把握教材內(nèi)容邏輯 促進(jìn)算理算法融通
——基于三版本教材“分?jǐn)?shù)除法”單元的比較分析

魏 先 玲

(深圳市寶安區(qū)海港小學(xué)，廣東 深圳 518102)

分?jǐn)?shù)除法既是分?jǐn)?shù)乘法的延伸，也是整數(shù)除法運算的擴展。在日常教學(xué)中，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)除法的運算法則能夠靈活運用，但對于為什么可以這樣運用，卻說不清、道不明，這就涉及分?jǐn)?shù)除法算理與算法的貫通關(guān)系?！读x務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》指出：“學(xué)生不僅會根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運算，而且理解運算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運算途徑?！盵1]教育家顧泠沅曾說過：分?jǐn)?shù)以及分?jǐn)?shù)的運算是整個小學(xué)階段乃至初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容，學(xué)生對分?jǐn)?shù)及其運算的理解困難，會成為以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路的阻礙?？梢?，將分?jǐn)?shù)除法的算理和算法進(jìn)行融會貫通，對于學(xué)生正確運用算法、深入理解算理至關(guān)重要。

數(shù)學(xué)知識主要通過數(shù)學(xué)教材來承載[2]，分?jǐn)?shù)除法算理和算法的貫通也正是借助教材這一媒介來實現(xiàn)?；诖?，筆者查閱了北京師范大學(xué)出版社義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)教材(以下簡稱北師大版)、人民教育出版社義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)教材(以下簡稱人教版)和江蘇鳳凰教育出版社義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)教材(以下簡稱蘇教版)三個版本教材中關(guān)于“分?jǐn)?shù)除法”這一內(nèi)容的編排，從宏觀和微觀兩個角度進(jìn)行比較分析，以期為后續(xù)教學(xué)路徑的設(shè)置與實施提出建議。

一、宏觀比較，強調(diào)教材內(nèi)容邏輯

教材內(nèi)部編排具有一定的邏輯性，站在宏觀角度審視，才能更有效地理解教材的編排意圖。宏觀比較是指從大的模塊進(jìn)行比較分析，包括知識銜接和編排結(jié)構(gòu)兩個方面。

1.知識銜接，遵循邏輯層次

數(shù)學(xué)知識前后銜接緊密，環(huán)環(huán)相扣，具有很強的邏輯性和系統(tǒng)性。各知識點之間的銜接過渡，是保證數(shù)學(xué)這門學(xué)科邏輯完整性的關(guān)鍵。以“分?jǐn)?shù)除法”單元為例，現(xiàn)對三個版本教材從知識銜接的角度進(jìn)行比較分析，情況如表1。

表1 三個版本教材前后知識銜接

在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”之前，需提前學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本知識，包括分?jǐn)?shù)的認(rèn)識及意義，分?jǐn)?shù)的加減法、分?jǐn)?shù)的乘法等等。北師大版教材將“分?jǐn)?shù)除法”這一內(nèi)容安排在五年級下學(xué)期，而人教版和蘇教版則將這一單元內(nèi)容安排得比較晚，放在了六年級上學(xué)期。從表1中，我們看到三個版本教材在知識的前后銜接上是一致的，都遵循了從淺到深、步步深入的邏輯。當(dāng)然，三個版本教材也存在一定的區(qū)別，人教版教材將倒數(shù)的認(rèn)識設(shè)置在了本單元，蘇教版的教材將比的內(nèi)容設(shè)置在了本單元，而北師大版教材則將倒數(shù)的認(rèn)識安排在了分?jǐn)?shù)乘法一單元中，將比的認(rèn)識安排在了六年級上學(xué)期。

2.編排結(jié)構(gòu)，彰顯邏輯規(guī)律

教材在編排設(shè)計的時候，主要遵循“一體化”原則。為使教材一體化，需從實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的全局出發(fā)，依據(jù)知識體系的內(nèi)在聯(lián)系與學(xué)習(xí)規(guī)律，按不同的層次編排教材。以“分?jǐn)?shù)除法”單元為例，從編排結(jié)構(gòu)來看，三個版本的教材都充分體現(xiàn)了知識體系的連貫性、邏輯性，尊重知識體系編排的螺旋上升規(guī)律，體現(xiàn)了單元整體教學(xué)理念(詳見表2)。

表2 三個版本教材分?jǐn)?shù)除法單元內(nèi)容設(shè)置及課時安排

從表2中，我們發(fā)現(xiàn)北師大版教材在解決分?jǐn)?shù)除法時編排了6個課時；人教版教材編排了11個課時，其中“用方程解決實際問題”里又劃分為4種類型，劃分的層次比較細(xì)，步步深入地引領(lǐng)學(xué)生去感悟、理解不同情況下用方程解決的分?jǐn)?shù)問題；蘇教版編排了13個課時，拋開比的內(nèi)容不看，只看分?jǐn)?shù)除法部分，劃分得更細(xì)，將“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”分解成“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”兩個部分，與北師大版和人教版相比，還多了“分?jǐn)?shù)連除和乘除混合運算”這一模塊。

在“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”模塊中，北師大版教材只列舉了分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)單位這一類型，就總結(jié)出“除以一個數(shù)相當(dāng)于乘這個數(shù)的倒數(shù)”；人教版則是從一個數(shù)除以非分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)入手，通過兩個例子總結(jié)出“除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”；蘇教版教材編排的相對比較細(xì)致，具有一定的層次性，先從整數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位，再進(jìn)一步擴展到整數(shù)除以非分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)，從特殊到一般，通過兩個例子，總結(jié)出“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于整數(shù)乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，最后再過渡到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，進(jìn)而總結(jié)出“甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外)，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”。

