正規(guī)矩陣的方程構(gòu)造

方靜雯， 徐陳煒， 曾 立， 魏俊潮

(揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州 225002)

1 引 言

A=ABA,B=BAB,AB=(AB)H,BA=(BA)H，

稱B是A的Moore Penrose逆矩陣,簡稱MP逆矩陣[1].通常用A+表示A的Moore Penrose逆矩陣.(AB)H表示AB共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

矩陣A的群逆矩陣是指存在矩陣A#∈n×n[2], 滿足:

A=AA#A,A#=A#AA#,AA#=A#A.

由文獻(xiàn)[2]知當(dāng)ind(A)≤1,即rank(A)=rank(A2)時,A#是存在且唯一的.

設(shè)A∈n×n,若A是群可逆矩陣且A#=A+,則稱A是range-Hermitian(簡稱EP)矩陣[3].關(guān)于EP矩陣的研究,可參見文獻(xiàn)[3-7].

設(shè)A∈n×n,若AHA=AAH,則稱A是正規(guī)矩陣[4].由文獻(xiàn)[8]知, 當(dāng)A是群可逆矩陣時,A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AHA#=A#AH.有關(guān)正規(guī)矩陣的研究,可參見文獻(xiàn)[9-12],這些工作主要是給出正規(guī)矩陣的性質(zhì)刻畫.受此啟發(fā),本文通過構(gòu)造相應(yīng)的矩陣方程,研究在給定集合中這些矩陣方程有解及一般解的形式表示形式,借此刻畫正規(guī)矩陣.

2 主要結(jié)果

當(dāng)A為正規(guī)矩陣時，

A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(AA#)H=A#A+.

證事實上注意到正規(guī)矩陣是EP矩陣,因此

A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(A#A)H

=A#A+(AA#)H=A#A+(AA+)H=A#A+AA+=A#A+.

受此啟發(fā),給出下面的引理.

引理1設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣,則A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AHA#(A+)H=A+.

證必要性.假設(shè)A為正規(guī)矩陣,則A為EP矩陣,且AHA#=A#AH.于是

AHA#(A+)H=A#AH(A+)H=A#A+A=A+.

充分性.若AHA#(A+)H=A+,右乘AA#,注意到

(A+)HAA#=((A+)HA+A)AA#=(A+)HA+A=(A+)H,

故得A+=A+AA#,從而A為EP矩陣.因此

A#AH=A+AH=AHA#(A+)HAH=AHA#AA+=AHA#,

故A為正規(guī)矩陣.

由引理1可誘導(dǎo)出下面的推論.

推論1設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣，則下列條件等價:

(i)A是正規(guī)矩陣;

(ii)AHA#(A+)#=A#;

(iii)AHA+(A+)H=A+;

(iv)(A+)HA+AH=A+.

注意到A+=A+(A+)HAH,于是A是正規(guī)矩陣時,AHA+(A+)H=A+(A+)HAH.

引理2設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣,則

(i)(A+)#=(AA#)HA(AA#)H;

(ii)(A#)+=A+A3A+.

可構(gòu)造如下矩陣方程:

xA+(A+)H=A+(A+)Hx.

(1)

定理1設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣，則A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)方程(1)在

PA={A,A#,A+,AH,(A+)H,(A#)H,(A#)+,(A+)#},

中至少有一個解.

證必要性.若A是正規(guī)矩陣,則由推論1可知x=AH為一個解.

充分性.① 若x=A為解,則AA+(A+)H=A+(A+)HA,即(A+)H=A+(A+)HA,取共軛轉(zhuǎn)置得AHA+(A+)H=A+,由推論1知A為正規(guī)矩陣;

② 若x=A#為解,則A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,左乘A+A得A#A+(A+)H=A+A#(A+)H,右乘AHA3得A=A+A2,于是A為EP矩陣,故

(A+)H=AA+(A+)H=A2A#A+(A+)H=A2A+(A+)HA#=A(A+)HA#=A(A+)HA+,

從而A+=(A+)HA+AH,由推論1知A為正規(guī)矩陣;

③ 若x=A+為解，則A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,右乘AA+得

A+A+(A+)H=A+A+(A+)HAA+,

由[5，Lemma 2.11]知A+(A+)H=A+(A+)HAA+.左乘AAHA得A=A2A+,于是A為EP矩陣,于是x=A+=A#，由②知，A為正規(guī)矩陣;

