一致性視角下“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主題統(tǒng)整式教學(xué)探究
——以“小數(shù)乘法”的教學(xué)為例

馬麗麗

從表面上看，“小數(shù)乘法”的教學(xué)只要解決“積的小數(shù)點(diǎn)定位”問題就可以“一通百通”了。但基于“學(xué)”的視角細(xì)細(xì)思量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：小數(shù)乘法相較于整數(shù)乘法，雖然形式上只多了“一點(diǎn)”（小數(shù)點(diǎn)），但理解的難度可不止增加了“一點(diǎn)兒”。在學(xué)生的錯(cuò)例中，除了“整數(shù)乘法算錯(cuò)”“計(jì)算習(xí)慣不佳”等原因之外，還有幾類錯(cuò)誤引起了筆者的關(guān)注。其一，末尾有零。如在計(jì)算1.15×3.2、0.6×16.5這類題目時(shí)，由于按照整數(shù)乘法來算，算出的乘積末尾有零，學(xué)生在確定積的小數(shù)位數(shù)時(shí)，往往會(huì)分不清應(yīng)該先點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)還是先劃去乘積末尾的零，從而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。其二，添零補(bǔ)足。如在計(jì)算0.28×0.28、0.045×1.4這類題目時(shí)，按照整數(shù)乘法算出的積位數(shù)不夠，還原為小數(shù)時(shí)需要添零補(bǔ)足，這時(shí)學(xué)生往往會(huì)少添零或多添零。類似的錯(cuò)誤還會(huì)出現(xiàn)在口算中，如學(xué)生常常會(huì)將0.032、0.12等算出0.09、0.1等錯(cuò)誤答案。其三，乘加混淆。明明要算乘法，卻將小數(shù)加減法的算法雜糅進(jìn)來，如計(jì)算3.8×5.4，有學(xué)生先算十分位8×4＝32，十分位寫2，向個(gè)位進(jìn)3；再算3×5＝15，加上進(jìn)上來的3，得18，所以得到的計(jì)算結(jié)果是18.2。學(xué)生出現(xiàn)這些錯(cuò)誤并非偶然，主要是由于他們對運(yùn)算意義的理解不清晰，對各類算理的理解不通透，且尚未在不同計(jì)算規(guī)則之間建立起聯(lián)系。

由此看來，要想突破學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)乘法的困難，就需要教師從一致性的視角對意義、算理、算法進(jìn)行整體架構(gòu)，既要溝通小數(shù)加法與小數(shù)乘法之間的聯(lián)系，也要厘清乘法意義與算理算法之間的底層邏輯，還要對整數(shù)乘法、小數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進(jìn)行合理統(tǒng)整，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)真正意義上的“明算理、通算法”。

一、例談一致性視角下“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的主題統(tǒng)整式教學(xué)

教師在教學(xué)中不能僅僅關(guān)注知識(shí)表面的一致性，更要基于學(xué)情，深入知識(shí)內(nèi)核，把握知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)、內(nèi)容本質(zhì)的一致性，從而引導(dǎo)學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，整體建構(gòu)知識(shí)體系。那么，小數(shù)乘法的教學(xué)該如何統(tǒng)整、如何改進(jìn)呢？下面，本文就以“小數(shù)乘小數(shù)”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的實(shí)踐與探索。

1.層層推進(jìn)明算理

課始，學(xué)生小組交流小研究的內(nèi)容，教師巡視，請不同算法的學(xué)生上講臺(tái)板演。黑板上呈現(xiàn)出三種算法（如圖1）。經(jīng)過全班第一輪交流，學(xué)生已經(jīng)可以借助積的變化規(guī)律判斷出只有第三個(gè)豎式是正確的。

（圖1）

師：前兩個(gè)豎式究竟哪里出問題了？

生1（板演第一個(gè)豎式的學(xué)生）：其實(shí)，我的計(jì)算過程和第三個(gè)豎式是一樣的，只是我把小數(shù)點(diǎn)的位置點(diǎn)錯(cuò)了，應(yīng)該點(diǎn)在這里（指著0的右下角）。因?yàn)?.8和2.8都乘了10，積就會(huì)乘100，所以要把乘出來的積除以100，所以是10.64。

生2（板演第二個(gè)豎式的學(xué)生）：我算錯(cuò)了，我算的是八八六十四，寫4進(jìn)6，二三得六，再加進(jìn)上來的6，所以算出了12.4。

生3：我想補(bǔ)充，他其實(shí)是先算0.8×0.8，再算2×3，最后把兩部分結(jié)果加起來。

師：這樣算，問題究竟出在哪里了呢？讓我們結(jié)合題目畫圖來看一看，（邊講解邊畫出圖2）我們計(jì)算的是小明房間的面積，整個(gè)房間是個(gè)長方形，它的長是3.8米，可以看成3米和0.8米，寬2.8米可以看成2米和0.8米。那么，0.8乘0.8算的是圖中的哪個(gè)部分？2乘3算的又是哪個(gè)部分？

