巧用“數(shù)形結合”妙解數(shù)學難題

李亞 西藏林芝市第一小學

“數(shù)形結合”思想在整個數(shù)學歷史長河中十分經(jīng)典，從小學生的思維特點來看，學生的邏輯思維與抽象思維還在初步階段，數(shù)形結合的引入不僅符合了學生的學習需求，而且也助力知識難度的降低。數(shù)學是一門抽象性與邏輯性較強的學科，尤其對中高年級的小學生來說，數(shù)學概念、定義與習題的交叉融合亟需借力數(shù)形結合直觀手段。因此，數(shù)學教師應當有意識地引導學生形成良好的“數(shù)形結合”思想，讓學生逐步形成靈活的思想能力，從而高效化解數(shù)學難題。

一、“數(shù)形結合”思想在小學數(shù)學教學中的滲透意義

在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，多數(shù)教師由于受到應試教育的影響常常采用“照本宣科”的“語言灌輸法”，強制性要求學生記憶知識、定理，長期的被動學習導致學生在數(shù)學學習中形成了套用思維，面對新的題型或者問法便會不知所措。究其根本，是因為數(shù)學本質的不清晰?！皵?shù)形結合”巧妙地打破了傳統(tǒng)教學模式的弊端，教師需要改變以往的“語言授講”法，而是要將復雜的數(shù)量關系以形象的圖形展現(xiàn)給學生，由此一來，學生將會清晰掌握知識脈絡，在牢牢把握知識本質的基礎上學會辨別復雜的數(shù)學問題。與此同時，學生遇到條件較多的題目時也可以借助數(shù)形結合的方式梳理條件，以此增強自身的學習能力和發(fā)散性思維。

二、“數(shù)形結合”思想在小學數(shù)學教學中的滲透路徑

（一）數(shù)形結合，明晰概念

“數(shù)形結合”思想是解決數(shù)學問題的重要手段，其將形與數(shù)充分融合，能夠直觀呈現(xiàn)出數(shù)學概念。概念類習題在數(shù)學領域中數(shù)不勝數(shù)，隨著學生年級的增長，學生接觸的數(shù)學概念也越來越多，于是使多數(shù)學生在面對數(shù)學問題時很難準確把握其中蘊藏的概念定義，導致了解題未果。介于此，數(shù)學教師可以利用“數(shù)”與“形”的密切關系將抽象的概念直觀化，以圖形輔助的方式降低習題難度，從而促使學生在愉悅的狀態(tài)下輕松解題。

圖1

（二）數(shù)形結合，理解算理

“計算”是數(shù)學課程領域中的重要分支，那么算理的掌握直接決定了學生的整體學習質量。四年級數(shù)學計算已經(jīng)上升了一個梯度，學生僅僅依靠記憶的算理很難找到解題技巧。因此，教師需要引導學生借助圖形分析題目，化解計算題的算理邏輯，由此梳理出清晰的解題思路，靈活掌握固化的計算方式。

以四年級數(shù)學上冊第4單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》為例：“李叔叔從某城市乘坐火車去往北京用了12個小時，已知火車平均每小時行駛145千米，那么請問某城市到北京有多少千米？”此時，教師可以借助線段圖（見圖2）幫助學生分解題目中的條件，指導學生快速準確地列出算式。直觀形象的習題計算也會瞬間點燃學生的探究興趣，所以教師趁此契機把握學生的注意力與學習興趣引出“估算過渡”。首先，教師引領學生估算“145×12”的大致結果，使學生將145看做150，將12看做10，于是根據(jù)150×10估算出1500；或者教師引導學生只將12看做10，進而估算出145×10=1450。接著，在學生估算完成后，教師再引出“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法”（見圖3），從而有效增進了學生的算理掌握，使學生巧妙化解了難題。將題目中的已知數(shù)據(jù)以線段的形式展現(xiàn)出來，一來具化了抽象的數(shù)字，二來整理了已知和未知的數(shù)據(jù)，能夠更加容易地找到解答方法，這種數(shù)形結合的方式在提高準確率的同時，還減輕了學生的學習壓力。

