芻議雙棒模型中的電和熱

張 鼎

南京市江寧高級中學(xué)，南京 211100

1 問題的引出

在對電磁感應(yīng)部分的復(fù)習(xí)中，遇到如下一道雙棒模型的例題。

例1如圖1所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場區(qū)域內(nèi)，與磁場方向垂直的水平面內(nèi)有兩根固定的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌上面平放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，兩棒彼此平行，構(gòu)成一矩形回路。導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為m，電阻都為R，導(dǎo)軌部分電阻可忽略不計。設(shè)導(dǎo)體棒可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑行，初始時刻ab棒靜止，給cd棒一個向右的初速度v0。求：

圖1 平行直導(dǎo)軌上的雙導(dǎo)體棒

（1）cd棒速度減為 0.8v0時的加速度大??；

（2）從開始運動到最終穩(wěn)定，電路中產(chǎn)生的電能；

（3）兩棒之間距離增加量的最大值。

在第（2）問的解答中，復(fù)習(xí)資料上給出了下面的解答過程，這也是大多數(shù)老師的解法。

設(shè)兩棒穩(wěn)定時共同的速度為v，根據(jù)動量守恒定律得

在這種解法中，默認(rèn)在全過程中電路中產(chǎn)生的電能等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱。那么，事實上是不是電能全部轉(zhuǎn)化為熱能呢？如果真是這樣，那么ab棒增加的動能是什么形式的能量轉(zhuǎn)化而來？又是如何轉(zhuǎn)化為動能的呢？

2 問題分析討論

（1）從做功和能量轉(zhuǎn)化的宏觀角度分析

對整個回路來說，克服安培力所做的總功等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱，也就是從能量守恒的角度建立等量關(guān)系所得出的結(jié)果，即為解析所給出的答案。

回路中的熱功率

ab棒將電能轉(zhuǎn)化為動能的功率（安培力對ab棒做功的功率）為

由計算可得，滿足能量守恒 P1＝P熱＋P2。

（2）從動生電動勢產(chǎn)生的微觀角度分析

對于cd棒，考慮棒中的一個電子，電荷量為e。如圖2甲所示，假定某一時刻金屬桿的速度為v，由于棒運動，電子受到洛倫茲力f1的作用，滿足 f1＝evB，方向由c指向 d，因此 cd棒的 c端帶正電（相當(dāng)于電源正極），d端帶負(fù)電（相當(dāng)于電源負(fù)極），這就是動生電動勢產(chǎn)生的本質(zhì)，電子所受洛倫茲力f1為產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力。

另一方面，如圖2乙所示，由于電子沿棒方向上有定向移動，故其還受到另一洛倫茲力f2的作用。設(shè)電子沿棒方向上定向移動的平均速率為v′，則洛倫茲力 f2滿足 f2＝ev′B，方向水平向左。由于洛倫茲力一定不做功，故 W1＋W2＝0，其中 W1和W2分別表示f1與f2做的功?，F(xiàn)考慮多個電子的情況，令cd棒橫截面積為S，長度為L,單位體積內(nèi)的電子數(shù)為 n，則 Nf2＝nSLf2。將 f2代入可得Nf2＝nSLev′B。由電流的微觀表達(dá)式 I＝neSv′，進(jìn)一步得到Nf2＝BIL。因此，cd棒內(nèi)所有電子所受洛倫茲力f2的疊加即為cd棒所受安培力，則Wcd＝NW2。同時，由于洛倫茲力f1為產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力，若用E電表示cd棒產(chǎn)生的電能，則E電＝NW1。因此E電＝-Wcd，即cd棒克服安培力所做的功等于回路中產(chǎn)生的電能。

圖2 cd棒中電子受到的洛倫茲力

如果我們把雙棒模型和我們生活中的電動機(jī)和發(fā)電機(jī)模型對應(yīng)起來，cd棒相當(dāng)于一個內(nèi)阻為R的發(fā)電機(jī)，將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，電流通過R將一部分電能轉(zhuǎn)化為電熱；而ab棒等效為內(nèi)阻為R的電動機(jī)，將一部分電能轉(zhuǎn)化為動能和焦耳熱，其實我們在恒定電路中就著重強(qiáng)調(diào)過該問題。非純電阻電路中，電能和熱能、電功率和熱功率是不一樣的。本題中能量轉(zhuǎn)化對應(yīng)的流程圖應(yīng)該如圖3所示。

圖3 能量轉(zhuǎn)化流程

而對于電能應(yīng)該是能量轉(zhuǎn)化過程中的一個中間量，通過安培力做正功和電流流過電阻，又轉(zhuǎn)為了動能和熱能。

3 結(jié)論

通過上面的分析，回路中的電能應(yīng)該是cd棒克服安培力所做的功，而不等于回路中的焦耳熱，即不等于回路中克服安培力所做的總功。

無獨有偶，在同樣的一本復(fù)習(xí)資料上又出現(xiàn)了如下一道雙棒的題目。

例2如圖4所示，兩根光滑平行金屬導(dǎo)軌（電阻不計）由半徑為r的圓弧部分與無限長的水平部分組成，間距為L。水平導(dǎo)軌部分存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為2m的金屬棒ab靜置于水平導(dǎo)軌上，電阻為2R。另一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒PQ從圓弧上M點處由靜止釋放，下滑至N處后進(jìn)入水平導(dǎo)軌部分，M到N的豎直高度為h，重力加速度為g，若金屬棒PQ與金屬棒ab始終垂直于金屬導(dǎo)軌并接觸良好，且兩棒相距足夠遠(yuǎn)，求：

（1）金屬棒PQ滑到N處時，金屬導(dǎo)軌對金屬棒PQ的支持力；

（2）從釋放金屬棒PQ到金屬棒ab達(dá)到最大速度的過程中，整個系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能；

（3）若在金屬棒ab達(dá)到最大速度時給金屬棒ab施加一水平向右的恒力F（F為已知），則在此恒力作用下整個回路的最大電功率為多少？

在第（3）問中，要求在恒力作用下整個回路的最大電功率，資料給出的解析過程如下：

當(dāng)金屬棒PQ達(dá)到最大功率時，金屬棒PQ與金屬棒ab加速度相同，速度差恒定，回路中產(chǎn)生穩(wěn)定電流。由牛頓第二定律得

PQ 棒：F安＝ma

ab 棒：F-F安＝2ma

由安培力的公式可得F安＝BIL

電功率 P＝I2·3R

同樣地，解析認(rèn)為回路中的最大電功率就是最大熱功率，顯然還是存在和前面一樣的問題，混淆了電功率和熱功率的概念。在本題中，回路中的電功率應(yīng)該等于ab棒克服安培力做功的功率，因為ab棒相當(dāng)于電源。而根據(jù)分析，安培力大小在最后保持不變，但ab棒做勻加速直線運動，速度不斷增加，ab棒克服安培力做功的功率不斷增加，所以電功率沒有最大值。因而，應(yīng)該把最后一問中的最大電功率改為最大熱功率才是可求的。

因此，對于電磁感應(yīng)中的雙棒模型，電能和熱能、電功率和熱功率是有區(qū)別的。我們在命題的過程中，應(yīng)慎用電能和電功率這樣的問法，不然很有可能會出現(xiàn)混淆，甚至無解的情況。而如果是單棒的問題，在不考慮摩擦的情況下，棒所減少的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為電能，并最終轉(zhuǎn)化為熱能，就不存在這樣的問題了。