Geogebra軟件在波動(dòng)光學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

羅宇晴，吳少平

華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430079

光學(xué)是物理學(xué)一個(gè)重要的學(xué)科分支，光的干涉和衍射現(xiàn)象是光學(xué)重要的研究?jī)?nèi)容。1801年，托馬斯·楊用光的“波動(dòng)性”解釋了光的干涉現(xiàn)象，第一次成功測(cè)定了光的波長(zhǎng)。1815年，菲涅爾對(duì)惠更斯原理進(jìn)行了修正，提出了惠更斯-菲涅爾原理。該原理不僅能解釋各向同性均勻介質(zhì)中光的直線傳播現(xiàn)象，還完美地解釋了光的衍射現(xiàn)象[1]。從此，波動(dòng)光學(xué)發(fā)展成為光學(xué)的重要組成部分。由于觀測(cè)光的干涉和衍射現(xiàn)象對(duì)實(shí)驗(yàn)條件要求較高，教師難以在課堂進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)。2016年，教育部印發(fā)的《教育信息化“十三五”規(guī)劃》提出要?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用優(yōu)質(zhì)教育資源，積極探究新型教學(xué)模式[2]。Geogebra是一款結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計(jì)功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件[3]，該軟件開(kāi)源免費(fèi)，簡(jiǎn)單易學(xué)，而且交互性好，特別適用于理科教學(xué)[4]。筆者利用Geogebra軟件制作動(dòng)態(tài)演示圖，用于波動(dòng)光學(xué)中2個(gè)典型實(shí)驗(yàn)的理論教學(xué)。

1 利用Geogebra演示雙縫干涉實(shí)驗(yàn)

1801年，英國(guó)物理學(xué)家托馬斯·楊利用雙縫實(shí)驗(yàn)演示了雙光束干涉現(xiàn)象，并首次推算得到光的波長(zhǎng)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了光的波動(dòng)理論，為量子學(xué)說(shuō)的創(chuàng)立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同，并且在觀察期間相位差不變的相干波疊加后，合振動(dòng)會(huì)在某些區(qū)域加強(qiáng)，而在某些區(qū)域減弱。疊加區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)合振動(dòng)強(qiáng)度在空間中的穩(wěn)定非均勻分布即為光的干涉圖樣，其本質(zhì)為兩列光波相位差的空間分布。在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，通常用光線代替光波，無(wú)法直觀展現(xiàn)出相位差的變化。利用Geogebra軟件，不僅可以直觀展示相位差的大小，還可以清晰地觀察到狹縫間距和入射光振幅變化對(duì)光強(qiáng)分布的影響，從而幫助學(xué)生深入理解雙光束干涉的物理機(jī)制。

1.1 雙縫干涉理論知識(shí)

如圖1所示，兩列等振幅且初相位相同的相干波分別從空氣中的定點(diǎn)A和B出發(fā)到達(dá)空間P點(diǎn)，兩列波的振動(dòng)方程可分別表示如下：

圖1 雙縫干涉動(dòng)態(tài)圖

式中E1和E2表示電場(chǎng)強(qiáng)度，ω為角頻率，波數(shù)，λ 為波長(zhǎng)，r1＝AP，r2＝BP，φ0為初相位。兩列波在 P 點(diǎn)相遇后的相位差 Δφ＝k（r2-r1）＝kδr,其中δr表示光程差，空氣中折射率n≈1。

當(dāng)光程差等于半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍，兩列波疊加后的強(qiáng)度為最大值，形成亮紋，稱(chēng)為干涉相長(zhǎng)；

當(dāng)光程差等于半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍，兩波疊加后的強(qiáng)度為最小值，形成暗紋，稱(chēng)為干涉相消。

上式中j表示干涉級(jí)，從0級(jí)開(kāi)始計(jì)算。

由圖1可知，光程差可以表示為：

（1.5）式中 d＝AB，表示雙縫之間的距離，r＝CD，y＝CP。

將（1.5）式代入（1.3）式，得到產(chǎn)生明紋的條件為

將（1.5）式代入（1.4）式，得到產(chǎn)生暗紋的條件為

相鄰兩條明紋或相鄰兩條暗紋之間是等間距的，間距Δy的大小為

1.2 課件制作

（1）雙縫制作過(guò)程

如圖1所示，兩束相干光通過(guò)狹縫A與狹縫B會(huì)聚在光屏上P點(diǎn)。用描點(diǎn)工具單擊y軸，設(shè)定點(diǎn) A，然后在命令欄輸入 B（0,-y（A））。

