若干非線性PDEs守恒律的構(gòu)造

趙巧紅，張明霞，額爾敦布和，2

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.呼和浩特民族學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

對(duì)稱和守恒律在物理、數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)范疇內(nèi)有著至關(guān)重要的應(yīng)用。通過研究非線性偏微分方程（PDEs），為了揭示對(duì)稱和守恒律之間的內(nèi)在聯(lián)系，Bluman及Anco［1］、特木爾朝魯［2］、額爾敦布和［3-4］等構(gòu)造守恒律的直接方法、同倫方法、對(duì)稱用于已知守恒律的方法等諸多有效方法。眾所周知，對(duì)稱體現(xiàn)PDEs的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，守恒律反應(yīng)PDEs的運(yùn)動(dòng)特性，因而，推導(dǎo)出給定PDEs的對(duì)稱和守恒律是可期待的。為此，基于數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Maple，借助對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法和Ibragimov新守恒定理［5］分別推出Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和（2+1）維熱方程等幾類經(jīng)典的PDEs的守恒律，并比較已得守恒律挖掘上述兩種方法之間的深層內(nèi)在關(guān)系。

首先，考慮k階PDEs(k≥2，l≤k)

其中x=(x1，x2，…，xn)為自變量，u=(u1，u2，…，um)為因變量，?ju表示它關(guān)于u對(duì)x的所有j階偏導(dǎo)數(shù)，即?ju/?xi1?xi2…?xij=ui1i2…ij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，k，為了便于本文研究工作，先介紹如下定義。

定義1假設(shè)PDEs （1）的單參數(shù)Lie點(diǎn)變換群為

其無窮小生成元為

且對(duì)應(yīng)的無窮小生成元的特征形式為

式（3）的k階延拓為

其中

1 對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法

對(duì)稱與共軛對(duì)稱是PDEs結(jié)構(gòu)屬性的兩種表現(xiàn)形式，為了挖掘?qū)ΨQ、共軛對(duì)稱與PDEs守恒律之間的內(nèi)在聯(lián)系，下面運(yùn)用對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法［3，6-7］。

定義2PDEs （1）所對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)（Fréchet導(dǎo)數(shù)）為

假設(shè)PDEs（1）的對(duì)稱（2）對(duì)應(yīng)的無窮小生成元為（3），那么對(duì)稱為確定方程組的解，即對(duì)PDEs（1）的任何解都存在一個(gè)線性系統(tǒng)

定義3PDEs （1）的共軛算子（共軛Fréchet導(dǎo)數(shù)）為

其中υ(x)=(υ1(x)，υ2(x)，…，υr(x))是任意函數(shù)，且σ=1，2，…，N。對(duì)于PDEs（1）的任何解U(x)=u(x)，滿足共軛線性系統(tǒng)

定理 1對(duì)于PDEs （1）的任何解U(x)=u(x)，對(duì)稱特征形式與共軛對(duì)稱集的任何‘對(duì)’滿足守恒恒等式［3］

這里

其中j1，j2，…，jq和i1，i2，…，ip是指標(biāo)的有序組合，且1≤j1≤j2≤…≤jq≤i≤i1≤i2≤…≤ip≤n。

下面，利用對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法分別計(jì)算Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程和（2+1）維熱方程的守恒律。

1.1 Euler-Lagrange-type方程的守恒律

考慮Euler-Lagrange-type［8］方程

其中u=u(x，t)為振幅，且ε表示波的傳播速率。

由公式（7）和（9），分別得出方程（13）的線性算子和共軛算子為

Lie點(diǎn)對(duì)稱（3）的二階延拓作用于方程（13）后得到如下三個(gè)點(diǎn)對(duì)稱：

由公式（4）和（16），得出方程（13）對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)Lηρ=0的三個(gè)特征形式解：

經(jīng)計(jì)算共軛系統(tǒng)（18）有如下四組共軛對(duì)稱解：

總之，PDEs的共軛對(duì)稱集是其乘子集的子集，Euler-Lagrange-type方程的四個(gè)共軛對(duì)稱和三個(gè)對(duì)稱特征形式可以配對(duì)十二個(gè)‘對(duì)’，通過公式（12）得出共有五對(duì)非平凡守恒律。

經(jīng)過計(jì)算，在特征形式（17）和共軛對(duì)稱（19）中的其余＜η^i，υ^j＞ 進(jìn)行配對(duì)，無法產(chǎn)生PDEs（13）的守恒律。

1.2 Cauchy-Kovalevskaya方程的守恒律

再考慮Cauchy-Kovalevskaya方程組［9-10］

Cauchy-Kovalevskaya方程式是一組刻畫傳輸線任意點(diǎn)電壓、電流量和傳輸線中間相互關(guān)系的非線性微分方程，接下來將推導(dǎo)其守恒律。

由公式（7）和（9），分別得出方程組（22）的線性算子和共軛算子為

用Lie點(diǎn)對(duì)稱（3）的一階延拓作用于方程組（22）得到如下三個(gè)點(diǎn)對(duì)稱：

由公式（4）和（25）得出方程組（22）對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)=0的三組特征形式解：

由公式（10），得到關(guān)于函數(shù)，i=1，2的共軛系統(tǒng)

