一類 ψ-Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性

李曉艷，任 瑋，謝 地，蔣 威

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

分?jǐn)?shù)階微積分由于在方程理論和實(shí)際應(yīng)用中都有極大的發(fā)展?jié)摿?，得到了眾多研究學(xué)者的關(guān)注[1-2].分?jǐn)?shù)階微積分不僅在數(shù)值分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)中有著不可或缺的地位，而且在物理、化學(xué)、生物、工程和其他領(lǐng)域也發(fā)揮著顯著的作用[3-6].

自從1695年分?jǐn)?shù)階微積分的概念被提出以來，分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)便衍生出了各種不同類型的定義.隨著研究的不斷深入，分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)涌現(xiàn)出了更多新的形式.這些分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)都有一個(gè)相同的內(nèi)核，可以在此基礎(chǔ)上使定義范圍[1-2,7-10]更加廣泛.因此，Almeida[11]利用與Caputo相關(guān)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念，提出了ψ-Caputo導(dǎo)數(shù)的定義(它是對關(guān)于函數(shù)ψ的一類分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣)及一種處理此類算子的數(shù)值方法，包括用依賴于一階導(dǎo)數(shù)的和來近似分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，且通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性和適用性.通過考慮人口增長模型，給出了該分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)應(yīng)用，表明可以使用分?jǐn)?shù)算子的不同核來更精確地建模.

論文的主要研究對象是探究一類特殊的Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問題，利用相互轉(zhuǎn)化的思想，將Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來考慮.接下來便可以在研究此分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的存在唯一性上尋找突破口，沒有直接從ψ-Caputo導(dǎo)數(shù)的定義入手，以免帶來更多煩瑣的計(jì)算.最后，考慮到對分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和穩(wěn)定性的研究一直受到極高的關(guān)注[12-15]，作者進(jìn)一步探討了Ulam-Hyers-Rassias，Ulam-Hyers，Semi-Ulam-Hyers-Rassias與分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性涉及的相關(guān)問題[16-18].

首先，作者在一個(gè)實(shí)Banach空間X上考慮以下關(guān)于函數(shù)ψ的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程

(1)

定義1[1]若α∈,Re(α)>0,-∞≤a0.關(guān)于函數(shù)ψ的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

(2)

定義2[1]若α∈,n-10.關(guān)于函數(shù)ψ的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

(3)

若n-1<α

(4)

作者將利用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理來考慮關(guān)于函數(shù)ψ的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程(1)，則首先需要構(gòu)造一個(gè)既定的空間

X={x|x(t)∈C[a,b]},

其中

可以很容易證明(X,‖·‖X)是一個(gè)Banach空間.

1 預(yù)備知識

引理1[2]若α>0,β>0,有

(5)

引理2[19]若0≤t1

(6)

引理3若f∈C[a,b],n-1<α

(7)

證明由Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分和Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義，有

對等式右側(cè)重復(fù)進(jìn)行分部積分，可得

引理4若f∈C[a,b],n-1<β<α

(8)

證明由Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，有

(9)

將上面的等式代入到(9)中，由引理2可以推導(dǎo)出

注特別地，若f∈C[a,b],0<α<1,有

定義3[20]已知X是一個(gè)非空集，則d:X×X→[0,∞]是一個(gè)在X上的廣義度量，若

(1)d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

(2)d(x,y)=d(y,x),對任意x,y∈X;

(3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),對任意x,y,z∈X.

定理1[20](X,d)是一個(gè)廣義上的完備度量空間，假設(shè)T:X→X是一個(gè)Lipschitz常數(shù)L<1的壓縮算子.若存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使得對于x∈X,d(Tk+1x,Tkx)<∞，那么以下3個(gè)命題成立：

(1)序列Tk收斂于T中的一個(gè)不動點(diǎn)x*;

(2)x*是T在X*={y∈X|d(Tkx,y)<∞}上的唯一不動點(diǎn)；

定理2[21]已知K為Banach空間X上的非空有界閉凸子集，A,B:K→X滿足：

(1)對任意x,y∈K,都有Ax+By∈K;

(2)算子A是壓縮的，其中Lipschitz常數(shù)L<1;

(3)B是K上的連續(xù)緊算子.

2 主要結(jié)果

作者利用 Krasnoselskii不動點(diǎn)定理來證明關(guān)于函數(shù)ψ的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問題解的存在唯一性，在有限區(qū)間[a,b]上分析了關(guān)于Ulam-Hyers-Rassias和Semi-Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性的相關(guān)定理.

2.1 Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性

需要做出以下假設(shè)：

(H1)L0和M為給定的正常數(shù).假設(shè)f:J×X→X是分別滿足以下條件的連續(xù)可微函數(shù)

‖f(t,x1(t))-f(t,x2(t))‖≤L0‖x1(t)-x2(t)‖,?t∈J，

以及

‖f(t,x(t))‖≤M,?t∈J.

(H2)給定的正常數(shù)L,其中0

引理5假設(shè)函數(shù)x:J→X是連續(xù)可微的，則初值問題(1)等價(jià)于積分方程

(10)

根據(jù)初值條件x(a)=0,則進(jìn)一步可得

基于上述論證可知，一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)滿足初值問題(1)，當(dāng)且僅當(dāng)該函數(shù)滿足積分方程(10).

定理3假設(shè)條件(H1)和(H2)均成立，則初值問題(1)存在唯一解.

