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    (3+1)維Korteweg-de-Vries方程的復合函數(shù)混合解

    2023-02-01 08:17:42冀敏杰套格圖桑
    關鍵詞:試探將式分式

    冀敏杰,套格圖桑

    (1.內(nèi)蒙古師范大學 數(shù)學科學學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應用數(shù)學中心,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

    孤立子是一類非線性發(fā)展方程的解,反映的是一類非常穩(wěn)定的物理現(xiàn)象。1834年J.S.羅素在一篇報告中提到他觀察到一種奇特的自然現(xiàn)象。1895年D.J.柯脫維格和G.德維雷斯研究淺水波時建立一個非線性波動方程(稱為KdV方程)得出類似的解[1]。近年來,學者們利用貝爾多項式法[2]、廣田雙線性法[3]、有理函數(shù)變換法[4]、齊次平衡法[5]、B?cklund變換法[6]等多種方法求解非線性發(fā)展方程,并獲得了許多新的研究成果。

    文獻[7]應用試探函數(shù)法得到了(2+1)維廣義KdV方程的周期孤波解,文獻[8]基于貝爾多項式理論,通過符號計算得到類9階KdV方程的有理解,文獻[9]通過給定的符號計算法得到了一類(3+1)維KdV方程的有理解,文獻[10]通過擴展的有理函數(shù)方法得到了(3+1)維變系數(shù)KP方程的lump解。

    其中u是關于x,y,z,t的函數(shù),x,y,z,t是獨立變量,α,β,γ,δ,θ,λ均為常數(shù)。當取α=1,β=6,γ=6,θ=1,δ=1,λ=1時,方程(2)轉化為方程(1)。

    本文利用Hirota雙線性法,把方程(2)化為雙線性形式,通過運用試探函數(shù)法和符號計算系統(tǒng)Mathematica給出了包含方程(1)和(2)的(3+1)維KdV方程的lump新解以及三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和雙曲函數(shù)通過幾種形式組合的復合函數(shù)新解。

    1 (3+1)維KdV方程的exp-cos-cosh-sinh-sin型解

    方程(2)在約束條件β=6α,γ=6α,δ=α下,通過變換

    可轉化為

    的雙線性方程。其中f是關于x,y,z,t的待定函數(shù)。滿足D-算子。D-算子的定義為

    引入試探函數(shù)

    其中ηi=aix+biy+ciz+dit(i=1,2,3,4,5),ai,bi,ci,di,ρi(i=1,2,3,4)為待定常數(shù)。

    將 式(6)代 入 方 程(4)中,并 令eη1,sin(η2),cos(η2),cosh(ηi),sinh(ηi)(i=3,4),sin(η5),cos2(η2)的系數(shù)為零,即可得到一組非線性代數(shù)方程組,利用符號計算系統(tǒng)Mathematica,求出該方程組的如下幾種解:

    將式(9)代入式(6)得

    將式(10)代入式(3)得方程(2)的解為

    其中

    選 取 適 當 參 數(shù)c=6,a1=-2,c1=-3,d1=3,c2=1,ρ1=-4,ρ2=-4,ρ3=-3,ρ4=1,d2=-3,b2=7,a2=4,a4=-3,a5=-4,d4=1,c4=2,d5=-3,b5=3,a3=8,c3=1,d3=2,x=0,y=0并代入解(11),得到方程的如下解:

    解(12)的特征圖如圖1所示。

    圖1 當y=x=0時,u(x,y,z,t)關于z,t的圖像Fig.1 When y=x=0,3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

    2 (3+1)維KdV方程的lump新解

    引入試探函數(shù)

    其中ai,bi,ci,di,fi(i=1,2)是待定常數(shù)。

    將式(13)代入方程(4)中,并令t2,tx,ty,tz,xy,xz,yz,x2,y2,z2,的系數(shù)為零,得到一組非線性微分方程組,利用符號計算系統(tǒng)Mathematica得到該方程組的如下幾組解:

    將式(14)代入式(13)后,并將得到的結果代入式(3)得到方程(2)的解

    選取適當參數(shù)c=1,a2=1,g2=1,f1=1,f2=1,d1=1,c1=2,d2=1,b1=1,x=0,y=0,α=1,β=6,γ=6,θ=1,δ=1,λ=1并代入式(17)化簡得到方程(2)的解

    解(17)的特征圖如圖2所示。

    圖2 當c=1,a2=1,g2=1,y=x=0時,u(x,y,z,t)關于z,t的圖像Fig.2 When c=1,a2=1,g2=1,y=x=0,3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

    3 (3+1)維KdV方程的exp-ln-分式新解

    引入試探函數(shù)