經(jīng)計(jì)算共軛系統(tǒng)（27）有如下五組解（共軛對(duì)稱）：

Cauchy-Kovalevskaya方程的五個(gè)共軛對(duì)稱和三個(gè)對(duì)稱特征形式可以配對(duì)十五個(gè)‘對(duì)’，通過公式（12）得出共有四對(duì)非平凡守恒律。

1.3 （2+1）維熱方程的守恒律

最后，考慮（2+1）維熱方程［11］

（2+1）維熱方程是描述區(qū)域溫度變化的典型拋物型PDEs，其中u=u(x，y，t)表示溫度。

由公式（7）和（9），分別得出方程（31）的線性算子和共軛算子為

Lie點(diǎn)對(duì)稱（3）的二階延拓作用于方程（31）得到如下五個(gè)點(diǎn)對(duì)稱：

由公式（4）和（34）得出方程（31）對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)Lηρ=0的五個(gè)特征形式解：

經(jīng)計(jì)算共軛系統(tǒng)有如下四組解（共軛對(duì)稱）：

（2+1）維熱方程的四個(gè)共軛對(duì)稱和五個(gè)對(duì)稱特征形式可以配對(duì)二十個(gè)‘對(duì)’，通過公式（12）得出共有四對(duì)非平凡守恒律。

2 Ibragimov新守恒定理

著名的N?ether定理［12］建立了PDEs對(duì)稱、守恒律與方程之間的緊密聯(lián)系，但該定理有很多局限，如有嚴(yán)重依賴變分對(duì)稱性等，為了更好地克服N?ether定理的局限性，Ibragimov教授提出了一個(gè)新守恒定理［5］。先看如下定義和定理。

定義4關(guān)于自變量x=(x1，x2，…，xn)和因變量u=(u1，u2，…，um)的可微函數(shù)f(x，u，…，u(s))，存在等式

則稱式（40）為函數(shù)f的散度。表達(dá)式為

為PDEs（1）的Lagrangian函數(shù)，其中{va}為勢(shì)函數(shù)組。

Euler算子定義為

稱為PDEs（1）的共軛方程組。

定理2PDEs （1）的每個(gè)Lie對(duì)稱（2）及其生成元（3）產(chǎn)生PDEs（1）及其共軛PDEs（43）的一組守恒律，其對(duì)應(yīng)守恒量由公式

下面，利用Ibragimov新守恒定理分別計(jì)算Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和（2+1）維熱方程的守恒律。

2.1 Euler-Lagrange-type方程的守恒律

由公式（41），得到方程（13）的Lagrangian函數(shù)

其中零階勢(shì)函數(shù)?=?(x，t，u)。根據(jù)公式（43），得到方程（13）的共軛方程為

經(jīng)求解方程（46），得到四個(gè)勢(shì)函數(shù)：

2.2 Cauchy-Kovalevskaya方程的守恒律

由公式（41），得到方程組（22）的Lagrangian函數(shù)為

其中兩個(gè)零階勢(shì)函數(shù)?=?(x，t，u，v)，h=h(x，t，u，v)。根據(jù)公式（43），得到方程組（22）的共軛方程組為

經(jīng)求解方程組（50），得到五組勢(shì)函數(shù)組：

2.3 （2+1）維熱方程的守恒律

由公式（41），得到（2+1）維熱方程（31）的Lagrangian函數(shù)為

其中零階勢(shì)函數(shù)?=?(x，y，t，u)。根據(jù)公式（43），得到方程（31）的共軛方程為

經(jīng)求解方程（54），得到四個(gè)勢(shì)函數(shù)：

3 兩種守恒律方法的比較

如前所述，本文分別利用對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法和Ibragimov新守恒定理構(gòu)造了Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組、（2+1）維熱方程等三類重要PDEs的若干個(gè)守恒律。對(duì)用兩種方法得到的三個(gè)方程守恒律的比較見表1-2和表3。

表1 Euler-Lagrange-type方程守恒律的比較Tab.1 Comparison for conservation laws of Euler-Lagrange-type equation

表2 Cauchy-Kovalevskaya方程組守恒律的比較Tab.2 Comparison for conservation laws of Cauchy-Kovalevskaya equations

表3 （2+1）維熱方程守恒律的比較Tab.3 Comparison for conservation law of （2+1） dimensional heat equation

從表1-2和表3可以看出，用對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法和Ibragimov新守恒定理計(jì)算得出Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和（2+1）維熱方程的守恒律是一致的。

4 結(jié)論

本文把對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法和Ibragimov新守恒定理分別運(yùn)用于Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和（2+1）維熱方程的守恒律構(gòu)造中，得出諸多有效的非平凡守恒律，有效擴(kuò)展了這三種重要PDEs的屬性。通過對(duì)比已得到守恒律，發(fā)現(xiàn)兩種方法之間的等價(jià)關(guān)系。上述結(jié)論對(duì)揭示三個(gè)重要PDEs的相關(guān)特征方面具有重要的實(shí)際意義，同時(shí)對(duì)挖掘現(xiàn)有守恒律方法間的內(nèi)在相關(guān)性方面有重大的理論意義。