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    一類廣義不穩(wěn)定時(shí)空分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的近似解

    2023-01-16 11:37:20洪寶劍
    關(guān)鍵詞:虛部薛定諤實(shí)部

    洪寶劍

    (南京工程學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 南京 211167)

    眾所周知,許多自然科學(xué)和工程問(wèn)題都可以歸結(jié)為非線性方程的求解,尤其是分?jǐn)?shù)階方程幾乎應(yīng)用于社會(huì)生活的每一個(gè)領(lǐng)域.因此,研究非線性方程的解就成了國(guó)內(nèi)外學(xué)者需要關(guān)注的首要問(wèn)題.迄今為止,人們提出了尋求非線性方程精確解及近似解的各種方法,如貝克隆變換法、約束方程法、同倫分析法、Adomian展開(kāi)法、變分迭代法等[1-7].近年來(lái),Laplace變換法被廣泛應(yīng)用于各類非線性系統(tǒng)的求解[8-10].論文將借助Adomian多項(xiàng)式和同倫攝動(dòng)的理論,將Laplace變換法應(yīng)用于一類廣義分?jǐn)?shù)階薛定諤方程,得到較好的結(jié)果.

    考慮下列廣義不穩(wěn)定時(shí)空分?jǐn)?shù)階薛定諤方程

    (1)

    其中:u=u(x,t),a,γ為非零常數(shù),v(x)為實(shí)函數(shù).

    1 幾個(gè)定義

    為了方便后面計(jì)算,關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Laplace變換,給出幾個(gè)定義[7,23].

    定義1一個(gè)實(shí)函數(shù)f(t),當(dāng)μ∈,t>0時(shí),若存在實(shí)數(shù)p>μ,使得f(t)=tpf1(t),其中:f1(t)∈C[0,∞),則稱f(t)∈Cμ,若f(n)(t)∈Cμ,n∈,則稱

    定義2函數(shù)u(x,t)關(guān)于t的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為[13,18,23]

    (2)

    Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有下列性質(zhì)

    DαC=0,C為常數(shù),

    Dαf[u(x)]=fuu(α)(x).

    (3)

    2 近似解的推導(dǎo)

    關(guān)于Laplace變換迭代法的具體步驟可參閱文獻(xiàn)[8-10,24-27],對(duì)(1)進(jìn)行簡(jiǎn)單變換得

    (4)

    (5)

    (6)

    對(duì)(6)兩邊作Laplace逆變換

    (7)

    構(gòu)造同倫方程

    (8)

    顯然當(dāng)p:0→1時(shí),u:u0→u,若令

    (9)

    則(1)的精確解為

    (10)

    比較p的同次冪,構(gòu)造迭代式

    (11)

    其中:An是(8)中非線性項(xiàng)N(u)=|u2r|u通過(guò)Adomian多項(xiàng)式線性化后的第n項(xiàng)[4,13,21].

    (12)

    (13)

    當(dāng)r≠1時(shí),若u為實(shí)函數(shù),則按牛頓二項(xiàng)公式展開(kāi),若為復(fù)函數(shù),則按三角形式展開(kāi),均可得到An.再由(10),(11)式就可以得到方程(1)的各級(jí)近似解或精確解,下面討論(1).

    情形1當(dāng)r=1,v(x)=-cos2x,u0=sinx時(shí),有

    (14)

    由(11),(13)式,有

    u0=sinx.

    (15)

    (16)

    [a2sin(x+2πβ)+4a(2γ+1)sin2xsin(x+πβ)-2asin(x+πβ)+

    (17)

    (18)

    方程(14)的一個(gè)n級(jí)近似解為

    (19)

    (20)

    情形2當(dāng)v(x)=2λ,u0=eix時(shí),有

    (21)

    構(gòu)造迭代式

    (22)

    u0=eix.

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    (27)

    方程(21)的一個(gè)n級(jí)近似解為

    (28)

    所以方程(21)的一個(gè)精確解為

    (29)

    注2當(dāng)γ=a,r=1,λ=0時(shí),u1,u2,u3與文獻(xiàn)[23]中的結(jié)果一致.當(dāng)γ=1,λ=0時(shí),Un表達(dá)式比文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果(3.18)標(biāo)準(zhǔn).當(dāng)γ=a=0.5,r=1,λ=0時(shí),(29)式轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[28]中的(49)式.

    情形3當(dāng)v(x)=k(1-x2),u0=x2時(shí),有

    (30)

    接下來(lái)嘗試對(duì)迭代式的構(gòu)成方式進(jìn)行修正.考慮到u(x,t)=φ(x,t)eiψ(x,t),|u(x,t)|=|φ(x,t)|,利用文獻(xiàn)[23]中的修正思想,構(gòu)造迭代式

    (31)

    u0=x2.

    (32)

    (33)

    k2x2-2k2x4+k2x6],

    (34)

    4γk2x4r+2+8γk(γ-k)x4r+4-4γk(2γ-k)x4r+6+4γ2kx8r+2+

    4γ2(2γ-k)x8r+4+k2(2γ-k)x8-k2(4γ-3k)x6+k2(2γ-3k)x4+k3x2].

    (35)

    方程(30)的近似解為

    Un=u0+u1+u2+u3+….

    3 數(shù)值分析

    借助Mathematica軟件,表1,2和圖1,2分別對(duì)方程(1)的n級(jí)近似解(28)式和精確解(29)式進(jìn)行對(duì)比和數(shù)值模擬,分別討論當(dāng)α=1,β=1,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時(shí)的整數(shù)階方程情形和當(dāng)α=0.5,β=0.8,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時(shí)的分?jǐn)?shù)階方程情形.圖3,4對(duì)方程(30)當(dāng)a=k=r=1,γ=0.5時(shí),在α,β不同參數(shù)取值的近似解的實(shí)部和虛部進(jìn)行了模擬.

    表1 當(dāng)α=1,β=1,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時(shí),(28)和(29)虛部的數(shù)值結(jié)果

    注3Absolute Error精確位數(shù)取為小數(shù)點(diǎn)后20位,迭代到50次后誤差幾乎消失了.

    表2 當(dāng)α=0.5,β=0.8,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時(shí),(28)和(29)實(shí)部的數(shù)值結(jié)果

    部分?jǐn)?shù)值模擬結(jié)果如圖1~4所示.

    圖1 當(dāng)α=1,β=1,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時(shí),精確解與近似解迭代5,25次虛部圖

    圖2 當(dāng)α=0.5,β=0.8,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時(shí),近似解迭代5,25,50次實(shí)部圖

    圖3 不同參數(shù)下各級(jí)近似解實(shí)部變化 圖4 不同參數(shù)下各級(jí)近似解虛部變化

    圖1,2的數(shù)值結(jié)果表明,U25,U50已經(jīng)和精確解靠得很近.在圖3,4中隨著α,β的增大,實(shí)部和虛部函數(shù)穩(wěn)定地向α=β=0.05及α=β=1靠攏,因而該迭代算法有效.

    4 結(jié)束語(yǔ)

    論文通過(guò)將Laplace變換和同倫攝動(dòng)法相結(jié)合,求解一種不穩(wěn)定時(shí)空分?jǐn)?shù)階薛定諤方程,得到了方程的各級(jí)近似解,并進(jìn)行了誤差分析和數(shù)值模擬.研究結(jié)果表明,這一方法對(duì)于薛定諤類復(fù)偏微分方程近似解的處理規(guī)范有效.

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