作為學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象：內(nèi)涵、外延及其培養(yǎng)路徑

摘 要 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)的基礎(chǔ)。本文從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的整合視角，探析了數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵與外延。本文的核心觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)史中的分析化和綜合化運(yùn)動(dòng)分別產(chǎn)生了數(shù)學(xué)抽象的兩種基本類型——內(nèi)化和形式化。本文還以中學(xué)教學(xué)中的實(shí)際案例展示了培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的方式。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；分析數(shù)學(xué)；綜合數(shù)學(xué)；形式化；內(nèi)化；HPM

中圖分類號 G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

文章編號 2095-5995（2023）12-0048-03

一、數(shù)學(xué)抽象學(xué)科素養(yǎng)的內(nèi)涵

（一）HPM視野中的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）明確指出，“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)”［1］。單從這一定義來看，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模容易混淆。后者是指“對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”［2］。兩者的區(qū)別是：數(shù)學(xué)抽象過程得到的是數(shù)學(xué)對象，而數(shù)學(xué)建模過程得到的是數(shù)學(xué)模型。

基于對在科學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的經(jīng)驗(yàn)，人們對數(shù)學(xué)模型是有豐富直觀認(rèn)識的。數(shù)學(xué)模型是對經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)使用理想化方法進(jìn)行適度近似而得到的形式體系，其一般形式是方程組以及適當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件。

按照法國布爾巴基學(xué)派的認(rèn)識，數(shù)學(xué)對象就是集合及集合上的構(gòu)造。集合是普通高中數(shù)學(xué)課程一開始就會講授的知識點(diǎn)，但教學(xué)者和學(xué)習(xí)者對其重要性認(rèn)識普遍不足。為了充分理解數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，我們認(rèn)為HPM提供了適當(dāng)?shù)囊暯恰?/p>

（二）數(shù)學(xué)的分析化

“數(shù)學(xué)對象是集合”這一認(rèn)識發(fā)端于數(shù)學(xué)的分析化運(yùn)動(dòng)。17世紀(jì)，牛頓—萊布尼茨因物理學(xué)的需要?jiǎng)?chuàng)建了微積分。但直至19世紀(jì)，微積分都是作為一種半經(jīng)驗(yàn)性（即半物理學(xué)）的數(shù)學(xué)形式體系而存在的。

牛頓—萊布尼茨的古典微積分是圍繞“無窮小量”的演算法，其中“既等于零又不為零”的怪異現(xiàn)象引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。以柯西為首的數(shù)學(xué)家致力于解決無窮小演算法的基礎(chǔ)問題，這就是數(shù)學(xué)分析誕生的原因。到魏爾斯特拉斯時(shí)代，微積分學(xué)的形式體系已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了徹底的嚴(yán)格化。無窮小量所引發(fā)的概念混亂被驅(qū)散，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)得以解決。

柯西—維爾斯特拉斯分析學(xué)的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論。本著分析學(xué)的精神，人們還可繼續(xù)追問：實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)是什么？柯西給出的回答是：實(shí)數(shù)是有理數(shù)序列的極限；戴德金給出的回答是：實(shí)數(shù)是有理數(shù)全體上合理的分割方式。也就是說，實(shí)數(shù)（模型）在大多數(shù)情況下要借助有理數(shù)。再進(jìn)一步，有理數(shù)可由整數(shù)的分式域加以構(gòu)造。最后人們要問：整數(shù)（或自然數(shù)）是什么？策梅羅和馮·諾依曼的回答是：自然數(shù)可在集合論中從空集逐步構(gòu)造。

由此可見，數(shù)學(xué)的分析化是從一個(gè)適當(dāng)層面的數(shù)學(xué)對象出發(fā)，逐步尋求其底層構(gòu)造的過程。在分析化過程中，初始數(shù)學(xué)對象的直觀性被逐步消去，最終達(dá)到了高度抽象的數(shù)學(xué)對象。布爾巴基學(xué)派認(rèn)為，所有數(shù)學(xué)對象都是集合及其上面的構(gòu)造。

