一道有關(guān)積分中值定理的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的探討

劉鑫旺， 沈 艷

(哈爾濱工程大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150001)

1 引 言

關(guān)于中值定理的證明問題，無(wú)論是借助微分中值定理，還是積分中值定理[1-5]，其輔助函數(shù)或者相關(guān)積分恒等式的構(gòu)造，對(duì)于學(xué)生而言都是較為頭疼的問題.對(duì)于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽而言，近年來(lái)也出現(xiàn)了一些中值定理相關(guān)問題，命題組給出的參考答案雖然構(gòu)造巧妙，但學(xué)生很難想到.學(xué)生面對(duì)類似的問題時(shí)，很難把握答案的精髓和切入點(diǎn)，難以靈活運(yùn)用相應(yīng)的構(gòu)造技巧，無(wú)法做到舉一反三.本文從一道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題引入，給出證明該類問題的一般做法，并對(duì)題目做一定的推廣，體現(xiàn)了大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中傳授數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的重要性[6].

2020年第11屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽(非數(shù)學(xué)類)的第四道試題為

該試題的參考答案如下：

根據(jù)積分中值定理[7]，存在ξ∈(0,1)，使得ξ(1-ξ)[3-f′(ξ)]=0，即f′(ξ)=3.

2 分析與思考

2.1 引言問題的分析

從題設(shè)條件來(lái)看，由于題目已知兩個(gè)定積分值，且要證明的結(jié)論含有導(dǎo)數(shù)，因此整體基調(diào)應(yīng)當(dāng)借助積分中值定理.為了出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)值，首先采用分部積分的辦法，進(jìn)行等價(jià)變形，即

即

(1)

即

(2)

將兩個(gè)含f′(x)的定積分，即式(1)，(2)進(jìn)行線性組合，為具有一般性，有

由積分第一中值定理[8]，若滿足

(i)f′(x)在[0,1]上連續(xù)，

(ii)kx+lx2在[0,1]上不變號(hào)且可積，

則存在ξ∈(0,1)，使得

(3)

這里需要說(shuō)明的是，原始定理內(nèi)容要求ξ∈[0,1]，但借助變上限積分函數(shù)與拉格朗日中值定理，可以證明，這樣的中值可以在ξ∈(0,1)取得.

此時(shí)，若給定一組(k,l)及f(1)的值，即可確定一個(gè)等式關(guān)系，在滿足積分中值定理的條件下，可利用積分中值定理確定一個(gè)中值.然而，本題未給出f(1)的具體值，因此，筆者可以合理猜測(cè)，對(duì)于此題而言，需要確定一組(k,l)，使得式(3)的f(1)消失，因此，本題必有k=-l.

更一般地，當(dāng)kx+lx2在[0,1]內(nèi)不變號(hào)時(shí)，即x(k+lx)在[0,1]內(nèi)不變號(hào)，只需滿足即(k+lx)在[0,1]內(nèi)不變號(hào)，即要求(k+l·0)(k+l·1)≥0，此時(shí)(k,l)的可行域如圖1的陰影區(qū)域所示.

圖1 (k,l)的可行域

由積分中值定理，在可行域內(nèi)，有

(4)

例如，題中若給出f(1)=2021，并令k=2l≠0，則從式(4)可以得到的含中值的導(dǎo)數(shù)值為

反之，若題目給出f(1)的值，以及要證的含中值的導(dǎo)數(shù)值，通過(guò)上面的方法，可以構(gòu)造出一組相應(yīng)的(k,l)值.

2.2 類題的推廣

下面，給出另外一個(gè)例子，來(lái)說(shuō)明實(shí)際命制此類問題時(shí)的過(guò)程.

采用與上例類似的辦法，首先容易得到

因此，有

進(jìn)而，對(duì)于?A,B,C∈，有

為了能夠使用積分第一中值定理，需滿足

(i)f′(x)在[0,1]上連續(xù)，該條顯然，

(ii)x(A+Bx+Cx2)在[0,1]上不變號(hào)且可積，由于其為不超過(guò)三次的多項(xiàng)式，只需證g(x)=Cx2+Bx+A在[0,1]上不變號(hào).

首先，由于題中未給出f(1)的值，因此，需要A+B+C=0，即A=-B-C.

此時(shí)，若同時(shí)滿足g(x)=Cx2+Bx+A在[0,1]內(nèi)不變號(hào)，則由積分中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得

(5)

下面討論g(x)=Cx2+Bx+A在[0,1]內(nèi)不變號(hào)時(shí)，A,B,C應(yīng)滿足的條件：

由A=-B-C，有g(shù)(x)=Cx2+Bx+A=Cx2+Bx-(B+C).

(i)C=0.

此時(shí)，g(x)=B(x-1)為一次函數(shù)，且B≠0.

若不然，則A=B=C=0，將無(wú)法得到一個(gè)確切的含中值的導(dǎo)數(shù)值，因此，本文不考慮這種平凡情況.

(ii)C≠0.

由二次函數(shù)的圖像性質(zhì)可以知道，從二次函數(shù)開口方向、截距、對(duì)稱軸位置等方面考慮，為使g(x)=Cx2+Bx+A在[0,1]上不變號(hào)，有下面四種可能的情況，分別如圖2所示.

圖2 二次函數(shù)的可能形狀

由圖2的圖像可知，有下列不等式成立

即

總之

(6)

因此，當(dāng)t∈(-∞,-2]∪[-1,+∞)時(shí)，使用積分中值定理，由式(5)，存在ξ∈(0,1)，使得

圖3 函數(shù)h(t)的圖像

綜上，由已知條件，可以利用積分中值定理證得的f′(ξ)可能取值范圍為[-24,60].

進(jìn)一步，若題目給定f(1)的值，可通過(guò)上述方法，類似得到可利用積分中值定理證得的f′(ξ)的可能取值范圍，留給讀者思考.

3 結(jié) 論

本文給出了利用待定系數(shù)法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的辦法分別對(duì)不等式、多項(xiàng)式函數(shù)等進(jìn)行可行域、值域等分析，解決一類利用積分第一中值定理證明的含中值的導(dǎo)數(shù)問題，闡明對(duì)這類問題進(jìn)行證明時(shí)的構(gòu)造技巧，并進(jìn)一步討論了通過(guò)添加額外的已知條件，如函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值時(shí)的處理思路.對(duì)于教學(xué)科研一線的教師而言，本文提供了一類問題的命制思路，實(shí)際上可以推廣到含更高階導(dǎo)數(shù)的問題；對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)，或有志于參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生而言，遇到該類問題進(jìn)行解答時(shí)，只需要根據(jù)題目中要證的導(dǎo)數(shù)中值，反推出一組待定系數(shù)，即可完成解答，而無(wú)需進(jìn)行上述的待定系數(shù)可行域的復(fù)雜討論.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.