小題應(yīng)小做 圖形巧助力*

福建省龍巖市高級(jí)中學(xué) (364000)

謝盛富

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的數(shù)學(xué)思想，往往伴隨函數(shù)與方程思想、分類討論思想、特殊與一般思想等，與邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)相交融.通過對圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，本文以高考試題為例，僅從圖形的角度淺談它在高考小題中的巧用巧做，并列舉兩道方法類似的高考試題，以期拋磚引玉.

一、圖形在函數(shù)中的巧用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的主干知識(shí)，也是解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中的重要模型.初高中所學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)、其組合函數(shù)與復(fù)合函數(shù)，與參數(shù)的引入構(gòu)成了豐富多彩的函數(shù)類型，其圖象與基本性質(zhì)相得益彰，圖形凸顯性質(zhì)，性質(zhì)勾勒出圖形，相輔相成，尤其是在解決與抽象函數(shù)有關(guān)問題時(shí)，圖形發(fā)揮出關(guān)鍵作用.

例1 (2020年新高考卷Ⅰ第8題，卷Ⅱ第8題)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( ).

A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]

圖1

分析與解：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及抽象函數(shù)不等式的解法.如圖1，先根據(jù)題設(shè)初步畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，再向右平移1個(gè)單位長度，再結(jié)合xf(x-1)≥0可求得-1≤x≤0或1≤x≤3，故選D.

例2 (2020年北京卷第6題)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是( ).

A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

圖2

分析與解：本題是函數(shù)與不等式的交匯，意圖考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).先由f(x)>0得2x>x+1，轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=x+1的位置關(guān)系問題.如圖2，不等式f(x)>0表示的含義是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象在直線y=x+1的上方，因而可得x<0或x>1，故選D.

點(diǎn)評(píng)：在解題中，通過圖形呈現(xiàn)出函數(shù)的性質(zhì)、關(guān)鍵特征，能迅速求解問題，有事半功倍之效，因此，作出函數(shù)對應(yīng)的大致圖形是解題的關(guān)鍵.與例1類似題有2014年新課標(biāo)卷Ⅱ理科第15題、2017年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第5題，與例2類似題有2019年天津卷文科第8題、2015年北京卷理科第7題.

二、圖形在立體幾何中的巧用

高考對空間立體幾何的考查主要是點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系、常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其表面積與體積、空間角與距離，還有一些動(dòng)態(tài)問題，主要是應(yīng)用傳統(tǒng)幾何方法或建系引入空間向量來求解相關(guān)問題.對于立幾問題，借助它們的幾何特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)用有關(guān)的性質(zhì)定理、判定定理或結(jié)論、計(jì)算公式進(jìn)行求解.

例3 (2021年新高考卷Ⅱ第10題)如下圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn).則滿足MN⊥OP的是( ).

A.

B.

C.

D.

分析與解：對于選項(xiàng)A：平移直線OP至過點(diǎn)N，此時(shí)為正方體的對角線，易知該直線與直線MN斜交，不可能是垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：平移直線OP至該正方體的體對角線位置(前左上方頂點(diǎn)、后右下方頂點(diǎn))，由三垂線定理可知，該直線與直線MN垂直，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：與選項(xiàng)B的情形相同，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：平移直線MN至前面，平移直線OP至左側(cè)面，易知兩直線斜交，不可能垂直，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.綜上，故選BC.

點(diǎn)評(píng)：異面直線所成角的求解方法、有關(guān)的定理知識(shí)等是求解本題的關(guān)鍵.通過平移直線至同一平面內(nèi)，或轉(zhuǎn)化為具有明顯的幾何特征來準(zhǔn)確判斷兩直線的位置關(guān)系.類似題有2017年新課標(biāo)卷Ⅰ文科第6題、2017年新課標(biāo)卷Ⅲ文科第10題.

例4 (2020年新高考卷Ⅱ第13題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-NMD1的體積為.

圖3

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直接求幾何體的體積比較困難，或遇到動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，往往進(jìn)行置換頂點(diǎn)(或底面)，或等體積(或面積)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探尋比較容易求解的幾何模型.類似題有2015年四川卷文科第14題、2012年山東卷理科第14題.