（三）數(shù)學(xué)的綜合化

分析數(shù)學(xué)是從點(diǎn)集出發(fā)，逐步在其基礎(chǔ)上施加新構(gòu)造，從而得到結(jié)構(gòu)愈加豐富的數(shù)學(xué)對象。與之不同，綜合數(shù)學(xué)提供了另一種實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、把握數(shù)學(xué)對象的方法。綜合數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是：人們在實(shí)踐中對某種類型的數(shù)學(xué)對象可產(chǎn)生足夠的直觀，這些直觀可直接抽象為公理。此類公理直接描述了數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)和行為，而不需再借助一個(gè)底層的“基礎(chǔ)設(shè)施”。

分析數(shù)學(xué)和綜合數(shù)學(xué)中都有公理，但這些公理的作用是不同的。分析數(shù)學(xué)的公理描述在已有數(shù)學(xué)對象上新增設(shè)結(jié)構(gòu)的特性，而綜合數(shù)學(xué)的公理則直接描述某種類型的數(shù)學(xué)對象。任何公理系統(tǒng)都存在一些元數(shù)學(xué)性質(zhì)，如一致性、可靠性和完備性。一致性要求系統(tǒng)中的諸公理不能互相矛盾，這是對一個(gè)公理系統(tǒng)最基本的要求。對分析數(shù)學(xué)來說，由于任何數(shù)學(xué)對象都是前趨對象之上的充實(shí)化，因此一般不太可能出現(xiàn)新公理互相矛盾的問題。但對綜合數(shù)學(xué)來說，諸公理都是從直觀中直接得出，一致性就成為一個(gè)需要嚴(yán)肅對待的問題。由于公理對綜合數(shù)學(xué)而言更為本質(zhì)，因此有時(shí)綜合數(shù)學(xué)也被直接稱為“公理數(shù)學(xué)”。

（四）案例研究：平面幾何學(xué)

中學(xué)數(shù)學(xué)提供了具體說明以上兩種數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的生動(dòng)案例——平面幾何學(xué)。作為綜合數(shù)學(xué)的平面幾何學(xué)，即初中階段學(xué)習(xí)的歐幾里得公理幾何學(xué)。在歐幾里得幾何中，原初對象是點(diǎn)和線。基于人們的數(shù)學(xué)直觀，直接對點(diǎn)和線這兩類數(shù)學(xué)對象規(guī)定下述公理：

［直線公理］ 過兩點(diǎn)有且只有一條直線。

［平行公理］ 過直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線相平行。

諸如此類，不一一列舉。

值得注意的是，歐幾里得的公理幾何在邏輯上是不徹底的。1930年，希爾伯特使用點(diǎn)、線、面、角四種原初對象給出了邏輯嚴(yán)格的綜合初等幾何。1959年塔爾斯基僅使用點(diǎn)，1975年霍布豪斯和舍爾巴僅使用線完成了綜合初等幾何之公理體系的構(gòu)造。

作為解析數(shù)學(xué)的平面幾何，即為笛卡爾解析幾何。此時(shí)，點(diǎn)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對（x，y），而線則定義為滿足Ax+By+C=0的點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的集合。

容易看出，在歐幾里得公理幾何中，點(diǎn)和線都是原初對象，線并不是一個(gè)點(diǎn)集。而在笛卡爾解析幾何中，歐氏幾何中的直線公理、平行公理都變?yōu)槎ɡ?，它們可由線性方程組理論導(dǎo)出。

二、數(shù)學(xué)抽象學(xué)科素養(yǎng)的外延

（一）數(shù)學(xué)直觀

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)主要指“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征”［3］。其中，“數(shù)量與數(shù)量關(guān)系”“圖形與圖形關(guān)系”都是原始數(shù)學(xué)直觀。在原始數(shù)學(xué)直觀中，數(shù)學(xué)對象和邏輯推理都是非形式的。

從現(xiàn)象世界、數(shù)量及其關(guān)系或圖形及其關(guān)系出發(fā)進(jìn)行的數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)，在數(shù)學(xué)史中有兩種方案：分析式的和綜合式的。綜合數(shù)學(xué)抽象出描述數(shù)學(xué)對象的公理體系，而分析數(shù)學(xué)則抽象出（布爾巴基意義上的）數(shù)學(xué)對象。從更加現(xiàn)代一點(diǎn)的觀念看，分析對應(yīng)于數(shù)學(xué)直觀的內(nèi)化，而綜合對應(yīng)于數(shù)學(xué)直觀的形式化。