圖2

圖3

（三）數(shù)形結合，拓展思維

數(shù)學問題中往往存在了一些隱形條件，這些隱藏的數(shù)學規(guī)律往往是學生解題的關鍵。小學中高年級學生的理解能力和辨別能力還有所欠缺，所以學生需要借助數(shù)形結合思想找出題目中的隱藏條件，以此在發(fā)散思維的基礎上尋找恰當?shù)慕忸}思路，從而巧妙化解難題。

以四年級數(shù)學上冊第5單元《平行四邊形和梯形》為例，在學習本節(jié)內(nèi)容之前，學生已經(jīng)學習了有關四邊形的知識，本節(jié)需要學生重點掌握平行四邊形的特點以及平行四邊形與正方形、長方形的關系。教師可以運用集合圖（見圖4）的方式幫助學生理解學過的四邊形之間的關系，使學生在直觀的集合圖中發(fā)散思維，清楚地將四邊形分類，由此有效掌握了平行四邊形和梯形的定義。之后，教師出示問題：“在梯形里畫兩條線段，將它分割成三個三角形，那么你會如何分割？”題目中提到的“畫兩條線段”出現(xiàn)了多種可能性畫法，所以學生可以借助圖形分析出其中的隱藏畫法，從而培養(yǎng)了學生對“數(shù)形結合”的應用意識，并促使學生發(fā)展空間觀念。此處“數(shù)形結合”思想的應用，借助了圖形特有的轉化關系，這是單純的數(shù)字無法體現(xiàn)的，應用數(shù)形結合方式后，學生便能一眼看出各元素所包含范圍的大小及彼此之間的關系，對概念的理解會更加深刻，在學習時也會更具邏輯性，增強學生的邏輯思維。

（四）數(shù)形結合，化繁為簡

借助華羅庚先生的話說：“數(shù)形本是相倚依的，焉能分作兩邊飛?！睌?shù)形結合思想是指抓住數(shù)與形本質上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)量關系與直觀的圖形整合考慮，降低思維難度，所以小學數(shù)學教師可以引導學生借助數(shù)形結合思想將繁雜的問題簡單化，由此幫助學生攻克難點，樹立學習數(shù)學的信心。

以五年級上冊第2單元《位置》為例，教師要認識到“位置”中坐標系的重要價值，引導學生學會將復雜錯亂的數(shù)據(jù)放到坐標系中再去解答。教師出示題目“優(yōu)優(yōu)和樂樂一起玩‘尋寶’游戲，兩人從同一個地點分別出發(fā)，優(yōu)優(yōu)向東偏北30°方向走200米找到第一個寶藏，樂樂向西偏南30°方向走300米找到第二個寶藏，現(xiàn)在，優(yōu)優(yōu)要去到樂樂的位置，與樂樂一起找到第三個寶藏，問優(yōu)優(yōu)要怎么走？”對此，教師可以引導學生畫出位置關系圖（見圖5）。

圖5

繪制出坐標圖形，位置間抽象關系的難度就會降低，學生便可以直觀地看到優(yōu)優(yōu)和樂樂的位置與走向，得出“優(yōu)優(yōu)要向西偏南30°的方向走500米才可以與樂樂匯合?！蓖ㄟ^坐標圖的呈現(xiàn)，學生在既不混亂也不出錯的情況下，直觀推理出第三個寶藏的正確位置，由此有效增強了邏輯推理能力。

結語

“數(shù)形結合”思想在小學數(shù)學中的滲透使概念、習題等數(shù)學內(nèi)容不再沉悶單調(diào)，而以“形”與“數(shù)”的相互轉換使知識更加具有趣味形和直觀性，由此進一步提升了學生的解題能力。學生在學習知識的同時，思維得到拓展，因此，數(shù)學教師在教學中更加應該重視數(shù)學思想的滲透，引導學生逐步養(yǎng)成終身發(fā)展的思想意識，從而為今后的綜合性學習奠定扎實的基礎。