基于均質(zhì)化等效的點(diǎn)陣夾芯板仿真方法

鄧夢(mèng)，何敏，徐昉暉

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第十研究所，成都 610036）

引言

點(diǎn)陣材料是一種具有高孔隙率以及周期性結(jié)構(gòu)的先進(jìn)輕質(zhì)多功能材料，可根據(jù)不同的受力環(huán)境實(shí)現(xiàn)每個(gè)微小單元的結(jié)構(gòu)拓?fù)?、單元?shù)量與尺寸以及結(jié)構(gòu)內(nèi)局部的相對(duì)密度等參數(shù)的精確控制[1]。普遍情況下，點(diǎn)陣材料的相對(duì)密度僅是實(shí)體材料的十分之一，有利于設(shè)備的輕量化設(shè)計(jì)[2]；同時(shí)，該類(lèi)型材料還具有吸收環(huán)境噪音、減少?zèng)_擊響應(yīng)、屏蔽電磁輻射和提供減振阻尼等多功能特性，目前已廣泛應(yīng)用于航天航空飛行器、海軍艦船、汽車(chē)等領(lǐng)域[3-5]。

研究人員通常基于實(shí)驗(yàn)方式對(duì)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣材料的各項(xiàng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。Geng針對(duì)金屬點(diǎn)陣材料與試驗(yàn)機(jī)夾持困難的問(wèn)題提出了非接觸式試驗(yàn)方法，成功測(cè)得了選擇性激光熔煉制備的含菱形十二面體和BBC單元的AlSi10Mg點(diǎn)陣材料的彈性模量以及應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線[6]。Xiao等通過(guò)單軸測(cè)試預(yù)測(cè)點(diǎn)陣材料的多軸屈服行為，提出了基于總應(yīng)變能密度假設(shè)的點(diǎn)陣材料屈服準(zhǔn)則[7]。Horn等利用四點(diǎn)彎試驗(yàn)研究了基于電子束選區(qū)熔化技術(shù)的等截面桿、不同尺寸和不同相對(duì)密度的菱形十二面體點(diǎn)陣材料的力學(xué)特性[8]。Khalil等提出了一種基于極端統(tǒng)計(jì)量和Crossland HCF準(zhǔn)則的方法，研究了基本單元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在比例多軸載荷下對(duì)幾種類(lèi)型單元結(jié)構(gòu)抗疲勞性能的影響[9]。

然而，在點(diǎn)陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部尺寸先驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)階段進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)與測(cè)試會(huì)帶來(lái)高昂的研制成本和漫長(zhǎng)的設(shè)計(jì)周期，故完全基于實(shí)驗(yàn)方法研究復(fù)雜點(diǎn)陣材料的打印過(guò)程和材料性能可行性較差。在眾多潛在的替代方法中，基于有限元方法的計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）技術(shù)可以顯著縮短研究周期并降低工作成本，目前已廣泛應(yīng)用于點(diǎn)陣材料的疲勞分析[10]、優(yōu)化設(shè)計(jì)[11-13]和生產(chǎn)制備[14]流程中。但目前的研究主要針對(duì)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣材料本身的制造工藝和宏觀特性，其結(jié)果對(duì)含有復(fù)雜點(diǎn)陣的零部件甚至整機(jī)設(shè)備的仿真分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)指導(dǎo)借鑒意義有限。

因此，本文采用了均質(zhì)化等效的方法，將點(diǎn)陣材料均質(zhì)化，對(duì)其材料特性進(jìn)行等效處理，降低了含點(diǎn)陣材料的電子設(shè)備的仿真分析難度。

1 點(diǎn)陣材料均質(zhì)化

點(diǎn)陣材料是由許多相同的點(diǎn)陣單元通過(guò)某種形式周期性的組合而成。點(diǎn)陣單元即胞元，點(diǎn)陣材料的均質(zhì)化就是對(duì)胞元進(jìn)行等效簡(jiǎn)化。

