中國古代數(shù)學(xué)教材研究

趙穎霞，吳洪成

（1.保定學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河北 保定 071000；2.河北大學(xué) 教育學(xué)院，河北 保定 071002）

中國古代數(shù)學(xué)學(xué)科極其發(fā)達(dá)，“從前3世紀(jì)至14世紀(jì)初居于世界先進(jìn)水平1 700余年，屬當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流”[1]3，因之，數(shù)學(xué)教材的編纂也卓有成就。漢代的太學(xué)和書館、鄉(xiāng)塾等中央和地方官學(xué)已將《九章算術(shù)》作為了數(shù)學(xué)教育的教材，《九章算術(shù)》這部中國古代數(shù)學(xué)著作，自漢代至清代中葉，其間近兩千年，都是中國古代數(shù)學(xué)教育的核心教材；魏晉南北朝時(shí)期，除《九章算術(shù)》外，《海島算經(jīng)》《綴術(shù)》《五經(jīng)算術(shù)》數(shù)學(xué)教材編纂完成；唐宋時(shí)期，歷史上著名的《算經(jīng)十書》得以產(chǎn)生，成為此后一千多年被廣泛使用的教材；明清時(shí)期，數(shù)學(xué)著作和教材，如比較具代表性的《幾何原本》和《數(shù)理精蘊(yùn)》則在吸收中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育成果的同時(shí)也借鑒了國外的數(shù)學(xué)元素。

一、中國古代數(shù)學(xué)教材的歷史嬗變

（一）中國古代數(shù)學(xué)教材的編纂始于秦漢時(shí)期成書的《九章算術(shù)》

漢代在“罷黜百家，獨(dú)尊儒術(shù)”背景下構(gòu)建的學(xué)校制度，包括中央官學(xué)、地方官學(xué)及私學(xué)。學(xué)校課程教學(xué)盡管突出儒學(xué)經(jīng)典及倫理綱常，但并非排斥數(shù)理科技的知識(shí)內(nèi)容，《九章算術(shù)》就體現(xiàn)了秦漢時(shí)期數(shù)學(xué)教育的進(jìn)步和成就?！毒耪滤阈g(shù)》是漢代數(shù)學(xué)教育的主要教材，成書年代大約在公元前1世紀(jì)，經(jīng)過西漢早期丞相張蒼（約公元前200年）和后期大司農(nóng)中丞耿壽昌（約公元前50年）的整理，大體成為定本。三國曹魏時(shí)數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》的序言中曾講：“周公制禮有九數(shù)，九數(shù)之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經(jīng)術(shù)散壞。自時(shí)厥后，漢張蒼、耿壽昌皆善算，因舊文刪補(bǔ)，故校其目，與古或異，而所論多近語?！盵2]可見，《九章算術(shù)》是在《周禮》“九數(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，在東周列國時(shí)已經(jīng)成書，經(jīng)過秦火后，已經(jīng)殘缺不全，后經(jīng)張蒼、耿壽昌等整理、補(bǔ)充，遂成定稿，即《九章算術(shù)》[3]23。該書總結(jié)了秦漢的主要數(shù)學(xué)成就，也記錄了秦漢社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用?！毒耪滤阈g(shù)》共9章246個(gè)例題，內(nèi)容大致包括土地田畝、糧食交換比例、等差和等比數(shù)列、開平方與開立方、各種土木工程體積、納稅和運(yùn)輸、盈虧、線性方程式、勾股定理等。

（二）魏晉南北朝數(shù)學(xué)教材編纂的顯著發(fā)展

魏晉南北朝教育體制的一個(gè)重要特點(diǎn)是沖破了“獨(dú)尊儒術(shù)”的藩籬，先后涌現(xiàn)了史學(xué)、文學(xué)、律學(xué)、書學(xué)、醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)、玄學(xué)、道學(xué)等?？平逃纬闪硕鄬W(xué)科并存的教育格局。數(shù)學(xué)?？平逃龔男问健⒁?guī)模及體制上均不夠成熟或完善，但其科技教育的意義十分突出，由此促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的研究及教材的編纂。這一時(shí)期不僅《九章算術(shù)》，記述勾股定理及其在測(cè)量上應(yīng)用的《周髀算經(jīng)》都成了官學(xué)數(shù)學(xué)教育的主要教材。而且除了《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》之外，還有幾部數(shù)學(xué)著作也是在魏晉南北朝時(shí)期成書，雖然魏晉南北朝時(shí)期這些著作是否作為數(shù)學(xué)教材使用尚缺乏明確記載，但為后來數(shù)學(xué)教育發(fā)展和學(xué)校教材的選用奠定了基礎(chǔ)。

《海島算經(jīng)》，魏晉時(shí)期劉徽撰，初名《重差》，附于《九章算術(shù)注》?！吨夭睢?卷9題，記古時(shí)測(cè)望之術(shù)，因第一題以海島立表設(shè)問測(cè)量高遠(yuǎn)，唐朝時(shí)遂改稱《海島算經(jīng)》，獨(dú)立成書，列為數(shù)學(xué)教材《算經(jīng)十書》中的一部?！逗u算經(jīng)》以應(yīng)用問題集為體例，用垂直關(guān)系連接起來的測(cè)竿與橫棒，通過兩次或多次測(cè)量所得數(shù)據(jù)，推算物體的高度和距離。

