小學數學是什么
——基于小學數學教材視角的回答

胡吉振 金璐瑤 周東明 胡典順

(1.麗水學院教師教育學院，浙江 麗水 323000；2.華中師范大學教育學院，湖北 武漢 430079；3.華中師范大學數學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430079)

一、問題提出

本文是基于小學數學教材的視角，來審視“小學數學是什么”這個問題，并作出回答。不同版本的小學數學課本呈現內容都是花花綠綠、五彩繽紛的兒童生活世界，其實兒童的這個生活世界是一個現象的世界或事實的世界，但是一些小學教師可能被小學數學課本中豐富多彩的現象世界迷惑，忘掉了數學的本質，因此有必要對“小學數學是什么”這個問題進行哲學的反思。只有對“小學數學是什么”這個本質不斷追問，才能對數學有所了解、有所認識，才能更好地從事小學數學教學?！靶W數學是什么”與“什么是小學數學”這是兩個不同的問題。對于后者可以給出很多的答案，例如10+10=20就是小學數學的內容，這種問法要求回答的是小學數學內容的范圍或者說外延，而不是對“小學數學”本質內涵的揭示。但是“小學數學是什么”要回答的內容就要涉及小學數學的本質，就不能對這個問題采用枚舉的方式說“這是小學數學”“那是小學數學”。“小學數學是什么”是一個數學教育哲學問題，對這個問題的回答，就要站在數學教育哲學的視角來審視這個問題。小學數學絕不是純粹或理論形式的數學，而主要是以兒童生活世界為中心展開的數學。數學大師陳省身的“數學好玩”也絕不是小學數學課本一個欄目中的“數學好玩”[1]。小學數學主要產生于人類的童年時期，基本上是人類最初的數學知識，是學生學習現代數學和應用數學最基礎的知識。從數學教育哲學的視角審視“小學數學是什么”對我們從事小學數學教育具有積極的指導意義。從某種程度上講，在理解“小學數學是什么”的基礎上才能更好地從事小學數學教學。就像章建躍所說，理解數學是教好數學的前提。[2]

為了更好地理解或回答“小學數學是什么”，筆者從“數學是什么”這一問題出發(fā)。筆者查閱了相關的資料發(fā)現，講“數學是什么”的參考文獻很多，但是大部分是數學哲學的內容[3]，很少有從小學數學實際出發(fā)針對性具體講“小學數學是什么”的文章，學術參考文獻很少。[4]小學數學似乎沒有達到哲學的高度或者說小學數學沒有哲學思想，其實這種觀點至少是值得商榷的。小學教育哲學在國內早已是比較成熟的一個教育學分支，同樣小學數學也是有數學教育哲學或數學哲學的。就像林夏水所說，有數學就有數學哲學[5]，而且小學數學課程標準與課本或教材都是業(yè)內專家在某種教育理念的指導下精心編寫的，其數學哲學的思想存在性是毋庸置疑的，因此“小學數學是什么”也是一個數學哲學問題。“小學數學是什么”這個問題是“數學是什么”的進一步回答，也就是說首先回答數學是什么，然后再回答小學數學是什么，粗略地講“小學數學是什么”是“數學是什么”的具體化。從系統(tǒng)論的角度來講，也可以說“小學數學是什么”是“數學是什么”這個母系統(tǒng)的子系統(tǒng)。從集合角度來講，“小學數學是什么”這個集合是“數學是什么”這個集合的一個子集。但是對這個問題的回答我們也可以不通過“數學是什么”，而直接說“小學數學是什么”。由于小學數學涉及更多的是生活中的數學問題，因此必須考慮數學與兒童現實生活的密切關系，應該從兒童現實生活與數學的聯系審視小學數學的特點；由于兒童的思維方式正處于形象思維向抽象思維的轉變時期，而且小學數學課本或教材是以形象生動的畫面形式呈現數學知識，而不是抽象難懂，這也說明了大多數“數學是什么”學術文獻的回答未必真實地反映形象直觀、通俗易懂的小學數學教材的真實面貌，這也與抽象思維還不發(fā)達的小學生不相匹配?？傊?，小學數學是離不開現實的兒童生活世界的，甚至沒有從現實生活中脫離出來，這也要求我們審視小學數學時必須從兒童的現實生活視角出發(fā)，從這方面來講，小學數學首先是小學生的生活經驗數學；其次，由于大部分的小學數學知識產生于人類遙遠的古代，這就需要我們回顧歷史，從數學史視角審視“小學數學是什么”；數學作為一種文化，小學數學更是一種文化，我們也可以從文化的視角審視“小學數學是什么”；最后，從審美的角度來看，小學數學處處充滿了“美”，是一門“美”的藝術。