三、圖形在解析幾何中的巧用

解析幾何主要包括直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線，高考重點(diǎn)考查它們的幾何性質(zhì)和位置關(guān)系，定義是它們的“根”，妙用平幾知識(shí)也是破解小題的慣用手段，在解題中能巧妙求解問題，達(dá)到小題小做、巧做的目的.

例5 (2012年安徽卷文科第9題)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

A.[-3,-1] B.[-1,3]

C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

圖4

分析與解：如圖4，在直角坐標(biāo)系中畫出直線和圓的大致位置，發(fā)現(xiàn)圓心(a,0)在x軸上運(yùn)動(dòng).

(視角1：定性分析)根據(jù)圖形，顯然知道直線與圓相切是臨界情形，且均相切時(shí)，在x軸正半軸的圓心離原點(diǎn)距離比在x軸負(fù)半軸的圓心離原點(diǎn)距離更近，因此根據(jù)選項(xiàng)特征，故選C.

(視角2：定量分析)因已知直線的傾斜角為45°，由等腰直角三角形易知直線與圓相切時(shí)，圓心(a,0)與點(diǎn)(-1,0)的距離是2，所以a=-3或a=1，故選C.

點(diǎn)評(píng)：畫出直線與圓在直角坐標(biāo)系中的大致位置，結(jié)合幾何特征判斷圓在一定范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)的情況，通過定性分析或定量分析可得到正確選項(xiàng).類似題有2012年重慶卷理科第3題、2012年陜西卷理科第4題(文科第6題).

圖5

點(diǎn)評(píng)：本題抓住|PQ|=|F1F2|，利用平幾知識(shí)判斷出點(diǎn)P，Q與點(diǎn)F1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的相交問題，再借助焦三角形的二級(jí)結(jié)論求解.類似題有2021年新高考卷Ⅰ第14題、2020年新課標(biāo)卷Ⅰ文科第11題.

四、圖形在概率與統(tǒng)計(jì)中的巧用

幾何概型、正態(tài)分布、古典概型等都有對應(yīng)的圖形或樹狀圖，直方圖、葉莖圖和散點(diǎn)圖等本身就是圖形.這些圖形有其自身特有的幾何特征，在解題中充分借助特征有助于求解相關(guān)問題.

例7 (2021年新高考卷Ⅱ第6題)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2)，下列結(jié)論中不正確的是( ).

A.σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

圖6

分析與解：如圖6，對于選項(xiàng)A：σ為數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，σ越小，數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中，所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在(9.9,10)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.綜上，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題破解之道就是利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求解，通過作出大致圖象即可解決問題.類似題有2015年山東卷理科第8題、2011年湖北卷理科第5題.

圖7

點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃知識(shí)與幾何概型相結(jié)合，體現(xiàn)知識(shí)的交匯性，通過簡單地作出圖象能夠迅速得出它們的面積之比.類似題有2016年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第4題、2015年湖北卷理科第7題.

五、圖形在平面向量中的巧用

平面向量既有大小又有方向，具有“數(shù)”和“形”的天然特征，是一座有效溝通各知識(shí)模塊的“優(yōu)質(zhì)”橋梁，在解決很多數(shù)學(xué)問題時(shí)，可借助平面向量巧妙求解，讓人耳目一新，豁然開朗.

圖8

點(diǎn)評(píng)：三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運(yùn)算的重要依據(jù)，命題者往往會(huì)結(jié)合等分點(diǎn)或角平分線等進(jìn)行考查，此時(shí)，善用平幾知識(shí)，結(jié)合圖形能迅速求解問題.類似題有2018年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第6題(文科第7題)、2015年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第7題.

A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)

圖9

圖形具有優(yōu)美性、對稱性、和諧性與獨(dú)特性，可以直觀地將問題呈現(xiàn)出來，有助于解決問題，但不一定能完全展示出本質(zhì)特征.數(shù)學(xué)家華羅庚曾精辟論述“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”、“以形助數(shù)”、“以數(shù)助形”.數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，圖形的形狀、大小及位置的判斷，需要數(shù)量來彌補(bǔ)，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表達(dá)，因此充分利用圖形和具體的數(shù)量關(guān)系等求解數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的熱情，從心理上認(rèn)同、走進(jìn)數(shù)學(xué)，不會(huì)害怕數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性，往往會(huì)有“柳暗花明又一村”的完美境界，體驗(yàn)解題成功的喜悅感和成就感.