證明根據(jù)引理1，可知初值問題(1)等價(jià)于積分方程(10).因此，可以將尋求初值問題(1)的解轉(zhuǎn)化為探討算子A和B的不動點(diǎn)問題，其中算子A和B的定義如下

(11)

(12)

通過引用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理，將證明方程(1)有唯一解.因此首先需要找到一個(gè)非空的有界閉凸子集K,其中

K={x(t)∈C[a,b]:‖x(t)‖≤R}，

且常數(shù)R滿足

由算子A的定義可知，對于任意x∈K,都有Ax∈K,即算子A:K→K.

接下來證明算子A在K上是嚴(yán)格壓縮的.對于任意x1,x2∈K,鑒于假設(shè)條件(H1)和(H2),從而可以推導(dǎo)得

因此，對于任意x1,x2∈K,有

‖Ax1(t)-Ax2(t)‖

這表明A是一個(gè)嚴(yán)格的壓縮映射.

其次，顯然可知算子B在Banach空間X中是連續(xù)的，還需要證明B(K)為列緊集.根據(jù)Arzela-Ascoli定理，只需推導(dǎo)出B(K)是一致有界且等度連續(xù)的即可.

一方面，對于?x(t)∈K,有

所以，B(K)是一致有界的.

另一方面，對?t1,t2∈J,若t1

因此，當(dāng)t2→t1時(shí)，有‖Bx(t2)-Bx(t1)‖→0,從而B(K)是等度連續(xù)的，證明了B是K上的連續(xù)緊算子.

最后，對于?x,y∈K,有

所以Ax+By∈K.綜上所述，算子A+B在Banach空間X的有界閉凸子集中有一個(gè)不動點(diǎn)x,滿足(A+B)x=x.因此，初值問題(1)存在唯一解.

例考慮關(guān)于Caputo微分方程的初值問題

這里取ψ(t)=lnt,α=0.8,β1=0.5,β2=0.2,其中t∈[1,2],f(t,x(t))=0.1sinx(t).通過驗(yàn)證給出的假設(shè)(H1)和(H2),即對于?x1,x2∈X,有

‖sinx1(t)-sinx2(t)‖≤‖x1(t)-x2(t)‖,

可以得出該初值問題在t∈[1,2]上存在唯一解.

2.2 Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的Ulam-Hyers穩(wěn)定性

該節(jié)介紹閉區(qū)間[a,b]上有關(guān)Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性和半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性的基本概念，從而給出與系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性相關(guān)的定理.為了研究穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論，需要在Banach空間X上建立適當(dāng)?shù)亩攘?

Banach空間X上的度量d1(·)定義如下

d1(x,y)=inf{C∈[0,+∞)|‖x(t)-y(t)‖≤CΦ(t),t∈[a,b]},

(13)

其中：C是一個(gè)常數(shù)，Φ(t)是一個(gè)恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù).

Banach空間X上的度量d2(·)定義如下

(14)

定義4[22]對于每個(gè)連續(xù)可微函數(shù)x:J→X,滿足

(15)

其中：Φ(t)為恒正單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù).

若存在初值問題(1)的一個(gè)解x0以及一個(gè)常數(shù)C>0，使得

‖x(t)-x0(t)‖≤CΦ(t),?t∈J,

則稱系統(tǒng)(1)具有Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.如果Φ(t)在上述不等式中為一個(gè)常值函數(shù)，則稱系統(tǒng)(1)具有Ulam-Hyers穩(wěn)定性.

定義5[22]對于每個(gè)連續(xù)可微函數(shù)x:J→X,滿足

(16)

其中：常數(shù)θ≥0.

若存在初值問題(1)的一個(gè)解x0以及一個(gè)常數(shù)C>0,對于恒正單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù)Φ(t),使得

‖x(t)-x0(t)‖≤CΦ(t),?t∈J,

則稱初值問題(1)具有半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.

定理4若假設(shè)(H1)和(H2)成立，Φ(t)是一個(gè)定義在[a,b]上恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù), 以及連續(xù)可微函數(shù)x:J→X，滿足

則存在初值問題(1)的唯一解x0∈X，使得

(17)

且系統(tǒng)(1)具有Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.

證明考慮算子T:X→X,有

根據(jù)Banach空間X上的度量d1(·)以及假設(shè)(H1)與(H2)可知，對于?x,y∈X,有

LCΦ(t),?t∈J,L∈(0,1)，

從而進(jìn)一步可知

d1(Tx,Ty)≤LC=Ld1(x,y),L∈(0,1).

此外由條件(17)知

因此可以證實(shí)

由定理1可知，存在系統(tǒng)(1)的唯一不動點(diǎn)x0，使得Tx0=x0,且可以推導(dǎo)出

綜上，作者完成了關(guān)于Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程(1)的Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性的證明.

定理5若假設(shè)(H1)和(H2)成立，Φ(t)是一個(gè)定義在[a,b]上恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù), 以及連續(xù)可微函數(shù)x:J→X，滿足

其中：常數(shù)θ>0,則存在初值問題(1)的唯一解x0∈X以及常數(shù)M>0，使得

(18)

且系統(tǒng)(1)具有半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.

證明考慮算子T:X→X,有

與定理4的證明類似，根據(jù)Banach空間上的度量d2(·)以及假設(shè)(H1)與(H2)可知,對于?x,y∈X,有

進(jìn)一步可以得出

LC,?t∈J,L∈(0,1)，

即

d2(Tx,Ty)≤LC=Ld2(x,y),L∈(0,1).

由于Φ(t)是一個(gè)恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù)，可以找到一個(gè)常數(shù)M>0，滿足

此外由條件(18)知

從而可以證實(shí)

由定理1可知，存在系統(tǒng)(1)的唯一不動點(diǎn)x0，使得Tx0=x0,且可以推導(dǎo)出

基于以上分析，作者論證出Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程(1)具有半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.