（二）數(shù)學(xué)直觀的形式化與內(nèi)化

數(shù)學(xué)直觀本身可進(jìn)行多種不同方式的封裝。布爾巴基學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)封裝為素樸集合論，而瑞典數(shù)學(xué)家馬丁—洛夫則認(rèn)為應(yīng)封裝為類型及其意義解釋。數(shù)學(xué)直觀的形式化是指使用某種形式語言來表達(dá)這類原始直觀，由于原始直觀封裝方式的不同，布爾巴基選取ZFC這個(gè)一階語言，而馬丁—洛夫則選取內(nèi)涵構(gòu)造主義類型論。

形式語言的基礎(chǔ)構(gòu)件是概念，而概念就是形式語言中依語法而形成的詞項(xiàng)。因此，形式語言無非是一種“第二語言”［4］，人們借助它可以表達(dá)數(shù)學(xué)概念以及描述概念間關(guān)系的數(shù)學(xué)命題。既然是語言，就有表達(dá)能力強(qiáng)弱的區(qū)別。布爾巴基學(xué)派認(rèn)為，ZFC已足夠表達(dá)數(shù)學(xué)直觀中所有觀念。

內(nèi)化是指在一種具體的底層對象上表達(dá)日常數(shù)學(xué)直觀。布爾巴基的建議是在集合的范圍內(nèi)完成內(nèi)化，但今日的數(shù)學(xué)實(shí)踐已經(jīng)牽涉到高度復(fù)雜的數(shù)學(xué)構(gòu)造。如果依笛卡爾的思路在集合上通過逐層豐化再完成這些構(gòu)造，人們將面臨極高的組合復(fù)雜度。在今日的數(shù)學(xué)教學(xué)中，有相當(dāng)部分的困難即是來源于此。有部分?jǐn)?shù)學(xué)家提出如下建議：何不直接考慮以這類復(fù)雜數(shù)學(xué)對象為初始對象建立綜合數(shù)學(xué)？這一嘗試已經(jīng)取得較大的進(jìn)展，亦有關(guān)心教育工作的數(shù)學(xué)家指出這類新的綜合數(shù)學(xué)應(yīng)該傳導(dǎo)至初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中。［5］

綜上所述，形式化的基礎(chǔ)是邏輯，內(nèi)化的基礎(chǔ)是集合論。正是由于兩者互相配合，才使數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。雖然這兩方面知識目前都不是高考命題的重點(diǎn)，但對其深入理解是使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)成熟的基礎(chǔ)。

三、數(shù)學(xué)抽象學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)

（一）數(shù)學(xué)能力的語言/技術(shù)二分觀

柯爾莫哥洛夫指出：（數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)是）“僅將研究對象的形式分離出來，（然后）對這個(gè)形式作邏輯上的解析”。［6］因此，數(shù)學(xué)能力實(shí)際上包含兩個(gè)部分：

第一部分是數(shù)學(xué)抽象。在任何語言活動(dòng)中，對目標(biāo)語言的語法具有適當(dāng)?shù)氖炀毝?，以及具有充分的語言表達(dá)經(jīng)驗(yàn)都是極為重要的。因此，課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：學(xué)生要注意“積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生還應(yīng)進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)是由“概念、命題、方法和體系”逐級構(gòu)成的，并且數(shù)學(xué)語言也能遷移到其他學(xué)科中去。

第二部分是在形式的基礎(chǔ)上“作邏輯上的解析”。數(shù)學(xué)形式是數(shù)學(xué)抽象的終點(diǎn)，但并不是數(shù)學(xué)活動(dòng)的終點(diǎn)。例如，使用立體向量求解空間幾何問題時(shí)，建立坐標(biāo)系從而將幾何問題代數(shù)化，只是問題求解的半程，還需使用各種方法求出這一問題的閉式解。這一現(xiàn)象在其他科學(xué)中表現(xiàn)得更明顯，如在物理學(xué)中，形式化的終點(diǎn)一般是一個(gè)微分方程組，這類方程在大多數(shù)情況下沒有閉式解，只能定性地分析其解的性質(zhì)。