（2）光屏制作過(guò)程

用描點(diǎn)工具單擊x軸正半軸，設(shè)定點(diǎn)C；單擊原點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)D。用垂線工具單擊點(diǎn)C與x軸，創(chuàng)建直線f來(lái)模擬光屏。在直線f上任取一點(diǎn)P，利用線段工具分別單擊點(diǎn)A與點(diǎn)P創(chuàng)建線段AP，單擊點(diǎn)B與點(diǎn)P創(chuàng)建線段BP，單擊點(diǎn)D與點(diǎn)P創(chuàng)建線段DP。

（3）參數(shù)制作過(guò)程

創(chuàng)建波動(dòng)方程中的4個(gè)參數(shù)，即振幅A、波長(zhǎng)λ、波速v和時(shí)間t。為確保干涉現(xiàn)象全參數(shù)可調(diào)，利用滑動(dòng)條工具單擊繪圖區(qū)，創(chuàng)建振幅A，設(shè)置變化范圍[0.1，5]，單位為 V/m；創(chuàng)建波長(zhǎng) λ，設(shè)置變化范圍[0.2，15]，單位為 μm；創(chuàng)建波速 v，設(shè)置變化范圍[0.1，5]，單位為 m/s；創(chuàng)建時(shí)間 t，設(shè)置變化范圍[0，25]，單位為s。點(diǎn)擊右鍵設(shè)置動(dòng)畫(huà)屬性為“重復(fù)遞增”。

（4）波動(dòng)方程制作過(guò)程

在命令欄輸入 p（x）＝if（0＜x＜Length（DP）＋1，Asin（2π（vt-x）/λ）），得到一列沿 x 軸傳播的波函數(shù)。在命令欄輸入 Rotate（p（x），atand（（y（A）-y（P））/（x（A）-x（P）））），得到曲線 a。在命令欄再次輸入Translate（a，Vector（D，A）），我們就繪制出了第一列入射波。同理，繪制第二列入射波。

（5）光強(qiáng)分布函數(shù)制作過(guò)程

利用線段工具單擊點(diǎn)A與點(diǎn)B，創(chuàng)建線段AB，單位為mm；單擊點(diǎn)C與點(diǎn)D，創(chuàng)建線段CD，單位為m。在命令欄輸入 q（x）＝2A2（1＋cos（2πdx/（λr））），創(chuàng)建光強(qiáng)分布函數(shù)，最后繪制出光強(qiáng)分布圖。

（6）光強(qiáng)振幅制作過(guò)程

在命令欄輸入 d＝p（Length（BP））＋p（Length（AP）），回車(chē)后繼續(xù)輸入 E（x（p），y（p）＋d），連接點(diǎn)P與點(diǎn)E，創(chuàng)建線段PE表示P點(diǎn)光強(qiáng)的大小，如圖1所示。

（7）光程差制作過(guò)程

利用垂線工具單擊點(diǎn)A與直線BP，創(chuàng)建垂線AF，垂線AF與直線BP交點(diǎn)為點(diǎn)F，線段BF即為光程差 δr。

1.3 課件說(shuō)明

（1）改變兩列相干波相位差的大小，分析明暗條紋產(chǎn)生的條件。

設(shè)置相關(guān)參數(shù)后，拖動(dòng)點(diǎn)P在光屏上滑動(dòng)，改變兩列相干波相位差的大小?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)光程差相差半個(gè)波長(zhǎng)的偶數(shù)倍，產(chǎn)生明紋（圖2）；當(dāng)光程差相差半個(gè)波長(zhǎng)的奇數(shù)倍，產(chǎn)生暗紋（圖3）。動(dòng)畫(huà)演示結(jié)果與（1.3）和（1.4）式結(jié)果完全一致。