（圖2）

生2：我明白了，這兩個(gè)乘積加起來，只算了其中兩部分的面積，和總面積相比還缺了兩塊面積。而且邊長0.8米的正方形，面積不可能是6.4平方米，所以0.8×0.8＝0.64（平方米）。

師：剛才，我們通過數(shù)形結(jié)合找到了錯(cuò)誤的原因，真好！既然我們認(rèn)同這種算法，那大家能不能通過畫圖找到我們計(jì)算的根據(jù)呢？

生4（邊畫出圖3邊解釋）：豎式中的8×38=304，算的是上面長方形的面積；再算十位，20×38=760，求的是下面長方形的面積，合起來就是整個(gè)房間的面積。

（圖3）

…………

2.多維求聯(lián)通算法

（1）歸納：小數(shù)乘小數(shù)該怎樣計(jì)算？

在對3.8×2.8的計(jì)算方法達(dá)成共識(shí)之后，讓學(xué)生用同樣的方法計(jì)算4.15×2.5，收集不同的算法（小數(shù)點(diǎn)對齊、末位對齊、將2.5的末尾添0變成2.50與4.15對齊），并投影展示、比較這些算法有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。在比相同點(diǎn)的時(shí)候，將落腳點(diǎn)放在計(jì)算過程、計(jì)算方法上；在比不同點(diǎn)的時(shí)候，重點(diǎn)關(guān)注列豎式時(shí)該如何對齊。

在學(xué)生就列豎式的對齊方式達(dá)成共識(shí)之后，組織他們歸納小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法，重點(diǎn)明確該如何確定積的小數(shù)點(diǎn)位置。

（2）溝通：與小數(shù)乘整數(shù)的算法有何聯(lián)系？

師（出示圖4）：小數(shù)乘小數(shù)和之前學(xué)習(xí)的小數(shù)乘整數(shù)在算法上有什么聯(lián)系？你能用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)來進(jìn)一步解釋2.35×3的積為什么是7.05嗎（小數(shù)點(diǎn)為什么點(diǎn)在7的右下角）？

（圖4）

二、一致性視角下“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主題統(tǒng)整式教學(xué)策略

1.以計(jì)數(shù)單位為基，達(dá)成數(shù)的認(rèn)識(shí)的深度理解

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來都不是突然感到困難的，執(zhí)果索因，總能找到前面學(xué)習(xí)中埋下的“隱患”。從一致性的角度來看，算理的理解和算法的掌握最終都會(huì)歸結(jié)為“數(shù)”，而無論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，都需要從兩個(gè)層面加以分析——計(jì)數(shù)的單位是什么？包含多少個(gè)這樣的單位？聚焦意義理解，不能停留在學(xué)生從表面形式上認(rèn)識(shí)小數(shù)，也不能滿足于學(xué)生“背書”般地說出“一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”。要讓學(xué)生真正理解小數(shù)，教師就必須重視引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)小數(shù)數(shù)位和計(jì)數(shù)單位，緊扣十進(jìn)制單位的“細(xì)分”和“累加”，讓學(xué)生既能從較大單位的不斷細(xì)分層面理解小數(shù)的產(chǎn)生，又能從較小單位的逐漸累加層面來認(rèn)識(shí)小數(shù)的組成，進(jìn)而理解更多的小數(shù)。對小數(shù)意義的學(xué)習(xí)只有從形式模仿走向核心理解，才能在真正意義上夯實(shí)承重墻，才能為學(xué)生后續(xù)理解小數(shù)運(yùn)算的算理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.以運(yùn)算定律為媒，關(guān)聯(lián)乘法意義的多重表達(dá)

在理解算理、探索算法之前，學(xué)生應(yīng)當(dāng)弄清楚“為什么用乘法算”，搞明白小數(shù)乘法表示的意義。小數(shù)乘法的運(yùn)算意義，有的可以借助整數(shù)乘法來理解，比如0.8×3可以表示3個(gè)0.8相加；而像3.8×5.4這樣的小數(shù)乘小數(shù)，就需要結(jié)合分?jǐn)?shù)乘法的意義來理解了。但是，根據(jù)教材的編排順序，學(xué)生是先學(xué)習(xí)小數(shù)乘法后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的，因而當(dāng)下無法根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義來解釋。面對這樣的“尷尬”，我們其實(shí)可以借助運(yùn)算律來幫助學(xué)生關(guān)聯(lián)小數(shù)乘法的多重意義表達(dá)，以彌補(bǔ)“小數(shù)乘整數(shù)”與“小數(shù)乘小數(shù)”的意義斷層。比如，教師可以適當(dāng)補(bǔ)充這樣的情境：張叔叔每小時(shí)步行可以走3千米，他0.8小時(shí)可以走多少千米？學(xué)生可以根據(jù)“速度×?xí)r間=路程”的數(shù)量關(guān)系列式3×0.8，然后可以結(jié)合乘法分配律來解釋，把3×0.8連續(xù)相加10次就等于3×8，所以3×0.8可以表示為“3×8的十分之一”；還可以結(jié)合乘法結(jié)合律——3×0.8＝3×（0.1×8）＝（3×0.1）×8，來理解3×0.8表示3的十分之一再乘8，即3×0.8可以表示為“3的十分之八”。像這樣將小數(shù)乘法與運(yùn)算律進(jìn)行關(guān)聯(lián)，不僅能豐富學(xué)生對小數(shù)乘法意義的理解，也能為后續(xù)進(jìn)一步溝通整數(shù)乘法、小數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法之間的聯(lián)系埋下伏筆。