俄羅斯數(shù)學(xué)教育家斯可平科夫?qū)⒅袑W(xué)數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)劃分為“驅(qū)動(dòng)型”和“技巧型”兩個(gè)方向。前者引導(dǎo)學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步接觸現(xiàn)代數(shù)學(xué)，后者則盡量少地引入新數(shù)學(xué)語言的前提下引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧。

從HPM觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)語言的發(fā)展依賴于分析化和綜合化運(yùn)動(dòng)，但數(shù)學(xué)技巧在柯西以前的古典微積分時(shí)代就已經(jīng)取得了長足的發(fā)展。無怪乎俄羅斯數(shù)學(xué)家阿諾爾德說，在牛頓時(shí)代人人掌握的求極限方法在今天即便是大數(shù)學(xué)家也沒有幾人掌握了。

（二）案例研究：平面向量教學(xué)

在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)，學(xué)生已經(jīng)對向量的“箭頭”定義及演算法有了直觀認(rèn)識。原因是在學(xué)習(xí)“力的合成與分解法則”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道向量可由箭頭描述，其加減法可由平行四邊形法則或三角形法則給出，而純量乘法可由同方向伸縮所描述。

在教學(xué)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生探索向量加法與數(shù)值加法的異同：結(jié)合律、交換律是否成立，是否存在加法零元，加法的逆運(yùn)算怎樣定義，等等。待學(xué)生認(rèn)識到加法運(yùn)算可對數(shù)之外的其他數(shù)學(xué)進(jìn)行對象定義后，教師可借機(jī)抽象出向量加法滿足的5條公理：設(shè)v1、v2、v3是任意平面向量，則：

［封閉性］ v1+v2仍是平面向量

［結(jié)合律］ （v1+v2）+v3=v1+（v2+v3）

［加法零元］ 存在0， 使得 0+v1=v1+0=v1

［逆運(yùn)算］ 存在 -v1， 使得-v1+v1=v1+（-v1）=0

［交換律］ v1+v2=v2+v1

注意，此處尚未引入純量乘法。在引入以上5條性質(zhì)后，教師可提示學(xué)生：對一個(gè)帶有二元運(yùn)算的集合，只要滿足以上5條，就稱之為Abel群。如果只滿足前4條，則稱之為群。如果只滿足前3條，則稱之為幺半群。如果只滿足前2條，則稱之為半群。

教師接下來引入純量乘法。有了向量加法的示例，學(xué)生容易探索出純量乘法的基本性質(zhì)：對任意的λ，μ∈R以及向量v，有：

［封閉性］ λv仍是向量

［純量加］ （λ+μ）v=λv+μv

［純量乘］? （λμ）v=λ（μv）

［純量乘單位元］ 存在1∈R，使得1v=v

教師提示學(xué)生思考：如何理解中間兩條公理？答案是：純量乘的系數(shù)所在的實(shí)數(shù)集R本質(zhì)上是一個(gè)域，而域中只有兩種基本運(yùn)算——加法和乘法。

最后，教師引入向量加法和純量乘法的相容性公理：

［分配律］ λ（u+v）=λu+λv

至此，教師就完成了從物理向量到向量空間的數(shù)學(xué)抽象過程。向量空間由以上10條公理完全刻畫，其諸性質(zhì)可由這些公理導(dǎo)出。對這一典型的數(shù)學(xué)抽象，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下的反思：（1）現(xiàn)象世界的哪些信息被分離出來了？向量空間的諸公理是否都有其經(jīng)驗(yàn)根源？如果不是，哪些公理是純數(shù)學(xué)的需要？（2）物理學(xué)中表示力的向量只是向量空間的一種示例，向量空間在現(xiàn)象世界中是否還有其他示例？（3）這一公理體系是否能推廣至立體向量？

（袁瑞雪，北京化工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100029）

參考文獻(xiàn)：

［1］［2］［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：4，5，4.

［4］ 諾依曼.計(jì)算機(jī)與人腦［M］.甘子玉，譯.北京：商務(wù)印書館， 1965：60.

［5］ 黎景輝. 關(guān)于數(shù)學(xué)教育知識鏈的傳遞問題［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2014（1）：9-15.

［6］ 伊藤清. 柯爾莫哥洛夫的數(shù)學(xué)觀與業(yè)績［J］. 數(shù)學(xué)文化， 2010 （1）：6-12.