二、微觀比較，促進(jìn)算理算法貫通

算理是計算的本質(zhì)，而算法是抽象概括的。算法探究過程的每一次抽象與創(chuàng)造都是算理的無形內(nèi)化，需要精心設(shè)計，才能促進(jìn)算理的深層感悟與算法的有效生成，實現(xiàn)算理和算法的相互交融。[3]微觀比較是指系統(tǒng)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”時教材內(nèi)容的比較，包括情境的設(shè)置、表征方式的運用、活動經(jīng)驗的積累以及數(shù)學(xué)思想的滲透四個方面。

1.創(chuàng)設(shè)情境，來源生活高于生活

小學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于情境的。教材根據(jù)不同地區(qū)學(xué)生發(fā)展的需要，設(shè)計了多樣化的情境，不但能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、精準(zhǔn)解決問題，而且有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，同時也有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展的過程。三版本教材在使用情境種類及次數(shù)情況如表3。

表3 各版本教材使用的情境及次數(shù)

從表格中，我們可以看到，三個版本的教材在本單元設(shè)置時，能夠結(jié)合學(xué)生的生活，設(shè)計貼合學(xué)生實際情況的情境，做到“數(shù)學(xué)來源于生活并高于生活”。但同時，我們也發(fā)現(xiàn)，沒有一個版本的教材做到從始至終有一個完整的情境，做的相對比較好的是蘇教版的教材，“分果汁”的情境在本單元教學(xué)中使用了4次，頻率相對比較高。

2.運用表征，達(dá)成算理算法融通

華羅庚說過：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。多元表征的有效利用，有利于學(xué)生從多角度深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，使抽象問題具象化、復(fù)雜問題簡單化、學(xué)生的思維可視化。經(jīng)過比較分析，梳理出三版本教材所使用的表征方式的類型及概述如表4。

表4 表征方式的類型

三個版本的教材都運用了圖形表征、符號表征、算式表征和文字表征。其中，北師大版教材用圖形表征貫穿分?jǐn)?shù)除法始終，借助圖形表征，將分?jǐn)?shù)除法的算理直觀形象、清晰明了地呈現(xiàn)出來，適切地將算理和算法融會貫通，在幫助學(xué)生理解算理方面起到了很有效的作用；人教版教材在“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”這一模塊時，只運用了圖形表征，而在“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”這一模塊時，則只運用了符號表征；蘇教版教材的幾個課時，既運用了圖形表征又運用了符號表征。三個版本的教材都注重運用多元表征的方式引領(lǐng)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的含義。

3.積累經(jīng)驗，強調(diào)主體參與感受

設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要途徑。[4]三版本的教材都注重學(xué)生活動經(jīng)驗的積累，通過分一分、畫一畫、涂一涂、寫一寫、算一算等一系列操作活動，引領(lǐng)學(xué)生在親身體驗和感受的過程中，感悟分?jǐn)?shù)除法的含義，打通分?jǐn)?shù)除法算理和算法的內(nèi)在聯(lián)系。

4.滲透思想，促進(jìn)核心素養(yǎng)形成

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步提煉概括。[5]三版本的教材在解決問題模塊都適切地滲透了方程思想；在分?jǐn)?shù)除法含義的理解上都是將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法，滲透了轉(zhuǎn)化思想。另外，人教版教材還借助速度模型思想幫助學(xué)生理解“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的含義。三版本的教材將數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括[4]，有利于促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。

三、教學(xué)建議

通過對三個版本教材在宏觀和微觀兩個方面的比較研究，結(jié)合筆者所在學(xué)校使用的北師大版教材，依據(jù)學(xué)生思維水平和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點，對本單元整體教學(xué)提出以下建議：

1.立足“四大”，貫通知識內(nèi)部聯(lián)系

本單元教學(xué)以“分?jǐn)?shù)除法的含義”這一“大概念”為核心，將本單元的內(nèi)容重新整合，從單元整體教學(xué)的“大格局”出發(fā)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活、能夠融入整個單元的“折紙活動”為“大情境”，以“為什么一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”這一“大問題”為任務(wù)驅(qū)動，打通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系。

2.遵循邏輯，重新設(shè)置課程模塊

以三版本教材的編排情況為出發(fā)點，以學(xué)生思維發(fā)展水平為起點，以兒童學(xué)習(xí)規(guī)律為依據(jù)，以教學(xué)內(nèi)容邏輯層次為原則，本單元教學(xué)重新設(shè)置課時結(jié)構(gòu)，共分為“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”、“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”、“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”以及“用方程解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的問題”4個模塊開展教學(xué)，有利于幫助學(xué)生系統(tǒng)地建立知識體系，實現(xiàn)知識螺旋上升。

3.基于學(xué)情，重構(gòu)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)

實際課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”這一內(nèi)容困難重重，基于此，將這一課進(jìn)一步細(xì)分為整數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位和整數(shù)除以非分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)兩個課時開展教學(xué)，更有利于學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法算理的理解和算法的運用。

4.多元表征，促進(jìn)算理算法融通

三版本教材中都有用到圖形表征、符號表征、算式表征、文字表征等表征方式。圖形表征的直觀性強，貼近學(xué)生思維發(fā)展水平，有利于引領(lǐng)學(xué)生感知算理；抽象的文字表征和簡潔的算式表征與直觀的符號表征結(jié)合在一起，更有利于打通算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解算理，實現(xiàn)算理與算法的融會貫通。

綜上所述，分?jǐn)?shù)除法單元遵循教材內(nèi)容邏輯，從學(xué)情出發(fā)，以大概念為核心，立足大格局，創(chuàng)設(shè)大情境，圍繞大問題，運用多元表征融通算理與算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，重新整合教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建清晰的單元學(xué)習(xí)路徑。