二、小學數學是生活

1.生活體驗獲取數學知識

小學數學是兒童生活的萬花筒，這個萬花筒里面有動物王國的動物，有植物王國的植物，有逛公園買東西的場景，有做游戲填寫數字的樂趣，有猜謎語聽數學家故事的情形，有植樹、廢品回收的時代主題，也有節(jié)能環(huán)保的情境創(chuàng)設，但是這個萬花筒的主線是數學，而且這個生活的萬花筒是用數學串起來的，數學是兒童生活的靈魂。五彩繽紛的現實生活簇擁之下，我們的主人公，社會主義社會未來的建設者小學生出場了。每個數學知識點之下都有著十分豐富的兒童生活背景，把數學知識呈現在兒童生活背景與實踐經驗的活動之中，讓兒童更加親切感受到數學與生活的聯系，感受到數學是如此的親密與平易近人。兒童主要是在課上課下通過親自操作獲取數學知識，可以說是依靠“絕知此事要躬行”的觀念去獲得數學知識的，也可以說是通過“用中學”或“做中學”獲得數學知識的，而且他們獲得的多數是直接知識或直接經驗。由于多數是直接的知識或經驗，所以他們對獲得數學知識是很親切的，體驗很深刻。小學數學是數學與生活的混合物，而不是純粹數學知識。數學教育家張奠宙曾說：小學數學是教育形態(tài)的數學，而不是學術形態(tài)的數學；小學數學是生活化的數學，而不是學術化的數學。小學數學很像中國的古代數學，是生活化的數學，強調數學在現實生活中的應用。小學數學很少把數學研究的基本概念和基本理論從現實生活中完全徹底脫離出來?？梢赃@樣講，小學數學的大多數基本概念和基本理論是在小學生生活之中的數學，沒有脫離兒童現實的生活經驗。兒童的現實生活雖然是五彩斑斕的，但是數學始終是這個五彩斑斕現實生活的主角或靈魂。

小學數學是生活，這一定位說明了小學數學知識或者說小學數學的認識論強調的不僅是可以通過像自然科學一樣實踐的方式獲取數學知識或提高數學能力，也可能通過像哲學詮釋學所提倡的通過體驗的方式來獲取數學知識和提高數學能力。[6]在某種程度上講，前者不再占有主導地位，就像周東明所強調的，對于小學低年級學生來說，他們還不能將主體與客體區(qū)分開來，思考問題時，更相信自己的直觀感覺，相信自己所看到的現實情景[7]，因此后者應該占有主導地位。前者依靠自然科學實踐的方式獲取的數學知識可能是枯燥、冰冷的，但是后者通過內心的參與體驗或感悟的方式獲取的數學知識可以說是火熱的思考，才可能更好地激發(fā)和培養(yǎng)學生對數學的興趣。這種體驗事實上把學生整個身心都融入進去了，不僅是用客觀事實說話，而是用兒童的身心思想精神在言說數學，以此到達我是數學、數學是我的境界。只有這種境界，達到數學與我的統(tǒng)一，才能更好地理解數學、熱愛數學、學習數學。

