全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何題的極值方法及其引申

楊傳富， 張忠鼎

(1.南京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系,南京 210094； 2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 人工智能學(xué)院,南京 210031)

1 引 言

2021年第十一屆全國決賽(數(shù)學(xué)類高年級(jí)組)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題第二大題如下：

題A考慮單葉雙曲面S∶x2-y2+z2=1.(i)證明：S上同一族直母線中任意兩條不同的直母線是異面直線；(ii)設(shè)S上同一族直母線中的兩條直母線分別經(jīng)過M1(1,1,1)與M2(2,2,1)兩點(diǎn)，求這兩條直母線的公垂線方程以及這兩條直母線之間的距離.

這是一道空間幾何問題，運(yùn)用向量等知識(shí)可以給出該問題求解[1].而本文欲從微分學(xué)中極值觀點(diǎn)將兩直線(曲線)間距離視為兩直線(曲線)上任意兩點(diǎn)距離的最小值來給出本題解法.

2 題A的極值方法

問題等價(jià)于求直母線

(λ1μ2≠λ2μ1)的距離，進(jìn)而判斷其是異面直線等問題.

由S上同一族直母線中的兩條直母線分別經(jīng)過M1(1,1,1)與M2(2,2,1)兩點(diǎn)，可知這兩條直母線方程分別為

即

其參數(shù)方程分別為

L1,1∶x1=1,y1=t+1,z1=t+1,L1,2∶x2=3s+2，y2=5s+2，z2=4s+1.

令P1(x1,y1,z1)∈L1,1與P2(x2,y2,z2)∈L1,2距離為d(s,t)，則

d2(s,t)=(3s+1)2+(5s-t+1)2+(4s-t)2(s,t∈).

下面求二元函數(shù)d(s,t)(s,t∈)的最小值.由

3 極值與空間兩直線位置關(guān)系

事實(shí)上，對(duì)空間兩條直線Γ1與Γ2，用多元函數(shù)極值法求得Γ1與Γ2上任意兩點(diǎn)距離d(s,t)獲取極值的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)N及極值d.針對(duì)(N,d)就可以判斷Γ1與Γ2的位置關(guān)系見圖1.

圖1 (N,d)與線-線位置關(guān)系

例1判斷下列兩直線位置關(guān)系：

解(i)L1上點(diǎn)P1(s,s,s)與L2上點(diǎn)P2(1+t,1+t,t)的距離d(s,t)：

d2(s,t)=2(1+t-s)2+(t-s)2.

由

同樣求得(ii)中問題唯一駐點(diǎn)s0=t0=0, 此時(shí)最小距離d(s,t)|(s0,t0)=0.由圖1知L1與L2相交.(iii)中問題無窮個(gè)駐點(diǎn):t0-s0=-2, 此時(shí)最小距離d(s,t)|(s0,t0)=0, 由圖1知L1與L2重合.

解L1上點(diǎn)P1(-1+s,s,1+2s)與L2上點(diǎn)P2(t,-1+3t,2+4t)的距離d(s,t)：

d2(s,t)=(-1+s-t)2+(1+s-3t)2+(-1+2s-4t)2(s,t∈).

由

解L1上點(diǎn)P1(t,t,0)與L2上點(diǎn)P2(2+4s,1-2s,3-s)的距離d(s,t)：

d2(s,t)=(2+4s-t)2+(1-2s-t)2+(3-s)2.

解問題(i)的求解.L上點(diǎn)P1(t,t,t)與L′上點(diǎn)P2(s,as,b+s)的距離d(s,t)：

d2(s,t)=(t-s)2+(t-as)2+(t-b-s)2.

由

得

例5(第六屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)學(xué)類預(yù)賽試題) 已知空間兩條直線

(i)證明L1和L2異面；(ii)求L1和L2的公垂線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(iii)求連接L1上任一點(diǎn)和L2上任一點(diǎn)線段中點(diǎn)軌跡的一般方程.

解問題(i)與(ii)的求解.L1上點(diǎn)P1(4+s,3-2s,8+s)與L2上點(diǎn)P2(-1+7t,-1-6t,-1+t)的距離d(s,t)：

d2(s,t)=(5+s-7t)2+(4-2s+6t)2+(9+s-t)2.

4 引申: 極值與直線-平面，平面-平面位置關(guān)系等

可以運(yùn)用上面用極值法討論空間直線-直線位置關(guān)系的思想分析直線-平面及平面-平面的位置關(guān)系.

空間直線Γ：x=x1(t),y=y1(t),z=z1(t)，平面π：x=x2(u),y=y2(v),z=z2(u,v).Γ上點(diǎn)P1(x1(t),y1(t),z1(t))與平面π上點(diǎn)P2(x2(u),y2(v),z2(u,v))的距離

d(t,u,v)∶=|P1P2|.

運(yùn)用極值法求得函數(shù)取得極值的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)N及極值d.由(N,d)就可判斷Γ與平面π位置關(guān)系如下:

圖2 (N,d)與線-面位置關(guān)系

同樣面-面位置關(guān)系如下(mes.N表示駐點(diǎn)集在2中測(cè)度)

圖3 (mes.N,d)與面-面位置關(guān)系

5 結(jié) 論

微分學(xué)中最(極)值問題在幾何、物理及實(shí)際問題中具有重要應(yīng)用，本文利用函數(shù)極值方法解決幾何中一些距離及位置關(guān)系等問題.幾何問題中曲線-曲面間的距離實(shí)際上是其上兩點(diǎn)間距離的最(極)小值，因此曲線-曲面間距離的值及相關(guān)量某種程度上反映了曲線-曲面間的位置關(guān)系.本文通過對(duì)具體幾何問題適當(dāng)簡(jiǎn)化、建模，再抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)極值問題，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加以解決[2].本文運(yùn)用極值思想給出一類幾何題的統(tǒng)一方法，并將此方法推廣到空間線-面位置關(guān)系等判斷中,表明極值法求解幾何問題的靈活性、廣泛性及統(tǒng)一性.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見.