一類三維三次系統(tǒng)極限環(huán)的新下界

劉桔坤，黃文韜，劉宏普

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2. 廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006)

極限環(huán)問(wèn)題是微分方程定性理論中非常重要的熱點(diǎn)領(lǐng)域。1900年巴黎世界數(shù)學(xué)家大會(huì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家Hilber提出著名的23個(gè)數(shù)學(xué)難題，其中第16個(gè)問(wèn)題的后半部分就是尋求n次實(shí)平面微分自治系統(tǒng)極限環(huán)數(shù)目的最小上界以及這些極限環(huán)的相對(duì)位置。這一問(wèn)題吸引了眾多學(xué)者關(guān)注，也取得了很多優(yōu)秀研究成果。然而這個(gè)問(wèn)題的解決非常困難，即使n=2的情形仍沒有得到解決。近幾十年來(lái)，尋求平面系統(tǒng)能產(chǎn)生極限環(huán)個(gè)數(shù)的最大下界問(wèn)題有很多研究成果[1-6]。近年來(lái)，三維系統(tǒng)的研究也取得了一些研究成果，如文獻(xiàn)[7]構(gòu)造一類具有3個(gè)極限環(huán)的三維Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)；文獻(xiàn)[8]研究一類三維n(n>1)次系統(tǒng)，并且證明這類系統(tǒng)至少存在n2個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[9]證明三維二次系統(tǒng)在單個(gè)奇點(diǎn)周圍至少存在7個(gè)極限環(huán)；隨后文獻(xiàn)[10]將這個(gè)結(jié)果改進(jìn)至10個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[11]研究一類具有2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)的三維二次系統(tǒng)，證明在這2個(gè)奇點(diǎn)周圍至少存在10個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[12]研究一類具有Z3對(duì)稱的三維二次系統(tǒng)，證明在3個(gè)奇點(diǎn)周圍存在具有(4,4,4)分布的12個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[13]證明一類三維二次系統(tǒng)在2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)周圍存在具有(6,6)分布的12個(gè)極限環(huán)。目前，關(guān)于三維三次系統(tǒng)極限環(huán)的結(jié)果相對(duì)較少，文獻(xiàn)[14]提出一種三維微分系統(tǒng)奇點(diǎn)量的遞推算法，并采用該算法研究一類三維三次系統(tǒng)，得到系統(tǒng)可分支出5個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[15]證明一類三維三次Kolmogorov系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)(1,1,1)處可分支出5個(gè)小振幅極限環(huán)；文獻(xiàn)[16]將這個(gè)結(jié)果改進(jìn)至7個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[17]研究一類三維三次ELS(extended Lorenz system)系統(tǒng)，得到系統(tǒng)在3個(gè)孤立的平衡點(diǎn)處各存在1個(gè)極限環(huán)。

本文研究如下一類三維實(shí)系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題：

(1)

證明系統(tǒng)(1)有16個(gè)極限環(huán)，得到三維三次系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的一個(gè)新下界。

1 預(yù)備知識(shí)

先敘述需要的一些知識(shí)(詳見文獻(xiàn)[14])?？紤]以下三維實(shí)系統(tǒng)：

(2)

式中x、y、u、d、t、Ajkl、Bjkl、djkl∈R,k、j、l∈N。

對(duì)系統(tǒng)(2)，存在中心流形u=u(x,y),可表示為如下關(guān)于x和y的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)

u=u(x,y)=x2+y2+h.o.t.,

式中h.o.t.為高階項(xiàng)。

引入變換

系統(tǒng)(2)可化為如下系統(tǒng)：

(3)

引理1[14]對(duì)系統(tǒng)(3)，令c110=1,c101=c011=c200=c020=0,ckk0=0,k=2,3,…那么可以唯一地逐項(xiàng)確定如下形式級(jí)數(shù)

使得

式中μm是系統(tǒng)(3)在原點(diǎn)的第m個(gè)奇點(diǎn)量。當(dāng)α≠β或α=β,γ≠0時(shí),cαβγ可由以下遞推公式確定，

對(duì)每一個(gè)正整數(shù)m,μm可由下面遞推公式確定，

當(dāng)α<0或β<0或γ<0或γ=0,α=β時(shí)，有cα,β,γ=0。

引理2[14]對(duì)任意正整數(shù)k,系統(tǒng)(2)的第k個(gè)焦點(diǎn)量v2k+1(2π)和系統(tǒng)(3)的第k個(gè)奇點(diǎn)量μk滿足等價(jià)關(guān)系v2k+1(2π)～iπμk。