2.適度數學生活化

數學的生活化是生活理性化的重要標志，這是用數來量化生活，這更是一種理性精神的體現，沒有數學生活化的生活才是模糊的，才是“差不多”的生活，是沒有理性精神的生活。一些學者或著作提到“要像數學家一樣思考問題”[8]，其實數學生活化可以培養(yǎng)學生在現實生活中自覺應用數學的意識和自覺在現實生活中以數學家的思維方式思考現實生活中的問題，這就是數學生活化給生活帶來的巨大積極影響。但是我們要辯證地看待“數學的生活化”問題，數學畢竟不是生活的全部，數學有它自身的本質屬性。就像周東明所說，在正確理解“加強數學教學與生活的聯系”的同時要堅持數學教學的“數學性”，數學教學如果沒有“數學性”，這樣的教學是不可取的。[9]胡典順、趙軍進行了理性反思，也提出數學不能過度生活化的思想。[10]

筆者認為數學適度生活化很有必要，但是應該注意到學生所處的階段，看學習數學主體的具體情況和學習的具體內容而定。小學數學課本中有一些基本的數學概念與原理是不能生活化的。某些數學內容不能生活化的一個原因是數學雖然來源于現實生活，但是現實生活實踐活動是有局限性的，并不是數學的全部來源。例如直線、射線、角等一些涉及無限數學概念的時候就脫離了現實實踐生活，人類的現實生活實踐活動是有限的，有限的實踐活動怎么能夠容納或找到無限的數學概念的生活原型呢？這時候數學生活化就受到局限，需要讓學生展開想像的翅膀，想像無限的觀念。從某種程度上講，數學生活化的程度隨著學習數學知識的深入而逐漸降低。如果說小學數學在一定程度上可以生活化，但是到中學，甚至大學，尤其是數學專業(yè)的數學學習是不能生活化的。越是高深的數學理論越可能與現實生活脫節(jié)，越是遠離現實生活社會，數學的生活化可能越難。小學數學內容在教材的編排上主要是螺旋上升方式，在這種方式之下，如果一個數學概念第一次提出可以生活化，但是當第二次再提出的時候應該是回歸數學抽象的本質，給出數學的概念，但不能過度生活化。兒童的思維正在從形象思維轉向抽象思維的過渡階段，數學的生活化使其更好地理解數學，數學的生活化可以更好地培養(yǎng)學生的形象思維與幾何直觀，但是數學的本質是抽象的、邏輯的，數學本質的回歸有利于兒童抽象思維的培養(yǎng)與提高。如果僅僅是數學生活化，學生的抽象思維不容易形成；反之，如果僅僅回歸數學的本質，數學非生活化，數學形象與直觀的一面沒有展示出來，數學可能不容易理解，數學和藹可親的面容就可能消失，數學就變得枯燥無味。另外，在某種意義上講，數學的生活化雖然在一定程度上可以更好地理解數學，但是數學生活化僅僅是理解數學的一個工具、一個手段或措施或媒介，隨著小學生進入中學乃至大學，這種生活化理解數學的方式可能被淘汰，也就是說通過現實生活找不到理解數學的模型，這個時候學生開始通過想像或者說把以前用生活理解數學的方式給內化為觀念思想來理解數學。應當看到理解與學習數學是多元化的方式，也不僅僅是生活化一種理解方式。數學生活化的具體內涵就應該是數學有其自身的特點，數學的生活化失去的不應該是數學的特點。生活化的過度導致只見“生活”不見“數學”。例如在教學中把數學的抽象性、嚴謹性“生活化掉”了，那還是數學教學嗎？“數學生活化的邊界”雖然可能是模糊的，是一個動態(tài)的概念，但是最重要的一定是不能把數學的本質或特點“生活化掉”！