《綴術(shù)》，南齊祖沖之撰。祖沖之是一位偉大的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家。早年便以博學(xué)著稱，其最大的貢獻(xiàn)就是將圓周率計(jì)算為3.141 592 6與3.141 592 7之間?！毒Y術(shù)》主要記載觀察與計(jì)算天象歷法的算法，唐朝時(shí)被收錄于《算經(jīng)十書》，成為官學(xué)數(shù)學(xué)教材。

《五經(jīng)算術(shù)》，北周甄鸞撰。甄鸞對(duì)《易》《詩》《書》《周禮》《儀禮》《左傳》《論語》等儒家經(jīng)典中有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、計(jì)算方法的原文加以注釋、解讀，編纂成獨(dú)立的數(shù)學(xué)著作。全書共四十條數(shù)學(xué)解釋，在隋唐以后被列為官學(xué)數(shù)學(xué)教材。

上述數(shù)學(xué)著作彰顯了魏晉南北朝數(shù)學(xué)教育的成就，這些著作大多在唐代被納入《算經(jīng)十書》，成為唐代及之后中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的重要教材。

（三）隋唐數(shù)學(xué)教材的系統(tǒng)化

在隋唐時(shí)期，數(shù)學(xué)教育已具規(guī)模，數(shù)學(xué)教材編纂逐漸系統(tǒng)化。隋唐數(shù)學(xué)教材編纂成就突出的應(yīng)推《算經(jīng)十書》，該書由唐代數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)等注釋、編定，包括《九章算經(jīng)》9卷、《海島算經(jīng)》1卷、《孫子算經(jīng)》3卷、《五曹算經(jīng)》5卷、《張丘建算經(jīng)》3卷、《夏侯陽算經(jīng)》3卷、《周髀算經(jīng)》2卷、《五經(jīng)算術(shù)》2卷、《綴術(shù)》5卷、《三等數(shù)》1卷、《數(shù)術(shù)紀(jì)遺》1卷、《緝古算經(jīng)》4卷。唐高宗時(shí)令國子監(jiān)算學(xué)等官學(xué)教育機(jī)構(gòu)教學(xué)中采用，這是我國歷史上第一次由皇帝下令頒行的數(shù)學(xué)教材。這套系列教材雖然并非完全唐代原創(chuàng)，但最終成書于唐代，是自西周以來1 600年左右的長期探索、積累而成的數(shù)理知識(shí)及技能的集大成者，是唐代經(jīng)濟(jì)實(shí)力強(qiáng)大和科技成就輝煌的綜合反映。隋唐時(shí)期，各冊(cè)教材之間的銜接以及數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容邏輯體系尚不嚴(yán)密、清晰，唐代數(shù)學(xué)家經(jīng)過加工、整理，使之便于數(shù)學(xué)課程的教學(xué)及實(shí)踐，是數(shù)學(xué)教育史上的一大貢獻(xiàn)。

（四）宋代數(shù)學(xué)教材在隋唐基礎(chǔ)上的進(jìn)一步完善

宋代是我國古代教育成熟發(fā)展的時(shí)期。數(shù)學(xué)教材的編纂繼承了唐代傳統(tǒng)，以《九章算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》等為主。除此之外，宋代數(shù)學(xué)家楊輝編纂的《習(xí)算綱目》可稱為這一時(shí)期數(shù)學(xué)教材的突出成就，“是世界上已知的、現(xiàn)存的最早的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和教學(xué)法指導(dǎo)書，堪稱古代的數(shù)學(xué)教育學(xué)”[3]99?！读?xí)算綱目》作為凝練楊輝數(shù)學(xué)教育思想的一本數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，主要有幾個(gè)方面的特點(diǎn)：第一，完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。由“九九合數(shù)”開始，將加減乘除四種算術(shù)運(yùn)算以及開方等運(yùn)算組成一個(gè)完整有序的知識(shí)體系。第二，可行的學(xué)習(xí)進(jìn)度日程。不僅安排了各個(gè)學(xué)習(xí)階段的“溫習(xí)”項(xiàng)目，還在每一學(xué)習(xí)課題中都明確標(biāo)有時(shí)間進(jìn)度，甚至溫習(xí)項(xiàng)目也有日常進(jìn)度。第三，明確規(guī)定的教材。以《五曹算經(jīng)》《應(yīng)用算法》《詳解九章算法》作為基本教材。第四，精辟的教材層次分析。呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的綱要，對(duì)教學(xué)內(nèi)容作了教學(xué)法分析，學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，提出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要循序漸進(jìn)、熟思、熟讀、精思。第五，加強(qiáng)計(jì)算能力提升，重視培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的學(xué)習(xí)態(tài)度。由此可見，“《習(xí)算綱目》是古代數(shù)學(xué)教育的一份不可多得的數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)教科書”[4]，它對(duì)現(xiàn)代中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育仍具有一定的指導(dǎo)意義。

（五）明清（鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)之前）數(shù)學(xué)教材吸收國外數(shù)學(xué)文化元素