圖 2 δr≈λ，P點(diǎn)為明紋

圖 3 δr≈λ ／2，P 點(diǎn)為暗紋

（2）驗(yàn)證“r>>d時(shí)，∠α與∠β近似相等”的條件。

在推導(dǎo)光程差δr的過(guò)程中，當(dāng)r>>d時(shí)，我們認(rèn)為∠α與∠β近似相等。利用Geogebra軟件，可以直觀地證明這一條件的正確性。如圖4所示，r≈3d時(shí)，∠α與∠β相差還比較明顯；但當(dāng)r與d取值相差很大（r≈30d）時(shí)，∠α與∠β幾乎相等，如圖5所示。

圖 4 r≈3d 時(shí)，∠α≠∠β（X 軸∶Y 軸＝1∶1）

圖 5 r≈30d 時(shí)，∠α≈∠β（X 軸∶Y 軸＝2∶1）

（3）改變雙縫間距d，波長(zhǎng)λ以及雙縫到光屏的距離r，觀察干涉圖樣的變化。

設(shè)置入射光振幅A為2.6 V/m，波長(zhǎng)λ為10μm，r為65.88 m，拉動(dòng)滑動(dòng)條改變雙縫間距d。對(duì)比圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn)，隨著雙縫間距d增大，干涉條紋間距明顯減小，與(1.8)式結(jié)果一致。設(shè)置r為65.88 m，雙縫間距d為29.93 mm，拉動(dòng)滑動(dòng)條改變雙縫到光屏的距離r。對(duì)比圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)，隨著距離r的增大，條紋間距增大。拉動(dòng)滑動(dòng)條改變波長(zhǎng)λ，對(duì)比圖8和圖9可以發(fā)現(xiàn)，隨著波長(zhǎng)λ的增大，條紋間距也增大。

圖6 d≈16時(shí)的雙縫干涉圖樣

圖7 d≈30時(shí)的雙縫干涉圖樣

圖8 λ=10時(shí)的雙縫干涉圖樣

圖9 λ=15時(shí)的雙縫干涉圖樣

（4）改變?nèi)肷洳ㄕ穹?，觀察干涉圖樣的變化。

設(shè)置波長(zhǎng) λ 為 15 μm，r為 65.88 m，雙縫間距d為29.93 mm，拉動(dòng)滑動(dòng)條改變?nèi)肷涔庹穹鵄。對(duì)比圖10和圖11可以發(fā)現(xiàn)，隨著入射光振幅A的增大，條紋間距不變，干涉光疊加振幅增大。

圖 10 A＝2.6時(shí)的雙縫干涉圖樣

圖 11 A＝3.6時(shí)的雙縫干涉圖樣

2 利用Geogebra演示光柵衍射現(xiàn)象

“衍”始見(jiàn)于商代甲骨文，本指水流順河道匯于海，引申指蔓延、擴(kuò)展。光的衍射指光在空間傳播過(guò)程中，遇到與波長(zhǎng)差不多數(shù)量級(jí)的障礙物或者孔隙時(shí)，會(huì)發(fā)生光線彌漫的現(xiàn)象。由于可見(jiàn)光波長(zhǎng)較短，光波的衍射現(xiàn)象在日常生活中并不明顯。

2.1 理論知識(shí)

任何具有空間周期性的衍射屏都可以叫作光柵，衍射光柵一般每毫米內(nèi)有幾十條乃至上千條縫。光柵和棱鏡一樣，作為重要的分光裝置，常用來(lái)形成光譜[1]。光柵衍射的光強(qiáng)分布是單縫衍射與多縫干涉共同作用的結(jié)果。利用矢量疊加的方法可以得到如下公式：

單縫衍射屏上P點(diǎn)光強(qiáng)公式：

光柵衍射屏上P點(diǎn)光強(qiáng)公式：

單縫衍射最小值位置滿足條件：

多縫干涉主最大位置滿足條件：

多縫干涉最小值位置滿足條件：

光柵衍射光強(qiáng)分布中的單縫衍射因子與單縫衍射強(qiáng)度曲線形式相同；光柵衍射圖樣中出現(xiàn)的一系列較強(qiáng)的亮線叫作主最大，較弱的亮線叫作次最大；相鄰主最大之間有N-1條暗紋和N-2個(gè)次最大；主最大的寬度隨N的增大而減小，且強(qiáng)度正比于N2。