三、小學數學是歷史

小學數學課本中的數學知識基本上(這個“基本上”是很有必要的，還有一些近現代數學的思想精神向小學數學課本中滲透)是數學史上人類最初的數學知識。小學數學知識基本上是人類初期生產力發(fā)展到一定程度產生的，至少都是一兩千年之前人類在實踐的基礎上獲得的數學知識和近現代數學思想的滲透，古巴比倫和古埃及的數學產生得更久遠一些。從這點來講，小學數學基本上就是人類早期的數學史，就是人類早期的數學成就。但是，就像西方永恒主義教育哲學流派一樣，這些人類早期的數學知識在今天人們的現實日常生活中仍然發(fā)揮著積極的影響，仍然沒有過時，相反成為人類攀登數學科學高峰的最基礎部分，培養(yǎng)數學方面的人才就是要從這些最基本的數學知識出發(fā)。小學數學知識雖然是過去的歷史，但是對今天人類的生活仍然有著積極的影響，發(fā)揮著重要作用，這就彰顯了過去數學知識的今天價值。事實上不僅小學數學是歷史，中學數學、大學數學都是人類的數學史。筆者認為，在數學上可以這樣講，一切當代數學史都是過去史。因為數學理論研究一旦成為定理就變成過去的數學知識，就變成過去的數學歷史。人類的社會發(fā)展是一個逐步的演化過程，但是數學發(fā)展的歷史卻很少重復以前走過的軌跡，而是以創(chuàng)新為主，人類的數學發(fā)展走的是一條永遠向前的不歸路。

從小學數學是歷史的角度來講，中國小學數學課本不僅要含有西方數學史的內容，更為重要的是也應該包含中國數學史的內容。負數的最早發(fā)現、祖沖之對圓周率的貢獻、劉徽的割圓術、《張邱建算經》的“百雞百錢”問題、《孫子算經》中的“物不知數”問題和“雞兔同籠”問題等都是中國小學數學課本上不可缺失的內容。當然由于小學數學的篇章結構基本上呈螺旋上升式，這種結構決定了小學數學課本在敘述中國數學史乃至世界數學史的時候并非完全按照歷史的順序，而是根據實際的講課內容見縫插針地敘述，并且與前后數學內容保持比較密切的相關性。

中小學數學教材在編排上已經把數學史融入進去，充分說明數學史融入教材的現實性。雖然小學數學呈現的是人類很早的數學知識，但是這種人類早期的數學知識包含豐富的人類早期數學乃至哲學思想。例如加法就是人類在漫長的進化過程中看到或經歷了很多把許多東西放在一塊或和在一起的現象，最終就從類似的許許多多現象中抽象出來產生“和”或“合”的思想，當這種思想從現實生活中脫離出來或抽象出來時就形成了數學中的“加法”，隨后人類在實踐的基礎上又產生了加法的快速運算——乘法；人類的辯證思想比較早地在數學中得到充分體現，在數學中有了加法思想的同時，也就是說合或和的思想存在的同時就有了分的思想，分的思想是人類在數學上產生減法或除法的重要淵源?？梢赃@樣講，在人類早期的現實生活實踐活動中，沒有分的思想，就不會產生減法和除法；沒有和的思想，也不會產生加法和乘法，可以看出“加減乘除”就是人類早期的“分”“合”思想及辯證思想在數學中的體現之一。其實分數的產生也是人類分的思想的產物。

小學數學中很少有給數學概念下定義的做法，即使是給數學概念下定義，基本上也是在高年級階段給數學概念一個清晰的形象直觀的描述性定義，例如角的定義、直線和射線的定義等。其實人類最初數學也不像古希臘數學那樣是概念化的，像古埃及數學、古巴比倫數學和中國古代數學最初就不是以概念的形式呈現數學內容，其呈現方式很類似藝術，依靠直觀和感覺，這就像在巴比倫的某些地方留下了很多的正確的數學公式，但是沒有給出證明一樣。[11]這就說明了數學概念化、邏輯化的思想不是古希臘最初的數學，古希臘數學如果再向前追溯的話，最初也應該是沒有給數學概念下定義的數學。從這個意義上講，小學數學課本其實就像這些初期的數學一樣，是很少有概念化的，這表面上是尊重人類數學史，尊重人類原初對數學的認知規(guī)律，但是更為重要的是尊重兒童的認知規(guī)律。給數學概念下“數學化”的定義，是建立公理化體系的需要，最早見于古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》。