明清（鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)之前）作為封建社會(huì)最后的專制統(tǒng)治王朝，也是中國社會(huì)近代化轉(zhuǎn)型的前夕，以明代徐光啟、李之藻和清代梅瑴成等為代表的一批數(shù)學(xué)家開始對(duì)古代傳統(tǒng)科學(xué)遺產(chǎn)進(jìn)行總結(jié)性的研究，并在明清之際第一次西學(xué)東漸過程中，順應(yīng)歷史潮流，努力將眼光投向古希臘、中世紀(jì)大學(xué)和近代人文主義教育的科學(xué)成就，從中吸取先進(jìn)的、與我國傳統(tǒng)科學(xué)成果相補(bǔ)充的因素。如古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得撰寫的數(shù)學(xué)專著《幾何原本》，明代時(shí)由利瑪竇口譯、徐光啟筆錄將其前六卷翻譯刊刻，成為了重要的數(shù)學(xué)教材。清代數(shù)學(xué)家梅瑴成、陳厚耀、何國宗等人奉康熙帝玄燁之命編纂的《數(shù)理精蘊(yùn)》，是我國古代著名的數(shù)學(xué)百科全書，成書之后即為清代的數(shù)學(xué)教材，《數(shù)理精蘊(yùn)》既傳承了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育成果，也吸收了西方數(shù)學(xué)教育內(nèi)容。

二、中國古代數(shù)學(xué)教材舉要

中國古代數(shù)學(xué)教育的發(fā)達(dá)使數(shù)學(xué)教材的編纂也很有成就。自漢代就被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育實(shí)踐的《九章算術(shù)》最具代表性，唐代整理而成的《算經(jīng)十書》、明清時(shí)期編纂的《幾何原本》《數(shù)理精蘊(yùn)》均是中國古代重要的數(shù)學(xué)教材。深入研究與分析典型教材，可以說是審視中國古代數(shù)學(xué)教育和教材的重要視角。

（一）《九章算術(shù)》的內(nèi)容及編纂體例

《九章算術(shù)》是中國古代最具代表性和使用時(shí)間最久的數(shù)學(xué)教材?！皬臐h代至清代中葉，其間近2 000年，都采用《九章算術(shù)》作為教科書，培育了一代又一代的數(shù)學(xué)教育工作者和數(shù)學(xué)大家。祖沖之、王孝通、李淳風(fēng)、賈憲、楊輝、秦九韶、朱世杰、吳敬、程大位、梅文鼎、戴震、梅瑴成、阮元等，都受到了《九章算術(shù)》的啟迪，他們的著作大都是采取《九章算術(shù)》應(yīng)用問題集的形式，展示各自的創(chuàng)造成果，形成了中國獨(dú)具特色的數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)”[3]25。

1.《九章算術(shù)》的內(nèi)容

《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十書》中最重要也是流傳下來最早的一部綜合性數(shù)學(xué)教材。中國古代數(shù)學(xué)專著都是在不斷總結(jié)生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上而成的，《九章算術(shù)》也不例外，其內(nèi)容集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)生活實(shí)踐中的應(yīng)用。如《九章算術(shù)》的內(nèi)容極為豐富，按算法分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，這些內(nèi)容主要關(guān)乎農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中極具應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)。“方田”是指土地形狀，涉及各種形狀地畝面積的計(jì)算，包括計(jì)算各種形狀面積的公式及分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則；“粟米”指谷物品種，主要闡釋各種谷物交換的比例算法；“衰分”指分配比例，涉及比例分配算法；“少廣”指邊長問題，包括面積與體積的運(yùn)算，提出了世界上最早的開平方與開立方運(yùn)算方法；“商功”為工程計(jì)算，涉及各種體積公式和土方工程工作量的分配算法；“均輸”意為平均輸送，包括人口多少、路途遠(yuǎn)近、谷物價(jià)格和賦稅負(fù)擔(dān)的運(yùn)算方法；“盈不足”是盈不足術(shù)的代稱，涉及盈虧類問題的算法；“方程”指方程術(shù)，涉及當(dāng)今數(shù)學(xué)中的線性方程組解法等；“勾股”指直角三角形，涉及直角三角形的理論。

另外，在實(shí)踐應(yīng)用的基礎(chǔ)上，《九章算術(shù)》含有近百條十分抽象的術(shù)文，即公式、解法以及246道例題。其中比例和比例分配、盈不足、開方等算法及分?jǐn)?shù)理論、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)加減法則、解勾股形方法等都超前其他文化傳統(tǒng)幾百年甚至千余年，是具有世界意義的重大成就[1]5。