引理3[11]對(duì)系統(tǒng)(2)，若在條件c*下原點(diǎn)是一個(gè)n階細(xì)焦點(diǎn)，并且

那么系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)可以分支出n個(gè)極限環(huán)。

2 主要結(jié)果

易知系統(tǒng)(1)關(guān)于平面XOU對(duì)稱，且有2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)(0,1,1)、(0,-1,1)。由對(duì)稱性，僅就奇點(diǎn)(0,1,1)討論。引入平移變換x1=x,y1=y-1,u1=u-1,代入系統(tǒng)(1)得到如下系統(tǒng)：

(4)

相應(yīng)地，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)(0,1,1)變成系統(tǒng)(4)的原點(diǎn)。

再通過(guò)變換z=x1+iy1,w=x1-iy1,u2=u1,T=it,系統(tǒng)(4)化為如下系統(tǒng)(5)

由引理1，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)軟件，計(jì)算系統(tǒng)(5)原點(diǎn)的奇點(diǎn)量，得到定理1。

定理1系統(tǒng)(5)原點(diǎn)的前8階奇點(diǎn)量為

情形1 若c17=0,則

μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=0。

式中：

F1=-20 960-576 495c17+22 218a3c17-886 144a5c17-93 564b16c17-289 340c17c3,

F2=38 913 088+11 225 789 614c17+9 850 427 480a5c17+263 071 844 256c172+30 728 488 635b16c172+

627 334 964 750a5c172+315 624 818 600a52c172+27 345 269 250a5b16c172+29 178 720b16c17+

4 066 298 620c17c3+205 262 417 620c172c3+214 392 807 200a5c172c3+7 975 989 450b16c172c3+

36 147 246 200c172c32,

F3=-355 974 829 793 661 101 632+3 315 404 756 119 259 258 420c17c3-

22 390 970 288 312 684 331 000c172c32+1 145 662 044 538 954 645 920b16c17-

820 755 201 041 988 537 461 194c172+570 839 670 037 146 542 404 485b16c172+

9 631 555 088 136 199 494 150a5b16c172-118 062 559 688 188 506 600 914 250a5c173-

1 956 711 824 169 040 245 100 950b16c173+718 703 192 174 636 311 387 875b162c173-

678 082 272 715 194 958 520a5c17+214 355 485 871 217 085 122 000a5c172c3+

2 801 127 021 628 092 489 150b16c172c3-8 775 317 955 632 496 616 530 000a5c173c3+

2 751 250 117 933 061 595 454 500b16c173c3-2 728 460 204 692 456 931 190 000c173c32+

8 028 915 274 201 903 177 824 000a5b16c173-41 651 961 992 469 620 963 242 500c173c3-

70 972 031 251 036 267 236 617 850c173+758 798 200 400 096 777 877 020c172c3+

3 040 820 285 709 409 899 908 800a5c172+74 021 654 281 639 387 262 314c17,

F4、F5、F6分別是關(guān)于a3、a5、b16、c3、c17的6次、8次、9次多項(xiàng)式，且其項(xiàng)數(shù)分別為40、80、139，詳情可通過(guò)鏈接https:∥pan.baidu.com/s/1f9eWxoNgMcBJJSoc5sDt4Q(提取碼：hfun)查看。在計(jì)算每個(gè)μk時(shí)，已令μk-1=0,k=2,…,8。

定理2系統(tǒng)(5)的前8階奇點(diǎn)量為0當(dāng)且僅當(dāng)a17=c17=0。

證明首先證明充分性。將a17=0,c17=0代入定理1的前8個(gè)奇點(diǎn)量的表達(dá)式，顯然有μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=0。

GroebnerBasis [{F1,F2,F3,F4,F5,F6},{a3,a5,b16,c3,c17}]={1},

即F1=F2=F3=F4=F5=F6=0沒有公共根。因此在情形2下，系統(tǒng)(5)的前8個(gè)奇點(diǎn)量不可能同時(shí)為零。綜上，定理2得證。

定理3對(duì)系統(tǒng)(4)，當(dāng)a17=0,c17=0時(shí)，曲面Γ:u1=0是一個(gè)不變代數(shù)曲面，它定義了一個(gè)全局中心流形，并且在該中心流形上，原點(diǎn)是系統(tǒng)的中心(即系統(tǒng)(1)的奇點(diǎn)(0,1,1)、(0,-1,1)為a17=0,c17=0時(shí)的中心)。