3.以幾何直觀為徑，助推計(jì)算原理的逐層厘清

小數(shù)乘法是乘法意義的一次擴(kuò)展，這本身就給教學(xué)帶來了困難，再加上小數(shù)乘法運(yùn)算依賴于分?jǐn)?shù)乘法，如果不能提供有力的腳手架，學(xué)生就可能只是機(jī)械地記住了計(jì)算法則，被動(dòng)地執(zhí)行運(yùn)算程序。由兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理可知，越抽象的概念建立越需要直觀形象來支撐，因此，借助幾何直觀來厘清算理是一個(gè)不錯(cuò)的方法。在上述案例中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生不約而同地算出了“3.8×2.8＝12.4”這個(gè)結(jié)果。顯然，用積的變化規(guī)律并不能很好地解釋“12.4”錯(cuò)在了哪里?！袄怼辈煌?，則“法”不順，所以筆者呼應(yīng)例題中的實(shí)際情境（求小明房間的面積），以形助數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的真糾錯(cuò)、真理解。在圖中，學(xué)生很清楚地指出了3.8×2.8＝12.4的錯(cuò)誤所在，同時(shí)還利用這個(gè)圖進(jìn)一步驗(yàn)證了正確的算法。這樣的數(shù)形結(jié)合，讓原本說不清道不明的錯(cuò)誤一下子變得顯而易見、清晰明了；學(xué)生對算理的理解也更深入了一層；另外，到了中學(xué)階段，這幅圖還能幫助學(xué)生解決“（a+b）×（c+d）”的多項(xiàng)式乘法問題。

4.以對比辨析為途，實(shí)現(xiàn)計(jì)算法則的順暢遷移

在學(xué)生的頭腦中，不同計(jì)算方法往往是說不清，理還亂：小數(shù)加減法要相同數(shù)位對齊，小數(shù)乘法卻要末位對齊；小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，積的小數(shù)位數(shù)與乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同；而小數(shù)乘小數(shù)時(shí)，積的小數(shù)位數(shù)是兩個(gè)乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和……這些零散又看似不同的知識(shí)給學(xué)生的理解和掌握帶來了諸多困難，不利于他們從整體上建構(gòu)知識(shí)。算法與算理是計(jì)算教學(xué)的一體兩翼。在學(xué)生充分理解算理之后，教師還要關(guān)注算法的統(tǒng)整，引導(dǎo)學(xué)生站在更高位去歸納“通法”。通法的提煉既有利于學(xué)生將所學(xué)的計(jì)算模塊化，也有利于新計(jì)算內(nèi)容的遷移學(xué)習(xí)。在上述教學(xué)案例中，在學(xué)生學(xué)習(xí)“小數(shù)乘小數(shù)”的內(nèi)容之后，教師再次出示“小數(shù)乘整數(shù)”例題圖，引導(dǎo)學(xué)生比較思考兩者在算法上的聯(lián)系，使他們感悟到兩者在算法上的一致性——都可以看作“乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和，就是積的小數(shù)位數(shù)”，只不過由于將整數(shù)的小數(shù)位數(shù)看作“0”，所以才出現(xiàn)了“積的小數(shù)位數(shù)與乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同”這種情況。不僅如此，等六年級(jí)學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法之后，教師還可以再次“回頭看”，來一次“小數(shù)乘法的再探索”，有了分?jǐn)?shù)乘法的加持，學(xué)生對小數(shù)乘法的理解會(huì)更加深刻，也會(huì)對整個(gè)乘法運(yùn)算有一個(gè)更加完整、更加結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)。

綜上所述，一致性視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)主題統(tǒng)整式教學(xué)為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)提供了新的視角和有效路徑。它要求教師改變之前“一個(gè)例題接著一個(gè)例題散點(diǎn)教”的碎片化教學(xué)方式，破除“一道習(xí)題連著一道習(xí)題重復(fù)做”的機(jī)械式刷題現(xiàn)象，整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容本質(zhì)，圍繞知識(shí)群展開教學(xué)；同時(shí)，找準(zhǔn)發(fā)力點(diǎn)，夯實(shí)承重墻，打通隔斷墻，促進(jìn)學(xué)生舉一反三、觸類旁通，推動(dòng)他們的思維不斷進(jìn)階，習(xí)得“帶得走”的能力。