2.《九章算術(shù)》的編纂體例

《九章算術(shù)》采用了以應(yīng)用問題集的形式加以組織，按照問題的性質(zhì)進(jìn)行大的分類，形成章節(jié)，每一類為一章節(jié)。再依照問題的解法（《九章算術(shù)》中稱為“術(shù)”）進(jìn)行具體分類，形成每一章節(jié)的多個(gè)小類。每一小類都有解題步驟，包括數(shù)學(xué)公式、推理等。這種結(jié)構(gòu)體系，是以算法為中心，根據(jù)算法組建理論體系。依此編纂體例，《九章算術(shù)》全書246個(gè)問題被分為九類，每一類為一章，全書共九章。每一類問題的解析通過例題、答案和術(shù)來演示，依照術(shù)的不同，每一章的問題又進(jìn)一步被分為不同的小類。編纂體例主要有兩種，第一，一術(shù)解一題的類型，以勾股章的一題為例：“今有圓材徑二尺五寸，欲為方版，令厚七寸。問：廣幾何？答：二尺四寸。術(shù)曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘減之，其余，開方除之，即廣?！盵5]410這種類型中術(shù)文只適用于該題目，可以說是一術(shù)一題，具體的術(shù)解析具體的題目，《九章算術(shù)》衰分、均輸、勾股等章的部分題目采用了此編纂體例。第二，一術(shù)解一類題的類型，即一類問題只有唯一術(shù)文解析，術(shù)文抽象、嚴(yán)謹(jǐn)且具有普適性，而每一題只有題目和答案，不再有術(shù)文，如《九章算術(shù)》方田一章：“今有田廣十五步，縱十六步。問：為田幾何？答曰：一畝。又有田廣十二步，縱十四步。問：為田幾何？答曰：一百六十八步。術(shù)曰：廣縱步數(shù)相乘得積步?！盵5]9這種類型，兩例題都只有題目和答案，兩例題后的術(shù)文是對(duì)兩例題的共同解析。當(dāng)然這種類型的具體形式還可以多樣，除了上面的先題后術(shù)的形式，還可以先術(shù)后題，一題一答。如《九章算術(shù)》商功一章有關(guān)“城、垣、堤、溝、塹、渠”面積計(jì)算的例題及術(shù)文：“術(shù)曰：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。問：積幾何？答曰：一百八十九萬七千五百尺?！盵5]176也可以先總術(shù)后例題，每道例題一題一答再分術(shù)。這種編纂形式是先給出抽象的總術(shù)，再列舉多道例題，但和第二種編纂形式不同之處在于每道例題除題目和答案外還分別都有一條具體術(shù)文，闡釋總術(shù)在本例題中的具體應(yīng)用方法，如《九章算術(shù)》粟米一章的一題：“術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法。今有粟二斗一升，欲為粺米。問：得幾何？答曰：為粺米一斗一升五十分升之十七。術(shù)曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。”[5]70-71

數(shù)學(xué)教材的編寫緊密結(jié)合當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活實(shí)況。《九章算術(shù)》生動(dòng)地記錄了漢代社會(huì)經(jīng)濟(jì)狀況，涉及了漢代人日常生活的方方面面，它用一個(gè)個(gè)數(shù)字、一道道例題清晰地解讀了漢朝百姓的衣食住行、柴米油鹽。例如，“今有人共買琎。人初半，盈四，人出少半，不足三。問：人數(shù)、琎價(jià)各幾何？答曰：四十二人，琎價(jià)十七”[5]308，證明漢代已經(jīng)有了“團(tuán)購”；“今有人持米出三關(guān)，外關(guān)三取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問：本持米幾何？答曰：十斗九升八分升之三”[5]259，記錄了漢代稅務(wù)計(jì)算；而“今有素一匹一丈，價(jià)值六百二十五。今有錢五百，問：得素幾何？答曰：得素一匹”[5]113，則記錄了漢代的物價(jià)情況。這一道道例題反映了千百年前的漢代社會(huì)生活。

（二）《幾何原本》的內(nèi)容及編纂體例

《幾何原本》是歐洲古代一部杰出的幾何學(xué)教科書，其中歸納了幾何學(xué)的概念、定義、公理，并以形式邏輯的方法運(yùn)用定義、公設(shè)、公理對(duì)相關(guān)幾何問題、圖形進(jìn)行演繹、推理，形成定理，通過這些定義和公理探討幾何問題，建立起一套數(shù)學(xué)理論體系。《幾何原本》經(jīng)明代利瑪竇口譯、徐光啟筆錄翻譯后成為了中國古代數(shù)學(xué)教育的重要教材。

1.《幾何原本》的內(nèi)容

《幾何原本》是代數(shù)幾何化，內(nèi)容包括初等幾何（點(diǎn)、線、面、圓和球）、初等數(shù)論（高等算術(shù)）、幾何代數(shù)等?！稁缀卧尽烽_篇即給出了23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，然后用這些公理、公設(shè)演繹推理證明命題，而每一命題往往就是一個(gè)定理。第一章包括48個(gè)命題，如命題47：“在直角三角形中，直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形的和”[6]24，即著名的勾股定理；第二章包括14個(gè)命題，如命題4：“如果任意兩分一個(gè)線段，則在整個(gè)線段上的正方形等于各個(gè)小線段上的正方形的和加上由兩小線段構(gòu)成的矩形的二倍。”[6]27這個(gè)命題是用幾何的語言敘述代數(shù)的恒等式；第三章有37個(gè)命題，討論圓、弦、切線、圓周角、內(nèi)接四邊形及與圓有關(guān)的圖形；第四章有16個(gè)命題，包括圓內(nèi)接與外切三角形、正方形；第五章25個(gè)命題，主要涉及比例論；第六章共33個(gè)命題，主要內(nèi)容為平面圖形研究；第七、八、九三章分別有39、27、36個(gè)命題，主要是數(shù)論；第十章包含115個(gè)命題，主要討論無理量；第十一章討論空間的直線與平面的各種關(guān)系；第十二章證明“圓面積的比等于直徑平方的比”；第十三章著重研究5種正多面體?！稁缀卧尽穾缀醪簧婕坝?jì)算，也不強(qiáng)調(diào)幾何的實(shí)用性，其數(shù)論問題都是通過嚴(yán)格的邏輯證明來具體解決的。