2.2 課件制作

（1）參數(shù)制作過(guò)程

為確保單縫衍射光強(qiáng)分布全參數(shù)可調(diào)，利用滑動(dòng)條工具單擊繪圖區(qū)。創(chuàng)建振幅A，設(shè)置變化范圍[0，5]，單位為 V/m；創(chuàng)建波長(zhǎng) λ，設(shè)置變化范圍[1，10]，單位為 μm；創(chuàng)建單縫寬度 a，設(shè)置變化范圍[0，10]，單位為μm；創(chuàng)建光柵到光屏的距離參數(shù) L，設(shè)置變化范圍[0，10]，單位為 m；創(chuàng)建光柵縫數(shù)N，變化范圍[1,100]，增量為1；創(chuàng)建光柵常數(shù)d，變化范圍[1,30]，單位為μm。

（2）光強(qiáng)分布函數(shù)制作過(guò)程

在命令欄輸入 f（x）＝A2sin2（πax/（λL））/（πax/（λL））2，表示單縫衍射光強(qiáng)分布函數(shù)。在命令欄輸入 g（x）＝sin2（Nπdx/（λL））/sin2（πdx/（λL）），表示縫間干涉疊加效果；創(chuàng)建函數(shù) h（x）＝f（x）g（x）／N2，表示光柵衍射光強(qiáng)分布函數(shù)。

2.3 課件說(shuō)明

（1）改變狹縫寬度a，分析衍射圖樣的變化。

設(shè)置入射光振幅A為1V/m，距離L為1m，波長(zhǎng)λ為4 μm，光柵常數(shù)d為18 μm，狹縫數(shù)目N為6。拖動(dòng)滑動(dòng)條，改變狹縫寬度a。對(duì)比圖12和圖13可知，在一定范圍內(nèi)，隨著單縫寬度a增大，衍射效果對(duì)多縫干涉調(diào)制的效果越明顯。如圖13所示，當(dāng)d=3a時(shí)，在±3λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。

圖12 狹縫寬度a=0.7時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

圖13 狹縫寬度a=6時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

（2）改變光柵常數(shù)d，分析衍射圖樣的變化。

設(shè)置入射光束振幅A為1V/m，距離L為1m，波長(zhǎng) λ 為 4 μm，狹縫寬度 a為 5 μm，狹縫數(shù)目N為6。拖動(dòng)滑動(dòng)條，改變光柵常數(shù)d，由圖14與圖15可知，在一定范圍內(nèi)，隨著光柵常數(shù)d的增大，多縫干涉明紋(主極大)間距減小，與上文中雙縫干涉得到的結(jié)論一致。如圖14所示，當(dāng)d=2a時(shí)，在±2λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。如圖15所示，當(dāng)d=4a時(shí)，在±4λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。

圖14 d=2a時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

圖15 d=4a時(shí)光柵衍射光強(qiáng)分布圖

（3）改變狹縫數(shù)目N，分析衍射圖樣的變化。

設(shè)置入射光束振幅A為1V/m，距離L為1m，波長(zhǎng) λ 為 4 μm，狹縫寬度 a為 3 μm，光柵常數(shù)d為12 μm；拖動(dòng)滑動(dòng)條，改變狹縫數(shù)目N。對(duì)比圖16與圖17可知，隨著狹縫數(shù)目N增大，衍射明紋變細(xì)變亮。d=4a時(shí)，在±4λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級(jí)。

圖16 N=6時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

圖17 N=30時(shí)的光柵衍射光強(qiáng)分布圖

3 結(jié)論

將Geogebra軟件用于波動(dòng)光學(xué)教學(xué)有以下三個(gè)優(yōu)勢(shì)：一是可以生動(dòng)形象地動(dòng)態(tài)演示光的干涉、衍射現(xiàn)象，利于學(xué)生將抽象的物理知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀感性的認(rèn)識(shí)；二是實(shí)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)過(guò)程全參數(shù)可調(diào)，可以讓學(xué)生自主探究各物理量對(duì)光強(qiáng)分布的影響，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性；三是有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主探索和自主學(xué)習(xí)的科學(xué)素養(yǎng)。