1.1 均質(zhì)化等效方法

對(duì)胞元結(jié)構(gòu)進(jìn)行均質(zhì)化等效，等效體的應(yīng)力等于胞元結(jié)構(gòu)的平均應(yīng)力，等效體的平均應(yīng)變等于胞元結(jié)構(gòu)的平均應(yīng)變，如式（1）和式（2）所示。

而等效體的平均應(yīng)力和平均應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系模型如式（3）所示。

式中：

De—胞元結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣。

因此，胞元結(jié)構(gòu)的均質(zhì)化等效主要是求解胞元結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣。

式中：

D—有限元的通用剛度矩陣。

各向異性的材料的剛度矩陣有21個(gè)未知變量、正交各向異性的材料的剛度矩陣有9個(gè)未知變量，而各項(xiàng)同性材料的剛度矩陣只有3個(gè)未知變量。

對(duì)于各項(xiàng)異性的胞元結(jié)構(gòu)，等效剛度矩陣有21個(gè)未知變量，而且胞元結(jié)構(gòu)通常尺寸很小，通過(guò)材料試驗(yàn)的方式來(lái)獲取等效剛度矩陣的難度大。因此，采用有限元仿真分析的方法來(lái)對(duì)胞元結(jié)構(gòu)的剛度矩陣進(jìn)行等效。

在求解胞元結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣De時(shí)，以胞元結(jié)構(gòu)的應(yīng)變?yōu)榉抡娣治龅倪吔鐥l件，設(shè)計(jì)仿真邊界使應(yīng)變的第i個(gè)元素((ii))中的值不為0、其余元素的值為0，此時(shí)，De的第i列De(i)與當(dāng)前邊界狀態(tài)下胞元結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)的關(guān)系為：

因此，胞元等效剛度矩陣的第i列的值可通過(guò)式（6）求解。

式中：

V—胞元結(jié)構(gòu)的體積；

N—胞元結(jié)構(gòu)網(wǎng)格單元的數(shù)量；

σn—第n個(gè)單元的平均應(yīng)力；

△Vn—第n個(gè)單元的體積。

按上述方式依次進(jìn)行六次求解，即可獲得胞元結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣De。

1.2 均質(zhì)化等效結(jié)果

本文中研究的胞元結(jié)構(gòu)如圖1所示，選用的3D打印材料為AlSi10Mg，其材料特性如表1所示。

表1 AlSi10Mg材料屬性

圖1 胞元結(jié)構(gòu)

按1.1節(jié)的方法對(duì)胞元結(jié)構(gòu)進(jìn)行等效處理，等效體的密度為924.35 kg/m3，等效剛度矩陣如表2所示。

表2 等效剛度矩陣（GPa）

2 仿真及試驗(yàn)方法

為研究1.2節(jié)求得的均質(zhì)化等效結(jié)構(gòu)能否準(zhǔn)確模擬點(diǎn)陣材料在外界激勵(lì)下的真實(shí)響應(yīng)，分別對(duì)其進(jìn)行了試驗(yàn)和仿真分析。

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

夾芯板主體為點(diǎn)陣材料，并在其表面打印一層厚度約為0.5 mm的實(shí)心層，使其形成一個(gè)封閉的整體，如圖2所示。

圖2 夾芯板模型

振動(dòng)試驗(yàn)激勵(lì)條件為隨機(jī)振動(dòng)，激勵(lì)頻率范圍為（15～2 000）Hz、幅值為0.01 g2/Hz；試驗(yàn)過(guò)程中采集夾芯板樣件的中心、長(zhǎng)短邊中點(diǎn)三個(gè)典型位置的加速度響應(yīng)信號(hào)，試驗(yàn)件裝夾及傳感器布局如圖3所示。

圖3 夾芯板裝夾及傳感器布局

2.2 仿真設(shè)計(jì)

在對(duì)試驗(yàn)板進(jìn)行仿真分析前，需對(duì)試驗(yàn)板進(jìn)行等效處理，將點(diǎn)陣特征區(qū)域進(jìn)行填充形成均質(zhì)化層，如圖4所示。仿真分析時(shí)，均質(zhì)化層采用AlSi10Mg均質(zhì)化等效材料，實(shí)心層采用AlSi10Mg。兩部分模型之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)耦合方式的進(jìn)行連接。