2.《幾何原本》的編纂體例

《幾何原本》的編纂體例與《九章算術(shù)》不同。其內(nèi)容編排包括兩部分，第一部分為數(shù)理原理，這一部分包括定義、公設(shè)和公理。尤其是第一章，首先給出包括點(diǎn)、線、面等的23個(gè)定義，之后闡述了5個(gè)公設(shè)，其中包括被稱為“歐幾里得平行公設(shè)”的第五公設(shè)，公設(shè)之后是5個(gè)公理，這些是全書所有命題邏輯演繹推理的基礎(chǔ)，因此，在第一章后的各章只設(shè)定義，不再列出公設(shè)和公理。第二部分是命題，每一道命題都相當(dāng)于一條定理，因此，每一道命題都包含證明過程和推論過程?？梢?，《幾何原本》編纂體例的特點(diǎn)是將邏輯推理進(jìn)行系統(tǒng)化歸納，形成數(shù)學(xué)體系中的邏輯演繹系統(tǒng)。這有別于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以算為中心，側(cè)重解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容編排特點(diǎn)?！稁缀卧尽分饕菍⑦壿嬐评硐到y(tǒng)化，數(shù)論問題都是通過嚴(yán)格的邏輯推理、證明解決。徐光啟對(duì)《幾何原本》十分推崇，也有深刻的理解，他曾評(píng)價(jià)到：“人具上資而意理疏莽，即上資無用；人具中材而心思縝密，即中材有用，能通幾何之學(xué)，縝密甚矣！故率天下之人而歸于實(shí)用者，是或其所由之道也?！盵7]《幾何原本》內(nèi)容包含數(shù)學(xué)定理、公式，數(shù)學(xué)原理，都是通過嚴(yán)密的推理、論證、數(shù)理演繹證明的，表明數(shù)學(xué)是一種遵循數(shù)學(xué)概念—定理—公式—例題—練習(xí)程序的教學(xué)活動(dòng)過程。

（三）《數(shù)理精蘊(yùn)》的內(nèi)容及編纂體例

《數(shù)理精蘊(yùn)》是清代編纂的數(shù)學(xué)教材?？滴跷迨辏?713）設(shè)算學(xué)館，至乾隆四年（1739），算學(xué)館隸屬國子監(jiān)，稱國子監(jiān)算學(xué)?？滴鯐r(shí)欽定《數(shù)理精蘊(yùn)》為算學(xué)館的主要教材，乾隆時(shí)則將《數(shù)理精蘊(yùn)》的線、面、體三部分重新編寫作為國子監(jiān)算學(xué)的教材。《數(shù)理精蘊(yùn)》在清代流傳很廣，成為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)的主要教材和參考書。

1.《數(shù)理精蘊(yùn)》的內(nèi)容

《數(shù)理精蘊(yùn)》共五十三卷，上編五卷主要闡明數(shù)學(xué)原理，包括《周髀經(jīng)解》《算術(shù)原本》等；下編四十卷主要介紹實(shí)用算術(shù)，包括線、面、體等；最后八卷為附表四種。

《數(shù)理精蘊(yùn)》上編五卷“立綱明體”，由《河圖》《洛書》及《周髀算經(jīng)》的部分經(jīng)文組成，編撰者將它們視作中、西數(shù)學(xué)的共同起源。其后，則是按歐洲數(shù)學(xué)幾何和算術(shù)兩類內(nèi)容的分類法分為《幾何原本》和《算法原本》?！稊?shù)理精蘊(yùn)》中的《幾何原本》是根據(jù)清代數(shù)學(xué)家張誠譯自法文的版本修訂的，它與徐光啟的《幾何原本》文字稍有不同?！稁缀卧尽肥恰皵?shù)論”，《算法原本》是小學(xué)算術(shù)的理論基礎(chǔ)，它們性質(zhì)不同。將數(shù)學(xué)分為《幾何原本》和《算法原本》，表明編撰者意在將數(shù)學(xué)的“體”建構(gòu)在歐洲數(shù)學(xué)分類法之上。

