以題促教 以法增效
——微專題“讓復合函數(shù)的零點問題不再煩惱”的教學設計

?浙江省寧波市北侖明港高級中學

郭利芳

1 微專題的認識

依托主題明確、針對性極強的“微專題”進行高三復習，可以促進學生深度學習，有利于學生獲得清晰的數(shù)學知識網(wǎng)絡、系統(tǒng)的數(shù)學研究方法，加深對數(shù)學知識的理解，提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，也符合新課標中以生為本和可持續(xù)發(fā)展的教學理念.

2 教學內(nèi)容背景

零點問題是高考的一個熱點問題，而復合函數(shù)的零點亦是一個難點.它涉及內(nèi)外兩層函數(shù)，問題的解決往往涵蓋數(shù)形結合、分類討論、轉化化歸等數(shù)學思想，所以，復合函數(shù)的零點問題具有關系復雜、綜合性強、難度大等特點，對學生的思維能力、運算能力和分析能力都有較高的要求.本節(jié)課的主要教學思路是以方法為主、附以知識的應用和能力的培養(yǎng)，通過例題的稚化、回歸、變式、拓展四個維度，在數(shù)學思想的滲透中歸納此類問題的常用解題策略，提升教學效果，實現(xiàn)以題促教、以法增效的目的.

3 教學案例設計

環(huán)節(jié)一：典例展現(xiàn).

A.3B.4C.5D.6

設計意圖：學生此題得分率較低，對他們來說是一個難點，而零點又是高考熱點，因此，展開復合函數(shù)的零點個數(shù)問題的教學，符合學情和考情，即符合微專題的設計理念.

環(huán)節(jié)二：溫故知新.

(1)零點定義：對于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.

(2)關系：函數(shù)y=f(x)有零點?方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點.

(3)復合函數(shù)y=f(g(x))常見解題策略：由內(nèi)到外、由外到內(nèi)，均體現(xiàn)著內(nèi)層函數(shù)的整體性.

設計意圖：以問題帶動知識的回憶，在知識的回顧過程中整理問題的常用解法，充分調(diào)動學生參與課堂的積極性.

環(huán)節(jié)三：抽絲剝繭.

(1)稚化例題.

已知奇函數(shù)f(x)、偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖1、圖2所示，若方程f(g(x))=0，g(f(x))=0的實根個數(shù)分別為a，b，則a+b=______.

圖1 圖2

設計意圖：先從簡單問題出發(fā)，一來讓學生感受此類問題通過數(shù)形結合的方法定性判斷零點個數(shù)，相比代數(shù)法計算出零點值要簡單便捷；二來利用此題“以形助數(shù)”的方法，促進學生對數(shù)形結合的理解；三來促進學生加深理解函數(shù)與方程之間的關系.

(2)回歸例題.

A.3B.4C.5D.6

解：令2x2+x=t，作出外層函數(shù)y=f(t)的圖象，定性判斷外層函數(shù)的零點情況；再作出內(nèi)層函數(shù)，觀察內(nèi)層函數(shù)2x2+x=t的圖象，定性判斷內(nèi)層函數(shù)零點情況.

故選答案：A.

設計意圖：在稚化引例的基礎上，學生對復合函數(shù)的零點問題已有方向，在解決復雜的引例時找回自信，并能根據(jù)函數(shù)圖象自然想到分類討論標準，進而在數(shù)形結合思想的指引下成功解決問題.整個過程較好地培養(yǎng)了學生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

(3)例題變式.

設計意圖：通過變式的設計，不僅培養(yǎng)學生的逆向思維，也強化了學生利用數(shù)形結合解決復合函數(shù)零點問題的方法，較好地提升了學生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)四：歸納提煉.

通過對例題的“抽絲剝繭”，引導學生歸納總結求解復合函數(shù)y=f(g(x))零點問題的技巧.

設計意圖：通過學生合作交流、歸納總結、梳理通法，掌握用數(shù)形結合的方法處理復合函數(shù)的零點個數(shù)問題，加深函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論與轉化化歸思想的理解和應用，培養(yǎng)數(shù)學抽象的能力.

環(huán)節(jié)五：直擊熱點.

(1)設函數(shù)f(x)=x2-x-1，若方程f(f(x))=t恰有三個實根，則實數(shù)t=______.

(3)已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|，若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有7個不相同的實根，則實數(shù)b的取值范圍是______.

設計意圖：鞏固知識，理解函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論、轉化化歸等數(shù)學思想，提升學生綜合運用數(shù)學知識的能力.

環(huán)節(jié)六：歸納總結.

研究一個問題——利用圖象解決復合函數(shù)的零點個數(shù)問題；

得出兩個步驟——內(nèi)外兼修；

運用三個數(shù)學思想——數(shù)形結合、轉化化歸、分類討論；

提升四個素養(yǎng)——邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學抽象.

設計意圖：挖掘出本質，提煉出主線，總結出一定的數(shù)學思想和方法，以期達到見微知著、以小見大、舉一反三和培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.

4 教學反思總結

本節(jié)課主要通過典型的復合函數(shù)零點題目展開，在抽絲剝繭中提煉出解決該類問題的通性通法，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)，實現(xiàn)以題促教、以法增效的目的.因此筆者認為，微專題復習教學不應只是簡單地對同類型的題目進行堆砌，這樣只會增加學生的挫敗感，而應挖掘出本質，提煉出主線，總結出數(shù)學思想和方法，以期達到見微知著、以小見大、觸類旁通和培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的，讓學生在事半功倍中快樂學習數(shù)學！