Cambridge University Press，2022