《數(shù)理精蘊(yùn)》下編四十卷“分條致用”，主要介紹從17世紀(jì)初年以來傳入中國的歐洲實(shí)用數(shù)學(xué)，分為首部、線部、面部、體部和末部。首部首列度、量、衡單位及換算法，其后為歐洲筆算定位及四則運(yùn)算方法、分?jǐn)?shù)及其計(jì)算方法和各類比例算法。線部講解線性運(yùn)算，如其中卷二至卷七詳細(xì)討論各種比例的運(yùn)算方法，不僅涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)意義的比例計(jì)算法，還包括等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和方法。卷十一至卷二十二為面部，主要討論與平面圖形相關(guān)的問題。如卷十一講開平方及開帶縱平方。卷十二、卷十三講勾股，解決有關(guān)直角三角形三邊的二次方程應(yīng)用問題。卷二十三至卷三十為體部，主要解決立體問題。如卷二十三講開立方，卷二十五講柱體、棱錐體、棱臺(tái)體的體積，卷二十六講圓柱、圓錐、球、截球體、橢圓體的體積。卷三十一至卷四十為末部。卷三十一至卷三十六共六卷為《借根方比例》，介紹當(dāng)時(shí)傳入中國的代數(shù)學(xué)知識(shí)。卷三十七為雜題，卷三十八介紹“對(duì)數(shù)比例”，卷三十九和卷四十為比例規(guī)解。另外，《數(shù)理精蘊(yùn)》下編之后的八卷有四種數(shù)學(xué)用表，即素因數(shù)表、對(duì)數(shù)表、三角函數(shù)表和三角函數(shù)對(duì)數(shù)表。

2.《數(shù)理精蘊(yùn)》的編纂體例

《數(shù)理精蘊(yùn)》是對(duì)中國傳統(tǒng)及歐洲數(shù)學(xué)知識(shí)的總結(jié)。雖然以“西學(xué)中源”作為綱紀(jì)，并收入了一些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，但其整體內(nèi)容基本是按歐洲數(shù)學(xué)分類法編排的，而且以歐洲數(shù)學(xué)方法重新闡述部分傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容。該書的體例為：先給出算法和幾何學(xué)的一般性描述，即“明體”，然后再對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)論述，即“分條致用”。全書內(nèi)容由淺入深，以線性問題、二次問題和高次問題為脈絡(luò)，以比例算法為聯(lián)系，構(gòu)成了一個(gè)知識(shí)整體。

三、中國古代數(shù)學(xué)教材變革的影響因素

中國古代數(shù)學(xué)教材的變遷是傳統(tǒng)教育變遷的縮影，中國傳統(tǒng)教育是在封建社會(huì)主導(dǎo)教育思想即儒家教育思想影響下變化發(fā)展的，中國古代數(shù)學(xué)教材的變遷也深受儒家“經(jīng)世致用”思想的浸潤。同時(shí)，古代的教育制度，尤其科舉制度對(duì)數(shù)學(xué)教材也產(chǎn)生了非常重要的影響。此外，明清時(shí)期中西文化的交流也促進(jìn)了中國數(shù)學(xué)教材的變革。

（一）儒家“經(jīng)世致用”思想使古代數(shù)學(xué)教材凸顯實(shí)用性

“經(jīng)世致用”是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材編寫的指導(dǎo)思想。如漢代奉行“罷黜百家，獨(dú)尊儒術(shù)”的文教政策，使教育呈現(xiàn)了儒學(xué)化。儒學(xué)講究“經(jīng)世致用”，學(xué)習(xí)知識(shí)是為了解決實(shí)踐問題。在這一思想指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容是從社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的需要中產(chǎn)生并為社會(huì)生產(chǎn)和生活服務(wù)。中國社會(huì)自古就是農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)社會(huì)，農(nóng)業(yè)與手工業(yè)生產(chǎn)是社會(huì)主要的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容也相應(yīng)地以應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐的數(shù)學(xué)知識(shí)為主，如表1所歸納《九章算術(shù)》的內(nèi)容[3]24。

表1 《九章算術(shù)》內(nèi)容

《九章算術(shù)》是漢代完成的承前啟后的古代數(shù)學(xué)教科書典范，從表1可見，《九章算術(shù)》所涉及的內(nèi)容主要是社會(huì)生產(chǎn)及生活應(yīng)用領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)模型，涵蓋了土地丈量、糧食分配、賦稅繳納、面積與體積計(jì)算、土方工程、谷物運(yùn)輸?shù)壬鐣?huì)生產(chǎn)生活各方面的數(shù)學(xué)應(yīng)用。《九章算術(shù)》奠定了中國古代數(shù)學(xué)教育和教材的基礎(chǔ)，在《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，唐代又進(jìn)一步編纂了《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《綴術(shù)》《緝古算經(jīng)》等數(shù)學(xué)教材，這些教材的內(nèi)容也多反映了當(dāng)時(shí)科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的迫切需要。如《夏侯陽算經(jīng)》共3卷，收錄83個(gè)問題，大多數(shù)問題都是來自于社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，為地方官吏和廣大百姓解決經(jīng)濟(jì)問題提供適用的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算技術(shù)，體現(xiàn)了生產(chǎn)生活實(shí)踐對(duì)實(shí)用數(shù)學(xué)的需要。由此可見，中國古代數(shù)學(xué)教育與教材受儒學(xué)“經(jīng)世致用”思想影響而服務(wù)與應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)生活實(shí)踐的應(yīng)用性特征。