圖4 夾芯板模型簡(jiǎn)化

為準(zhǔn)確模擬設(shè)備在試驗(yàn)中的響應(yīng)，仿真時(shí)將實(shí)驗(yàn)夾具也加入到仿真模型中，并采用梁?jiǎn)卧M夾芯板和夾具的螺釘連接。通過(guò)夾具模型的安裝孔施加固定約束，作為隨機(jī)振動(dòng)分析的激勵(lì)源，如圖5所示。仿真分析條件與振動(dòng)試驗(yàn)條件一致，阻尼采用軟件默認(rèn)設(shè)置，即值為0.01的常數(shù)阻尼比。

圖5 夾芯板仿真模型

3 結(jié)果分析

夾芯板隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的加速度測(cè)試結(jié)果如圖6所示。由圖6可知，測(cè)點(diǎn)3的響應(yīng)結(jié)果與振動(dòng)試驗(yàn)條件基本一致；測(cè)點(diǎn)1和測(cè)點(diǎn)2的響應(yīng)結(jié)果在698.4 Hz和1 302 Hz處有明顯的共振放大。

圖6 夾芯板測(cè)試結(jié)果

夾芯板的模態(tài)分析結(jié)果如圖7所示。在2 000 Hz的頻率范圍內(nèi)夾芯板共有2階模態(tài)，固有頻率分別為701.7 Hz和1 406.4 Hz。與測(cè)試結(jié)果相比，仿真分析的前兩階固有頻率的偏差分別為0.43 %和7.96 %。

圖7 夾芯板模態(tài)分析結(jié)果

由圖6可知，僅測(cè)點(diǎn)1和2處有明顯的共振放大，因此，僅對(duì)比測(cè)點(diǎn)1和2的隨機(jī)振動(dòng)條件的仿真及測(cè)試結(jié)果，如圖8和圖9所示。

圖8 測(cè)點(diǎn)1仿真測(cè)試結(jié)果對(duì)比

圖9 測(cè)點(diǎn)2仿真測(cè)試結(jié)果對(duì)比

由圖8和圖9可知，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的加速度響應(yīng)的測(cè)試和仿真結(jié)果曲線的重合度較高，但其RMS值差距較大。這主要是由于仿真分析中設(shè)置的常數(shù)阻尼比的值與其實(shí)際值相差較大。通過(guò)修正仿真中的阻尼比參數(shù)，可對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行修正，如表3、圖10和圖11所示。當(dāng)阻尼比D=0.003 3時(shí)，測(cè)點(diǎn)1、測(cè)點(diǎn)2加速度響應(yīng)的仿真曲線和測(cè)試曲線基本重合，且RMS值的相對(duì)誤差最大值分別僅為-9.34 %和6.43 %。

圖10 測(cè)點(diǎn)1仿真測(cè)試結(jié)果對(duì)比（阻尼修正后）

圖11 測(cè)點(diǎn)2仿真測(cè)試結(jié)果對(duì)比（阻尼修正后）

表3 仿真測(cè)試RMS值對(duì)比

4 結(jié)論

點(diǎn)陣材料是由許多相同的點(diǎn)陣單元通過(guò)某種形式周期性的組合而成，采用常規(guī)的有限元仿真分析方法，必然導(dǎo)致網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)量過(guò)多而無(wú)法進(jìn)行計(jì)算求解。本文提出了對(duì)點(diǎn)陣單元進(jìn)行均質(zhì)化等效的方法，使得含有大規(guī)模點(diǎn)陣單元的電子設(shè)備的有限元仿真分析成為可能。

對(duì)比仿真和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果可知，采用均質(zhì)化等效后的有限元分析固有頻率結(jié)果與試驗(yàn)相比最大誤差為7.96 %，RMS值的最大誤差為-9.34 %，證明本文提出的點(diǎn)陣材料均質(zhì)化等效方法在大幅降低了仿真難度的同時(shí)能很好地模擬其力學(xué)性能。