非連續(xù)Kummer邊值問題解的相似構(gòu)造法

衛(wèi)林芳，王桂霞，2，陳德財

（1.內(nèi)蒙古師范大學 數(shù)學科學學院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

Hermite多項式和Laguerre多項式是量子物理學中兩個非常重要的特殊函數(shù)，在量子力學和量子光學中有實質(zhì)的應(yīng)用［1-8］。例如Hermite多項式可以描述量子諧振子本征態(tài)的波函數(shù)，也是分數(shù)階Fourier變換的本征函數(shù)。Laguerre多項式與氫原子、類氫原子和堿金屬原子體系的能級和徑向波函數(shù)有關(guān)，氫原子薛定諤方程解的徑向部分是Laguerre多項式。而Hermite多項式Hn及Laguerre多項式Ln都可以用Kummer函數(shù)F(α，γ，x)表示，即

上述Kummer函數(shù)是Kummer方程的解。因此，對Kummer方程求解方法的研究具有一定的理論意義和應(yīng)用價值。

2006年，李順初研究了Bessel方程邊值問題

的解式，其中a，b，v，Q，R均為實常數(shù)且R＞1。證明了其解具有與連分式相對應(yīng)的相似性［9］，將數(shù)、形、式三者有機結(jié)合。其后，該方法被應(yīng)用到Thomson方程、第一種 Weber方程、一類Airy方程的邊值問題、Euler微分方程、Kummer方程等超幾何微分方程邊值問題及一些油氣藏工程中的滲流方程邊值問題解式的研究中［10-14］。

由于非連續(xù)常微分方程邊值問題在力學、地球物理及工程問題中的廣泛應(yīng)用，2015年，文獻［15］研究了復(fù)合型合流超比方程邊值問題的解式

在此基礎(chǔ)上，本文研究了帶一般轉(zhuǎn)移條件的非連續(xù)Kummer方程邊值問題

其中K，L，E，F(xiàn)，a，b，c，ω11，ω12，ω21，ω22為已知的實常數(shù)，α1，α2，γ1，γ2為譜參數(shù)且0＜a＜c＜b，M≠0。該問題可以退化為文獻［15］中的邊值問題，研究工作更具一般性。

1 預(yù)備知識

引理1［16］標準的Kummer方程

的通解可以為

其中A，B為任意常數(shù)，γ≠整數(shù)，

注形如式（5）的Kummer函數(shù)F(α，γ，x)為第一類Kummer函數(shù)。

引理2［16］若F(α，γ，x)是第一類Kummer函數(shù)，則

證明 由式（7）可得

令m=k-1，則式（9）可改寫為

由式（10）和式（4）可得式（8）。

引理3若構(gòu)造二元函數(shù)

則

其中：i=1代表左區(qū)間a＜x＜c；i=2代表右區(qū)間c＜x＜b。

證明結(jié)合引理2，經(jīng)簡單計算可得。

2 定理及其證明

定理1若邊值問題（1）有解，則其解為

其中

稱為邊值問題（1）在區(qū)間(a，c)的相似核函數(shù)，

稱為邊值問題（1）在區(qū)間(c，b)的相似核函數(shù)。

證明由引理1知，若定解方程的通解格式

則

結(jié)合式（20）和邊值問題（1）中的邊界條件得

式（20）結(jié)合邊值問題（1）中的轉(zhuǎn)移條件得

式（20）結(jié)合邊值問題（1）中的右邊界條件得

由式（22）-（25）求得

其中

由此可得到邊值問題（1）在區(qū)間(a，c)的解

簡記

其中

同理

其中

3 實例

給定非連續(xù)Kummer方程邊值問題

取a=1，b=3，c=2，α1=α2=1，γ1=0.5，γ2=-0.5，K=E=M=1，F(xiàn)=L=0，ω11=ω22=1，ω12=ω21=2。

由式（15）和式（16）所得問題的解如圖1所示。經(jīng)驗證，該結(jié)果與解析解的結(jié)果一致。圖2展示了解對邊界條件的依賴性。

由圖2（a）和（b）可知，若其他參數(shù)不變，對于固定的自變量x，當邊界條件中的非齊次項M增加時，函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均增加。由圖2（c）和（d）可知，若其他參數(shù)不變，對于固定的自變量x，當邊界條件中的系數(shù)E增加時，函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均減小。

4 小結(jié)

圖1 解y1與y2Fig.1 The solution of y1 and y2

本文通過Kummer方程的兩個線性無關(guān)解構(gòu)造了相似核函數(shù)，并根據(jù)邊值問題解的相似構(gòu)造理論，研究了帶一般轉(zhuǎn)移條件的非連續(xù)Kummer方程邊值問題的解式，數(shù)值實例驗證了該方法的有效性，結(jié)果圖展示了解對邊界條件的依賴性。相似構(gòu)造法得到的解式適用于一類問題，該方法避免了同類問題的重復(fù)求解，提高了求解效率，有一定的實際意義，同時，通過解式可以直接觀察解與邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的關(guān)系。

圖2 y1及y2對M和E的依賴性Fig.2 Dependence of y1 and y2 on M and E