（二）科舉制度影響古代數(shù)學(xué)教材的編纂

科舉考試制度在隋朝確立之后，不斷完善，逐漸成為中國古代教育的指揮棒，科舉考試考什么，官學(xué)、私學(xué)、書院幾乎就教什么。數(shù)學(xué)是具體學(xué)科的教育，因而教育制度對(duì)其有更為直接的影響，科舉考試制度所規(guī)定的內(nèi)容可以說影響了數(shù)學(xué)教育的形式及教學(xué)內(nèi)容。如唐代的科舉制分常科和制科，?？茷槊磕昱e行的考試，其中就設(shè)有明算科。明算科的內(nèi)容與官學(xué)中數(shù)學(xué)專科教育機(jī)構(gòu)考試一樣，分兩大專業(yè)類：第一個(gè)專業(yè)考《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》；第二個(gè)專業(yè)考《緝古算經(jīng)》《綴術(shù)》；二者共同加試《數(shù)術(shù)記遺》《三等數(shù)》?？荚囈悦鲾?shù)造術(shù)、詳明術(shù)理為標(biāo)準(zhǔn)，以問答的形式考核教材的基本內(nèi)容。如第一個(gè)專業(yè)選《九章算術(shù)》中的任意三題，其他教材各任意一題，共十題進(jìn)行考試，答對(duì)六題以上為及格；第二個(gè)專業(yè)選《綴術(shù)》中的任意七題，《緝古算經(jīng)》中的任意三題進(jìn)行考試，答對(duì)六題以上為及格。另外，以帖經(jīng)的形式考《數(shù)術(shù)記遺》和《三等數(shù)》，帖十題對(duì)九題為及格?？忌鷨柎鸷吞?jīng)都及格就可以及第授官。正因?yàn)榭婆e明算科對(duì)考試內(nèi)容和形式如此明確的規(guī)定和設(shè)置，唐代國子監(jiān)以及地方官學(xué)和私學(xué)才嚴(yán)格圍繞科舉考試組織教學(xué)，將科舉考試指定的教材進(jìn)行了統(tǒng)一編纂，完成中國數(shù)學(xué)教育史上最具代表性，也是最完善的一套教材——《算經(jīng)十書》?！端憬?jīng)十書》可以說是專門為科舉考試量身定做的一套數(shù)學(xué)教材，既是對(duì)之前數(shù)學(xué)教育成果的總結(jié)，也為后來數(shù)學(xué)教育的發(fā)展完善提供了保障。從唐到五代，300多年間一直有明算科舉，每年要有若干生徒和鄉(xiāng)貢考數(shù)學(xué)，“后唐天成五年（公元930年），宋延美明算科及第；是年明算五人，而延美為之首。天成五年二月，改元長興。長興元年（公元930年）夏四月，國子司業(yè)張溥請(qǐng)復(fù)國子學(xué)八館，廣攬生徒，以興絕學(xué)，而算學(xué)居其一”[8]。由此可知，正是通過明算科的科舉考試，促進(jìn)唐代數(shù)學(xué)教材的普及和發(fā)展。而到了明清時(shí)期，科舉考試逐漸取消了數(shù)學(xué)應(yīng)試內(nèi)容，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的編纂也呈現(xiàn)衰微?？梢娍婆e制度對(duì)數(shù)學(xué)教育的重視程度對(duì)古代數(shù)學(xué)教材的編纂有重要影響。

（三）民間對(duì)數(shù)學(xué)教育的傳承豐富了古代數(shù)學(xué)教材

古代數(shù)學(xué)教材編纂的成就除了取決于官方對(duì)數(shù)學(xué)教育的重視與推動(dòng)，民間對(duì)數(shù)學(xué)教育的傳承也豐富和促進(jìn)了古代數(shù)學(xué)教材的編纂。比如元代，因?yàn)樗綄W(xué)數(shù)學(xué)教育比較盛行，所以涌現(xiàn)出了像朱世杰這樣出色的專業(yè)數(shù)學(xué)教育家，美國著名的科學(xué)史家G·薩頓稱朱世杰“是他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家”[9]，他所作《四元玉鑒》是中國數(shù)學(xué)史同時(shí)也是整個(gè)世界中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一。為了給數(shù)學(xué)初學(xué)者講授數(shù)學(xué)知識(shí)，朱世杰又專門編著了《算學(xué)啟蒙》教材，共3卷20門，259個(gè)問題。其知識(shí)內(nèi)容大都與當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活有關(guān)。從數(shù)學(xué)學(xué)科分析，從簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算入手，逐步深入，直到高次開方、天元術(shù)等較高深的內(nèi)容，形成了比較完整的體系，是一部很好的數(shù)學(xué)啟蒙教材。再比如清代，清代私學(xué)數(shù)學(xué)教育比較興盛，很多數(shù)學(xué)家、歷學(xué)家都接受過私學(xué)數(shù)學(xué)教育，也曾私授數(shù)學(xué)。如“梅文鼎……兒時(shí)侍父士昌，及塾師羅王賓，仰觀星氣，輒了然于次舍運(yùn)轉(zhuǎn)大意。年二十七，師事竹冠道士倪觀湖，受麻孟璇所藏臺(tái)官交食法”[10]459。梅文鼎學(xué)成之后，廣授門徒，曾自言，“吾無為此學(xué)，竭力最艱苦之后，而后得簡(jiǎn)易。有從吾游者，坐進(jìn)此道，而吾一生勤苦，皆為若用矣。吾惟求此理大顯，使古絕學(xué)不致無傳，則死且無憾，不必身擅其名也”[10]465，體現(xiàn)了這位清代數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)教育竭心盡力、義不容辭的精神。正因?yàn)槊肺亩χ铝λ綄W(xué)數(shù)學(xué)教育，才培養(yǎng)了李煥斗、潘天成、劉介錫、李光地等數(shù)學(xué)人才。另外，乾嘉學(xué)派的代表人物戴震在數(shù)學(xué)教育方面也頗有成就。他一方面賜惠后學(xué)，培養(yǎng)了像阮元、焦循、汪萊等很多的數(shù)學(xué)人才，另一方面，在任《四庫全書》天文算法類的分校官時(shí)，先后校對(duì)編刻了《海島算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》《數(shù)術(shù)記遺》等數(shù)學(xué)著作，并將之合編在一起成為了清代的《算經(jīng)十書》，通過戴震的努力，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在清代又重新受到重視，也為清代數(shù)學(xué)教育提供了教材。以上可見，古代民間對(duì)數(shù)學(xué)教育的傳承也豐富和促進(jìn)了古代數(shù)學(xué)教材的編纂。

