純反饋系統(tǒng)的自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制

吳思涵，李小華*，張立鵬，趙洪利

(1.遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051;2.遼寧科技大學(xué) 圖書館，遼寧 鞍山 114051)

在實(shí)際生產(chǎn)和生活中，存在大量非線性系統(tǒng)，其中很多可用純反饋模型描述，如柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)[1-2]和化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)[3]等.這些系統(tǒng)可采用網(wǎng)絡(luò)控制，但網(wǎng)絡(luò)控制存在丟包和帶寬限制等問題，故要量化處理控制信號(hào)[4-5]、降低信號(hào)傳輸頻率，以防止信號(hào)在傳輸中丟失、保證系統(tǒng)的控制性能.

在工業(yè)控制中，PID(proportional integral derivative)控制仍然占據(jù)主導(dǎo)地位.為了提升PID的控制效果，文獻(xiàn)[6]提出了一種自抗擾控制方法.與自抗擾控制有關(guān)的研究分為2大類：一類是直接設(shè)計(jì)系統(tǒng)的自抗擾控制器，并應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)[7-9]；另一類是基于反步法控制將擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer，簡(jiǎn)稱ESO)、跟蹤微分器(tacking differentiator，簡(jiǎn)稱TD)分別用于估計(jì)未知項(xiàng)、虛擬控制函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以避免出現(xiàn)微分爆炸現(xiàn)象[10-12].

文獻(xiàn)[13]提出預(yù)設(shè)性能控制，該控制能使系統(tǒng)的跟蹤誤差滿足預(yù)先設(shè)定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求.由于預(yù)設(shè)性能控制能同時(shí)保證系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，因而已成研究熱點(diǎn)[14-16].

有限時(shí)間控制分為：精確有限時(shí)間控制[17-18]和實(shí)際有限時(shí)間控制[19-22].精確有限時(shí)間控制能使被控制的量在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)，而實(shí)際有限時(shí)間控制僅在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)附近的小鄰域，且沒有考慮暫態(tài)過程.文獻(xiàn)[22]將預(yù)設(shè)性能控制與有限時(shí)間控制相結(jié)合，提出了一個(gè)預(yù)設(shè)有限時(shí)間性能函數(shù)，能同時(shí)進(jìn)行暫態(tài)性能控制和有限時(shí)間控制，且此類有限時(shí)間控制的停息時(shí)間是設(shè)計(jì)參數(shù)，與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān).

自抗擾控制能改善系統(tǒng)的抗擾性能，預(yù)設(shè)有限時(shí)間控制能同時(shí)改善系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，因此該文將二者結(jié)合起來，針對(duì)一類具有量化輸入的非仿射純反饋系統(tǒng)，提出一種自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制策略.

1 系統(tǒng)控制問題的描述

該文考慮的非仿射純反饋非線性系統(tǒng)為

(1)

(2)

從(2)式可看出，Q(u)∈{0,±up,±up(1+σ),p=1,2,…}.由文獻(xiàn)[23]可知

Q(u)=J(u)u(t)+L(t)，

(3)

其中：J(u)為u的未知函數(shù)，滿足1-σ≤J(u)≤1+σ;L(t)為t的未知函數(shù)，滿足|L(t)|≤umin.

該文基于反步法設(shè)計(jì)系統(tǒng)(1)的自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制器，使跟蹤誤差滿足預(yù)設(shè)定有限時(shí)間控制要求的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)有界穩(wěn)定，且具有抗干擾性.

這里給出對(duì)系統(tǒng)(1)的假設(shè)：

假設(shè)2[10]系統(tǒng)中的所有狀態(tài)均是可測(cè)量的.

注1假設(shè)2是引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的前提.假設(shè)4，5可保證系統(tǒng)(1)的可控性，且與系統(tǒng)模型處理有關(guān).

該文采用文獻(xiàn)[22]中的預(yù)設(shè)定有限時(shí)間性能函數(shù)，即

(4)

其中：ρ(t)為一個(gè)光滑函數(shù)，且滿足：

(1)ρ(t)>0;

為了處理未知項(xiàng)和避免出現(xiàn)微分爆炸現(xiàn)象，使用文獻(xiàn)[24]中的ESO和TD.