    其中φi=aix+biy+ciz+dit,ai,bi,ci,di(i=1,2,3)為待定常數(shù)。

    將式(18)代入方程(4),令eφ1,的系數(shù)為零得到一組非線性方程組,利用符號計算系統(tǒng)Mathematica得到該方程組的解

    將式(19)代入式(18)得

    將式(21)代入式(3)得到方程(2)的解

    其中

    解(23)的特征圖如圖3所示。

    圖3 當y=x=0時,u(x,y,z,t)關于z,t的圖像Fig.3 When y=x=0,3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

    4 (3+1)維KdV方程的新分式解

    引入試探函數(shù)

    其中ai,bi(i=0,1,2,3,4)是待定常數(shù)。

    將(27)代入式(24)后,代入式(3)得到方程(2)的解為

    選 取 適 當 參 數(shù)a0=1,a1=1,a3=2,a4=1,x=0,y=0,c=1,b3=2,α=1,β=6,γ=6,θ=1,δ=1,λ=1并代入式(31)得到方程解

    解(30)的特征圖如圖4所示。

    圖4 當a0=1,a1=1,a3=2,y=x=0時,u(x,y,z,t)關于z,t的圖像Fig.4 when a0=1,a1=1,a3=2,y=x=0,3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

    5 (3+1)維KdV方程的exp-tanh新解

    引入試探函數(shù)

    其中φi=aix+biy+ciz+dit(i=1,2),ai,bi,ci,di,ξi(i=1,2,3)為待定常數(shù)。

    將式(31)代入方程(4)中,令eφ1sech2(φ2),e-φ1sech2(φ2),eφ1tanh(φ2),e-φ1tanh(φ2),的系數(shù)為零得到一組非線性方程組,通過符號計算系統(tǒng)Mathematica得到該方程組的以下幾組解:

    將式(33)代入式(31)得

    將式(35)代入式(3)得到方程(2)的如下解:

    選 取 適 當 參 數(shù)c=-1,ξ2=1,ξ3=1,a1=1,b2=1,c1=1,c2=1,d1=2,α=1,β=6,γ=6,θ=1,δ=1,λ=1并代入(36)式得到方程如下解:

    解(37)的特征圖如圖5所示。

    圖5 當c=-1,ξ2=1,ξ3=1,y=x=0時,u(x,y,z,t)關于z,t的圖像Fig.5 When c=-1,ξ2=1,ξ3=1,y=x=0,3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

    6 (3+1)維KdV方程的有理新解

    引入試探函數(shù)

    其中ai,bj(i=1,2,3;j=1,2,3,4)是待定常數(shù)。

    將式(38)代入方程(4)中,令xi,yi,ti,zi(i=2,3,4)的系數(shù)為零得到一組非線性方程組,通過符號計算系統(tǒng)Mathematica算出方程的如下幾組解:

    將式(40)代入式(38)得

    將式(41)代入式(3)中,得到方程(2)的解

    選取適當參數(shù)c=-10,a1=-10,a2=1,b2=2,a3=-3,b1=10,b3=1,b4=2,x=0,y=0并代入(42)式得到方程如下解:

    解(43)的特征圖如圖6所示。

    7 結論

    本文在廣田雙線性法的基礎上,利用試探函數(shù)法以及符號計算系統(tǒng)Mathematica,得到了(3+1)維KdV方程新的lump解,以及三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)基本函數(shù)的復合函數(shù)新解。

    文獻[6]中對于廣義(2+1)維KdV方程利用變換u=2(lnf)x+c0把方程變?yōu)殡p線性方程,并利用測試函數(shù)f(x,y,z,t)=a1cosξ1+a2sinξ2+exp(-ξ3)+a3expξ3,其中ξi=kix+hiy+wit(i=1,2,3),得到了方程的周期孤波解。本文在其基礎上得到了(3+1)維KdV方程的包含正余弦函數(shù)、雙曲正余弦以及指數(shù)函數(shù)的周期解。

    文獻[7]通過Hirota變換把類9階KdV方程化為雙線性形式,引入多項式試探函數(shù),得到5族有理解。文獻[8]通過Hirota變換將(3+1)維KdV方程化為雙線性方程,并定義了一種符號函數(shù),代入方程得到實值型怪波解。本文在上述兩篇文獻基礎上加以改進,得到了(3+1)維KdV方程新的有理解。

    圖6 當c=-10,a1=-10,a2=1,y=x=0時,u(x,y,z,t)關于z,t的圖像Fig.6 When c=-10,a1=-10,a2=1,y=x=0,3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

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