（四）歐洲數(shù)學(xué)教材的引入推動(dòng)了明清時(shí)期數(shù)學(xué)教材的編纂

歐洲數(shù)學(xué)教材的引入對(duì)明清時(shí)期數(shù)學(xué)教材的編纂影響比較突出。明朝的經(jīng)濟(jì)政策促進(jìn)了農(nóng)業(yè)、工商業(yè)經(jīng)濟(jì)的提升以及對(duì)外貿(mào)易的推進(jìn)，尤其是商品經(jīng)濟(jì)有所發(fā)展，甚至明中葉后產(chǎn)生了資本主義生產(chǎn)方式和資本主義生產(chǎn)關(guān)系的萌芽。同時(shí)，明朝重視科學(xué)技術(shù)的作用，涌現(xiàn)了李時(shí)珍、宋應(yīng)星、徐光啟等一批著名的科學(xué)家。但明代出于加強(qiáng)封建集權(quán)專制的需要，特別強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)忠君的文臣，對(duì)官私學(xué)中的科學(xué)技術(shù)教育尤其是數(shù)學(xué)教育相對(duì)漠視。明代國子監(jiān)不設(shè)算學(xué)，也不像唐宋時(shí)期開設(shè)數(shù)學(xué)?？茖W(xué)校，這導(dǎo)致了明代數(shù)學(xué)教育的衰微。本國數(shù)學(xué)教育的衰微反倒促使人們將目光轉(zhuǎn)向國外數(shù)學(xué)教育。如明代，朝廷命禮部侍郎徐光啟督修歷法，編譯《崇禎歷書》。在這過程中，徐光啟專門挑選了一批學(xué)生一邊參加修歷工作，一邊學(xué)習(xí)西方天文歷法和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。1607年以后，徐光啟主持編譯完成了137卷的《崇禎歷書》。這部歷書主要介紹了歐洲天文學(xué)家第谷的地心學(xué)說。作為這一學(xué)說的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，希臘的幾何學(xué)、歐洲的三角學(xué)和納皮爾的算籌等也引起了徐光啟等人的關(guān)注。由此，徐光啟主持翻譯了代表西方數(shù)學(xué)發(fā)展成就的《幾何原本》，這部西方幾何學(xué)著作就此成為了中國古代數(shù)學(xué)教材。

通過中國古代數(shù)學(xué)教育嬗變過程的透視，以及對(duì)以《九章算術(shù)》和《幾何原本》《數(shù)理精蘊(yùn)》為典型的中國古代數(shù)學(xué)教材內(nèi)容和編纂體例的分析可知，中國古代數(shù)學(xué)教材的編纂凸顯了一定的特點(diǎn)和成就：一是數(shù)學(xué)教育是實(shí)踐教育，數(shù)學(xué)教材體現(xiàn)實(shí)踐性和應(yīng)用性。中國古代數(shù)學(xué)教育自產(chǎn)生之初就與社會(huì)生產(chǎn)生活實(shí)踐緊密相關(guān)，可以說數(shù)學(xué)知識(shí)大多來自于社會(huì)活動(dòng)，也應(yīng)用于社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題，具有很明顯的實(shí)用性特征。無論是漢代的《九章算術(shù)》，還是唐代的《算經(jīng)十書》，可以說都是社會(huì)生產(chǎn)生活實(shí)踐中形成的數(shù)學(xué)知識(shí)的總結(jié)，其所呈現(xiàn)和演繹的數(shù)學(xué)原理與計(jì)算方法等主要應(yīng)用于生產(chǎn)生活實(shí)踐。數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)學(xué)科，是一種實(shí)踐教育，數(shù)學(xué)教育應(yīng)將理論與實(shí)踐相結(jié)合，從實(shí)踐中總結(jié)理論，依照理論解決實(shí)際問題，創(chuàng)新并實(shí)施情境化教學(xué)模式。二是數(shù)學(xué)教育也是科學(xué)教育，應(yīng)尊重?cái)?shù)學(xué)教育規(guī)律。以《幾何原本》《數(shù)理精蘊(yùn)》為代表的中國傳統(tǒng)社會(huì)末期的數(shù)學(xué)教材借鑒了歐洲古代數(shù)學(xué)成果，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的抽象性和嚴(yán)密性特征，從某種意義上切中中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的時(shí)弊，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的不足，完善了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育。