四、小學數學是文化

小學數學是文化，因為小學數學知識是人類早期文化的重要組成部分。文化是一個民族走過的蹤跡，一個民族的文化是一個民族走過之后留下來的東西，數學文化也是如此。數學文化的呈現形式是多種多樣的，在世界上不同民族的小學數學文化呈現的方式是不同的，但是幾乎都是以自己本民族文化(主要以文字，而文字是一個民族文化，甚至是文明的重要標志)的形式呈現。小學數學呈現的數學文化主要是人類早期的文化，讓小學生在有限的五六年時間內獲取人類早期幾百年、幾千年甚至上萬年獲取的數學知識。這個難度雖大，但是人類也在進化，實踐也證明了這個目標是可以實現的，這個進化的過程可以把人類早期幾千年甚至上萬年獲得的數學知識縮短成五六年讓小學生完成。英國教育家斯賓塞說：“知識在個人身上的萌生，必然會遵循知識在整體種族中萌生同樣的進程。龐加萊、波利亞、托姆斯也認為“個體發(fā)育是種族發(fā)育的重演”[12]。這是什么意思？就是說單個人的成長其實就是重新走遍以前人類整體發(fā)育的過程。知識就是這樣發(fā)生的，兒童對數學的認識必然遵循數學知識在人類歷史上發(fā)展發(fā)生的順序進行。當回答小學數學是什么的時候，還特別注意的是另一個問題，小學數學的文化性。從中華民族文化的角度來講，“小學數學是什么”應該說成“中國小學數學是什么”，因為中國小學數學課本或教材與西方小學數學課本或教材除了具有共性——蘊含了人類早期的數學知識之外，還有一些是我們本民族文化賦予的內涵，也就是小學數學教材具有文化屬性，具有民族屬性。把一個民族長期積淀的文化——尤其是數學文化也融入進去，至少一點是在中國小學數學課本中使用的語言文字是漢字，而在太平洋彼岸的美國卻是英語，因為文字是一個民族文化的重要標志，如果一個民族沒有了自己的文字，這個民族的文化就無法更好地傳承下去，這就是小學數學教材或課本的文化屬性。中國的七巧板、九連環(huán)、祖沖之與劉徽等數學家在數學上的貢獻都是具有民族文化性的，希臘的小學數學課本上同樣會有畢達哥拉斯、阿基米德、丟番圖等數學家的故事?！靶W數學是什么”其實是帶有文化色彩的。