2 自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中對(duì)非仿射非線性系統(tǒng)的處理方法，將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換為

(5)

設(shè)計(jì)過程中使用的坐標(biāo)變換為

e1=x1-yd，e2=x2-α1，…，en=xn-αn-1.

(6)

設(shè)

(7)

采用Backstepping方法設(shè)計(jì)自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制器，具體步驟如下：

第1步 選取Lyapunov函數(shù)為

(8)

由式(6)～(8)，可得

(9)

其中

(10)

根據(jù)文獻(xiàn)[24]構(gòu)建ESO對(duì)F1進(jìn)行估計(jì)，此ESO的方程為

(11)

其中：E1為估計(jì)誤差；Z12為F1的估計(jì)值；β11，β12為設(shè)計(jì)參數(shù).

定義式(11)的ESO估計(jì)誤差為

ε1=F1-Z12.

(12)

由式(9)，(12)，可得

(13)

選取第1步的虛擬控制為

(14)

其中：設(shè)計(jì)參數(shù)c1>0.根據(jù)式(13)，(14)和Young’s不等式，有

(15)

第2步 選取Lyapunov函數(shù)為

(16)

根據(jù)式(6)，(15)，可得

(17)

構(gòu)建ESO對(duì)F2進(jìn)行估計(jì)，此ESO的方程為

(18)

定義式(18)的ESO估計(jì)誤差為

ε2=F2-Z22.

(19)

(20)

定義式(20)的TD估計(jì)誤差為

(21)

根據(jù)式(17)，(21)，可得

(22)

選取第2步的虛擬控制為

(23)

其中：設(shè)計(jì)參數(shù)c2>1.結(jié)合式(22)，(23)及Young’s不等式，可得

(24)

(25)

經(jīng)相關(guān)計(jì)算，得

(26)

構(gòu)建ESO對(duì)Fi進(jìn)行估計(jì)，此ESO的方程為

(27)

定義式(27)的ESO估計(jì)誤差為

εi=Fi-Zi2.

(28)

(29)

定義式(29)的TD估計(jì)誤差為

(30)

選取第i步的虛擬控制為

(31)

其中：設(shè)計(jì)參數(shù)ci>1.根據(jù)式(26)，(28)，(30)，(31)，可得

ei(Zi2+εi+Ti+1ei+1+Ti+1αi-vi-1,2-ηi-1)=

(32)

(33)

經(jīng)相關(guān)計(jì)算，得

(34)

構(gòu)建ESO對(duì)Fn進(jìn)行估計(jì)，此ESO的方程為

(35)

定義(35)式的ESO估計(jì)誤差為

εn=Fn-Zn2.

(36)

(37)

定義式(37)的TD估計(jì)誤差為

(38)

根據(jù)式(34)，(38)，可得

(39)

將式(3)代入式(39)，可得

en{Zn2+εn+Tn+1[J(u)u(t)+L(t)]-vn-1,2-ηn-1}.

(40)

根據(jù)1-σ≤J(u)≤1+σ，|L(t)|≤umin和式(40)，可得

en{Zn2+εn+Tn+1J(u)u(t)+Tn+1umin-vn-1,2-ηn-1}≤

en{Zn2+εn+Tn+1(1+σ)u(t)+Tn+1umin-vn-1,2-ηn-1}.

(41)

選取量化控制輸入為

(42)

其中：設(shè)計(jì)參數(shù)cn>1.將式(42)代入式(41)，可得

(43)

基于上面的設(shè)計(jì)，可給出如下結(jié)果：

定理1對(duì)于滿足假設(shè)1～5的系統(tǒng)(1)，且|e1(0)|<|ρ(0)|，若采用式(14)，(23)，(31)，(42)設(shè)計(jì)跟蹤控制器，則受控系統(tǒng)具有有界性，e1(t)能被ρ(t)約束，且在設(shè)定時(shí)間Tf內(nèi)收斂至期望的穩(wěn)態(tài)精度(-ρTf,ρTf).