④ 若x=AH為解,則AHA+(A+)H=A+(A+)HAH=A+,由推論2知A為正規(guī)矩陣;

⑤ 若x=(A#)H為解,則(A#)HA+(A+)H=A+(A+)H(A#)H,取共軛轉(zhuǎn)置得

A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,

由②知A為正規(guī)矩陣;

⑥ 若x=(A+)H為解，則(A+)HA+(A+)H=A+(A+)H(A+)H,取共軛轉(zhuǎn)置得

A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,

由③知A為正規(guī)矩陣;

⑦ 若x=(A+)#為解，則由引理2得

(AA#)HA(AA#)HA+(A+)H=A+(A+)H(AA#)HA(AA#)H,

即

(AA#)H(A+)H=A+(A+)H(AA#)HA(AA#)H,

右乘AA+得

(AA#)H(A+)H=(AA#)H(A+)HAA+,

左乘AAH得A=A2A+,于是A為EP矩陣，從而x=(A+)#=(A#)#=A，由①知A為正規(guī)矩陣;

⑧ 若x=(A#)+為解,則由引理2知

A+A3A+A+(A+)H=A+(A+)HA+A3A+=A+(A+)HA2A+,

左乘A得A3A+A+(A+)H=(A+)HA2A+,右乘AA#得(A+)HA2A+=(A+)HA,左乘A#AH得AA+=A#A,于是A為EP矩陣,從而x=(A#)+=(A+)+=A,由①知A為正規(guī)矩陣;

現(xiàn)把方程(1)推廣如下

xA+(A+)H=A+(A+)Hy.

(2)

定理2設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣，則方程(2)的一般解由下式給出

(3)

其中P,U,V∈n×n.

證首先

(A+(A+)HP+U-UA+A)A+(A+)H=A+(A+)HPA+(A+)H=A+(A+)H(PA+(A+)H+V-A+AV)，

故公式(3)為方程(2)的解.

x0A+A=x0A+(A+)HAHA=A+(A+)Hy0AHA,

取P=y0AHA,U=x0,則x0=A+(A+)HP+U-UA+A.由于

A+Ay0=AH(A+)Hy0=AHAA+(A+)Hy0=AHAx0A+(A+)H

=AHAx0A+(A+)HA+A=A+Ay0A+A.

取V=y0-PA+(A+)H,則

A+AV=A+Ay0-A+APA+(A+)H=A+Ay0A+A-A+Ay0AHAA+(A+)H

=A+Ay0A+A-A+Ay0A+A=O.

于是

y0=PA+(A+)H+V-A+AV,

故方程(2)的每一個解具有公式(3)的形式，從而方程(2)的一般解由公式(3)給出.

定理3設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)方程(2)的一般解由下列給出

(4)

其中P,U,V∈n×n.

證充分性.由于A為正規(guī)矩陣,故A#=A+，A#AH=AHA#,于是A(A#)H=(A#)HA,從而A#(A#)H=(A#)HA#,故A+(A+)H=(A+)HA+,因此公式(3)與(4)一致，由定理2知，方程(2)的一般解由公式(4)給出.

必要性.由題設(shè)可知

((A+)HA+P+U-UA+A)A+(A+)H=A+(A+)H(PA+(A+)H+V-A+AV),

即

(A+)HA+PA+(A+)H=A+(A+)HPA+(A+)H,

取P=A,則

(A+)HA+(A+)H=A+(A+)H(A+)H,

于是A+(A+)HA+=A+A+(A+)H,右乘AA+得A+A+(A+)H=A+A+(A+)HAA+,由文獻(xiàn)[5，Lemma 2.11]得A+(A+)H=A+(A+)HAA+,左乘A#AHA得A#=A#AA+,從而A為EP矩陣.于是

(A+)HA+=AA+(A+)HA+=AA+A+(A+)H=A+(A+)H,

即(A#)HA#=A#(A#)H,故(A#)HA=A(A#)H,從而A為正規(guī)矩陣.

3 結(jié) 論

本文通過對矩陣廣義逆的分析，建立了幾種形式簡潔矩陣廣義逆方程，并利用所得方程在給定集合中解的存在性，探究解與矩陣EP逆的相關(guān)性；研究所得方程的一般解形式和當(dāng)特殊解發(fā)生變化時相關(guān)矩陣的廣義逆性質(zhì).為矩陣廣義逆提供了諸多新的研究導(dǎo)向.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見.