五、小學數學是藝術

數學來源于生活，小學數學課本是選取與兒童生活密切聯系的一些場景或情節(jié)等為題材，以數學知識為中心展開的論述。而且小學數學課本就是兒童生活的映射，課本中花花綠綠的圖形都是兒童五彩繽紛生活的反映。按照課程標準和教材要求教師同樣需要考慮到兒童熟悉的生活，在教學中同樣秉承小學數學是從兒童生活中來的原則，同樣小學生來學習數學，不是像英國哲學家、教育家洛克所強調“白板說”一樣是空著腦袋進課堂的[13]，而是像建構主義所強調的那樣是裝著自己的生活背景和已有的知識來學習數學，也是從生活中來到課堂，這些都為小學數學就是藝術提供了充分的理由。小學數學課本是以圖畫、文字和數學符號等元素構成，而不是純粹的數學符號，從這個意義上講，小學數學具有人文精神和科學精神，是科學精神與人文精神的融合，甚至是高度融入，這種融合應該說是有點偏向于生活，偏向于人文。小學數學更多的成分像人文學科，它是科學精神與人文精神結合并強調人文精神的數學。當從小學到中學再到大學隨著數學的抽象程度越來越高，數學越遠離生活，數學也越靠近數學的一個本質：抽象性。從這個意義上講，小學數學是最具有人文精神的數學，也是最具有藝術性的數學。說小學數學是最有藝術性的數學，是因為小學數學在某種程度上講是對數學的一種詮釋或解釋，以現實生活中的問題情境為出發(fā)點。不同版本的小學數學教材對相同的數學內容有不同的詮釋，不同的小學生對相同的數學內容也有不同的詮釋，不同的教師對相同的數學內容也有不同的講解方式，這就說明小學數學更像或者說就是哲學詮釋學研究的對象，是屬于人文科學，是一門藝術。從方法論上講，小學數學不僅是西方科學強調的“主客二分”研究的前提或方法，還存在把數學直接置入兒童的生活，是強調“知行合一”的數學，是強調小學生在做中學習數學，是一種主客融合的學習方法。數學做題就是一種心得體驗，就是一種把自己融入做題情境之中的參與狀態(tài)，是伏爾泰強調的體驗數學[14]，是伽達默爾強調的參與數學[15]，是“絕知此事要躬行”的數學，是“行知合一”的數學。小學數學教材是以生活為背景，用生活演繹數學，小學教師講課也是秉承生活的教學，對小學課程標準和教材進行了最大化的詮釋，這個詮釋的過程就是表現的過程。就像藝術家在表現或呈現藝術作品一樣，從這個角度來講，小學數學是藝術。小學生是如何理解數學呢？僅僅是聽教師講課，自己以科學的態(tài)度學習就可以了？不是！小學生仍然像藝術家一樣要表演數學，要操作數學，小學生秉承“絕知數學要躬行”的精神去實踐數學。去做數學是有自己的心得體會的，是有自己的生活情感體驗的，不同的小學生以不同的方式詮釋相同的數學內容，這個詮釋的過程按照哲學詮釋學的觀點就是理解數學的過程。當然詮釋具有多元性，不同的小學生以自己理解的不同方式詮釋數學，而且不同版本的小學數學課本都是很美的，簡直就是唯美主義，小學數學課本也是一種美育思想潤物細無聲地滲透。

當然說小學數學是藝術并不排斥小學數學的科學性。事實上藝術與科學并非矛盾，也就是說人文與科學并不矛盾，人就是科學與人文的融合體。小學數學以藝術的形式展示數學內容更符合兒童的認知規(guī)律，更能使小學生接受數學，甚至對數學產生興趣。

六、結語

筆者也必須承認，小學數學不僅僅是歷史、文化、生活和藝術，小學數學也滲透了一個時代甚至一個民族的政治、社會、經濟等各個領域的思想，揭示了時代發(fā)展對小學生的要求。但是小學數學的歷史、文化、生活和藝術的屬性在筆者看來是比較重要的。小學數學把古代人類的數學思想與現代兒童的社會生活有機而緊密結合起來，實現數學史知識與現實兒童生活的融合，達到民族傳統(tǒng)文化繼承和弘揚的效果?；仡櫲祟愒缙谠跀祵W史上貢獻的同時，為人類今天數學的發(fā)展奠定必要的基礎。小學數學并非讓學生學到很多數學知識，而是點燃學生對數學的興趣、激情、好奇與思考。小學數學課本在編寫上就需要最大程度地開發(fā)兒童的潛能，真正把兒童的智力激發(fā)出來。因此從這個意義上講，小學數學應該是一個火炬，引導小學生勇敢地沿著崎嶇的小道探索兒童生活王國的數學問題，以更好的姿態(tài)走向數學王國。

小學數學是歷史，作為教師需要懂得數學史，要以史為鑒，秉承數學教育家弗賴登塔爾“數學的學習就是再創(chuàng)造”的理念，充分發(fā)揮數學史融入教材的優(yōu)勢；要講好數學家的故事，尤其是要把數學家學習數學的精神、品質很好地融入小學數學課堂，這對學生學習數學興趣的培養(yǎng)與學習數學信心的養(yǎng)成都會產生積極影響；從小學數學是文化的視角來講，要弘揚優(yōu)秀的傳統(tǒng)數學文化，尤其是中國古代數學文化，以此來增強民族文化的自信與文化的自覺；從小學數學是生活的角度來講，在教學中要以兒童的現實生活為背景來進行課堂教學，在教學中也要適度貫穿數學生活化的精神。