證明若a17=0,c17=0，則系統(tǒng)(4)化簡(jiǎn)為：

(6)

由文獻(xiàn)[13]可知，對(duì)如下系統(tǒng)

(7)

式中：P(x1,y1,u1)、Q(x1,y1,u1)、R(x1,y1,u1)的次數(shù)均不超過(guò)k,多項(xiàng)式方程F(x1,y1,u1)=0為系統(tǒng)(7)的不變代數(shù)曲面當(dāng)且僅當(dāng)

(8)

首先從l=1開始搜索，證明F(x1,y1,u1)的存在性。對(duì)l=1，令F(x1,y1,u1)=ax1+by1+cu1,將F(x1,y1,u1)以及余因子K(x1,y1,u1)代入式(8)，比較同次冪系數(shù)，可得到下面代數(shù)方程組：

-ah4=0, -bh4-ah7=0, -aa4-ch4-ah8=0, -ah5-bh7=0, -a-bh0=0,b-bh1-ah2=0,

解以上代數(shù)方程組得到a=0,b=0,c=1,故Dardoux多項(xiàng)式F(x1,y1,u1)=u1,因此曲面Γ:u1=0為系統(tǒng)(6)的一個(gè)不變代數(shù)曲面。下面證明曲面Γ:u1=0是系統(tǒng)(6)的一個(gè)中心流形。首先，計(jì)算函數(shù)F(x1,y1,u1)=u1在原點(diǎn)的梯度，也就是曲面Γ:u1=0在原點(diǎn)的法向量，得到F(0,0,0)=(0,0,1)。又由于中心流形在原點(diǎn)處的切空間是由e1=(0,-1,0),e2=(1,0,0)這2個(gè)向量張成的，而F(0,0,0)·e1=0,F(0,0,0)·e2=0。因此，曲面Γ:u1=0是系統(tǒng)(6)的一個(gè)中心流形，即可停止對(duì)Fl(l≥2)的搜索。最后，需要證明在中心流形Γ:u1=0上，系統(tǒng)(6)的原點(diǎn)是中心。當(dāng)u1=0時(shí)，系統(tǒng)(6)化簡(jiǎn)為如下系統(tǒng)

(9)

易知系統(tǒng)(9)關(guān)于y軸對(duì)稱，由對(duì)稱原理[18]可知系統(tǒng)(9)的原點(diǎn)是一個(gè)中心。綜上，定理3得證。

接下來(lái)討論系統(tǒng)(1)從奇點(diǎn)(0,1,1)分支的極限環(huán)的最大數(shù)目。首先考慮系統(tǒng)(5)原點(diǎn)的細(xì)奇點(diǎn)階數(shù)。由定理1和定理2可得以下定理4。

定理4系統(tǒng)(5)的原點(diǎn)是8階細(xì)奇點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)下列條件滿足

(10)

借助計(jì)算機(jī)代數(shù)軟件，得到滿足F1=F2=F3=F4=F5=0的16組實(shí)數(shù)解，其中一組解為

(11)

通過(guò)計(jì)算，

由引理3可得以下結(jié)果。

定理5對(duì)系統(tǒng)(1)，當(dāng)系數(shù)滿足條件(10)時(shí)，奇點(diǎn)(0,1,1)為8階細(xì)焦點(diǎn)，并且系統(tǒng)(1)參數(shù)經(jīng)過(guò)合適的擾動(dòng)，在奇點(diǎn)(0,1,1)處可分支出8個(gè)極限環(huán)。因此，系統(tǒng)(1)在2個(gè)奇點(diǎn)(0,1,1)和(0,-1,1)附近存在16個(gè)極限環(huán)，呈8-8分布。

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究一類三維三次系統(tǒng)的中心和極限環(huán)分支問(wèn)題。通過(guò)符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算，得到系統(tǒng)2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)(0,1,1)、(0,-1,1)成為中心的一組充要條件，并導(dǎo)出這2個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)成為8階細(xì)焦點(diǎn)的條件，進(jìn)而證明系統(tǒng)至少存在16個(gè)小振幅極限環(huán)。據(jù)作者所知，這是目前三維三次系統(tǒng)關(guān)于極限環(huán)個(gè)數(shù)的最好結(jié)果。