有關(guān)兩個新穎不等式的進一步推廣

葉 專， 溫志紅

(江蘇師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 徐州 221116)

1 引 言

眾所周知，不等式的證明方法非常之多，比如構(gòu)造法、函數(shù)法、分析法、換元法、反證法、設(shè)序法、凸凹性法、條件極值法等[1-6]，其中，設(shè)序法顧名思義就是將變量重新排序，充分利用排序的順序來證明所需要的不等式.實際上, 利用單調(diào)性是證明不等式的常用方法，構(gòu)造輔助函數(shù)簡單，通常是將不等式兩邊直接做差即可.文獻[1]利用函數(shù)單調(diào)性給出了如下一個新穎不等式:

設(shè)0≤d≤2,xi>0(i=1,2,…,n),則有

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時等號成立.注意, 文獻[1]中指出上述不等式中關(guān)于d的區(qū)間限制0≤d≤2中的上限2是最佳的,不能延拓到比2大的某數(shù)使得上述不等式成立.受文獻[1]的啟發(fā)，文獻[2]中給出了如上結(jié)論的一個對偶形式的結(jié)果: 設(shè)0≤d≤2,xi>0(i=1,2,…,n),則有

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時等號成立.結(jié)合設(shè)序法與函數(shù)法,最近文獻[3]將文獻[2]所需要的限制條件0≤d≤2放寬到d≥0,即證得如下新穎不等式: 設(shè)d≥0,xi>0,(i=1,2,…,n),則有

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時等號成立.

2 主要結(jié)果

如上幾個結(jié)果形式簡單、結(jié)果漂亮、證明簡潔，受此啟發(fā)，本文主要對上述結(jié)果進行進一步的推廣，即得到如下第一個定理.

定理1設(shè)ai>0(i=1,2,…,n)滿足

(1)

則對于任意的xi>0(i=1,2,…,n)，有

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn等號成立.

注 一方面,當(dāng)n=2時, 條件(1)自然成立, 這表明對于n=2不需要限制條件(1).另一方面, 對于n≥3, 當(dāng)條件(1)去掉時, 不等式(2)不再成立.比如考慮n=3的情形，選取

不難驗證a1,a2,a3不滿足條件(1)，同時有

這就表明不等式(2)不再成立.注意到當(dāng)ai=1+(i-1)d(i=1,2,…,n),定理1與文獻[3]的結(jié)果是一致的, 因此定理1是前人結(jié)果的進一步推廣.

對于定理1的對偶形式，給出如下定理.

定理2設(shè)0

(3)

則對于任意的xi>0(i=1,2,…,n)有

(4)

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn等號成立.

注 這里需要指出的是當(dāng)條件(3)去掉時, 不等式(4)不再成立.比如考慮n=2的情形，選取

a1=1,a2=4,x1=10,x2=0.1.

不難驗證a1,a2不滿足條件(3)，同時有

這就表明此時不等式(4)不再成立.注意到當(dāng)ai=1+(i-1)d(i=1,2,…,n),條件(3)變成

n2min{2,1+d}-[2+(n-1)d]n≥0.

直接計算, 從上式可得d應(yīng)滿足0≤d≤2,這與文獻[1]的結(jié)果是一致的, 因此定理2是前人結(jié)果的進一步推廣.

3 定理的證明

(5)

為此，定義一元函數(shù)f

對函數(shù)f求導(dǎo)數(shù)，利用條件(1)可得

這表明f(xkn)在(0,∞)是遞增函數(shù).又xk1≤xk2≤…≤xkn, 從而當(dāng)取xkn=xk1時,有xk1=xk2=…=xkn, 故

綜上所述，不等式(5)成立，也就有不等式(2)成立,定理1證明完畢.

(6)

事實上, 將矩陣

第二行中xkn+1-i與xkn+1-j(i

(aixkn+1-i+ajxkn+1-j)-(aixkn+1-j+ajxkn+1-i)=(ai-aj)(xkn+1-i-xkn+1-j)≤0.

(7)

定義一元函數(shù)g如下

對函數(shù)g求導(dǎo)以及利用定理中的條件可得

這表明g(xkn)在(0,∞)是遞增函數(shù).又xk1≤xk2≤…≤xkn, 從而當(dāng)取xkn=xk1時,有xk1=xk2=…=xkn, 故

綜上所述，不等式(7)成立，也就有定理2的結(jié)論成立.

4 應(yīng) 用

本節(jié)給出上述兩個定理的直接應(yīng)用.

例1設(shè)a1>0,q>0,d≥0, 證明對任意的正整數(shù)n，有

證注意到當(dāng)q=1時, 所需證明的不等式自然成立.為此，只需要證明q>0且q≠1時, 所需證明的不等式成立即可.現(xiàn)在，選取

ai=a1+(i-1)d,xi=x1qi-1,i=1,2,…,n,x1>0.

直接計算可得

這表明條件(1)成立.從而根據(jù)定理1有

(8)

簡單計算可得

將上述兩個估計代入到(8)知

min{x1,x2,…,xn}{(a1-d)(1-q)+d(1-qn)-[a1+(n-1)d](1-q)qn}x1

(9)

注意到當(dāng)q∈(0,1)時, 有min{x1,x2,…,xn}=xn=x1qn-1, 將其代入到(9)可得

(10)

注意到當(dāng)q∈(1,∞)時, 有min{x1,x2,…,xn}=x1, 將其代入到(9)可知

(11)

綜合(10)和(11), 不難驗證

因此, 所需要的結(jié)論成立.

于是根據(jù)定理2有

將上式整理可得

5 結(jié) 論

不同形式的不等式，在理論分析和實際應(yīng)用中都具有重要作用.文中對已有特殊情形的不等式進行推廣，通過對某些參數(shù)加以新的特殊限制條件, 得到了兩個新穎不等式的更一般的推廣結(jié)果，并給出了嚴格的證明和應(yīng)用舉例.對這些不等式進行深入挖掘和多方面思考、逐步深化、循序漸進，有助于培養(yǎng)探索意識和發(fā)現(xiàn)能力, 體會運用聯(lián)系的觀點分析問題, 領(lǐng)會從簡單到復(fù)雜、從表面到本質(zhì)的科學(xué)思維方法.同時, 可以進一步完善和豐富不等式的相關(guān)內(nèi)容.

致謝作者非常感謝相關(guān)參考文獻對本文的啟發(fā)及審稿專家提出的寶貴修改意見.