為了證明該文所提策略具有更好的抗干擾性能，將該文策略的控制效果與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略的控制效果進(jìn)行對(duì)比.因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)策略的證明過程與定理1類似及篇幅所限，這里僅給出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的設(shè)計(jì)結(jié)果，即下面的定理2.

定理2對(duì)于滿足假設(shè)1～5的系統(tǒng)(1)，且|e1(0)|<|ρ(0)|，若選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)虛擬控制律為

(44)

(45)

(46)

量化控制律為

(47)

自適應(yīng)律為

(48)

(49)

(50)

則系統(tǒng)(1)是有界的，且跟蹤誤差能滿足預(yù)先設(shè)定的有限時(shí)間控制性能.

3 仿真研究

考慮如下系統(tǒng)

(51)

選取系統(tǒng)初始狀態(tài)為：[x1(0),x2(0)]=[0.5,0.5];選取期望信號(hào)為：yd=sin3t;選取系統(tǒng)參數(shù)為：T2=T3=2;選取控制參數(shù)為：c1=c2=50;選取有限時(shí)間性能參數(shù)為：ρ0=0.8，Tf=2，ρTf=0.02;選取量化器參數(shù)為：umin=0.9，γ=0.17;選取擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)為：β11=20，β12=30，β11=12，β12=22;選取跟蹤微分器參數(shù)為：λ=10，δ=0.5.

該文的自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制策略的仿真結(jié)果如圖1～5所示.由圖1，2可知，輸出狀態(tài)曲線與期望信號(hào)曲線在設(shè)定的2 s內(nèi)已高度重合，跟蹤誤差已收斂至預(yù)先設(shè)定的(-0.02,0.02).由圖3～5可知，狀態(tài)x2、控制輸入u及量化輸入Q(u)均是有界的.

圖1 輸出狀態(tài)跟蹤效果 圖2 跟蹤誤差 圖3 狀態(tài)x2

圖4 控制輸入 圖5 量化輸入

考慮外部干擾后的系統(tǒng)為

(52)

其中：w1,w2為外部干擾.

將該文提出的自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制策略的抗干擾效果與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略的抗干擾效果進(jìn)行仿真對(duì)比，仿真時(shí)二者參數(shù)、系統(tǒng)初始條件及期望信號(hào)均相同.2種控制策略的控制效果如圖6～7所示.由圖6～7可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略在外部擾動(dòng)作用下系統(tǒng)發(fā)散，而該文策略能保證系統(tǒng)有界且控制效果良好，表明該文策略比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略有更好的控制性能.

圖6 2種策略的輸出狀態(tài)跟蹤效果 圖7 2種策略的跟蹤誤差

為了證明該文策略具有有效性，將其應(yīng)用于一個(gè)單桿機(jī)械臂系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型[25]為

(53)

選取初始狀態(tài)為:[x1(0),x2(0)]=[0.5,0.4];選取期望信號(hào)為yd=2sint.選取系統(tǒng)參數(shù)為：T2=T3=1;選取控制參數(shù)為：c1=10，c2=30;其余參數(shù)均同上.機(jī)械臂系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖8～10所示.由圖8～10可知，在量化輸入較小的情況下，機(jī)械臂的輸出誤差很小，即系統(tǒng)輸出有很好的跟蹤效果.

圖8 機(jī)械臂輸出狀態(tài)跟蹤效果 圖9 機(jī)械臂跟蹤誤差 圖10 機(jī)械臂量化輸入

4 結(jié)束語

該文提出了一種自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間量化控制策略，設(shè)計(jì)的控制器能使跟蹤誤差滿足預(yù)設(shè)定有限時(shí)間控制要求的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)有界穩(wěn)定.在外部擾動(dòng)作用下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略系統(tǒng)發(fā)散，而該文策略能保證系統(tǒng)有界且控制效果良好，表明該文策略比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略有更好的控制性能.該文策略可應(yīng)用于對(duì)暫態(tài)、穩(wěn)態(tài)和抗干擾性能要求均較高的控制系統(tǒng).