可調數(shù)目吸引子共存的混沌系統(tǒng)及同步控制

顏閩秀，謝俊紅

(沈陽化工大學 a.信息工程學院； b. 工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術遼寧省高校重點實驗室，沈陽 110142)

0 引言

混沌系統(tǒng)是隨時間不可預測的系統(tǒng)，對初始條件和參數(shù)的變化具有極端的敏感性?；煦缬糜谠S多非線性科學領域，如信息處理、安全通信等[1-2]。最近幾年，一些非線性混沌動力系統(tǒng)的研究成為熱點。如Hyperjerk系統(tǒng)、多穩(wěn)態(tài)、共存吸引子混沌系統(tǒng)等[3-5]。這些混沌系統(tǒng)可以分為兩個主要類別：一是具有自我激發(fā)吸引子的系統(tǒng)類別；二是具有隱藏吸引子的系統(tǒng)類別。值得注意的是，有自我激發(fā)吸引子和隱藏吸引子兩者都存在的系統(tǒng)。如何生成混沌系統(tǒng)是個有趣的方向。

一種是在簡單的數(shù)學模型中發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)中的混沌，最具有代表性的是SprootB構造了含有五項式和兩個非線性項以及六項式和一個非線性項的混沌系統(tǒng)[6]。另一種方法構造具有特殊奇異吸引子的混沌系統(tǒng)，如多渦卷吸引子、多翼吸引子等[7-8]。平衡點的個數(shù)在一定程度上決定了動力學性質。一般認為，沒有平衡點的混沌系統(tǒng)能夠產生隱藏吸引子。大量的研究表明，具有多個不穩(wěn)定平衡點的混沌系統(tǒng)往往具有更豐富的動力學行為且更容易產生吸引子的共存。因此許多學者傾向于構造混沌系統(tǒng)，并通過平衡點的類型來區(qū)分動力學特性，如鞍點、不穩(wěn)定焦點和其他類型平衡點的混沌系統(tǒng)[9-11]。

近期，混沌系統(tǒng)中吸引子的共存引起了學者們的廣泛關注。Li等[12-13]通過數(shù)值實驗研究了Lorenz混沌系統(tǒng)中的吸引子的共存，并提出了產生共存吸引的方法。Kengne等[14]提出了Jerk系統(tǒng)中吸引子的共存。Bao等[15-16]發(fā)現(xiàn)，基于憶阻器的混沌系統(tǒng)可以產生不同類型的共存吸引子。Li等[17-18]深入研究了基于憶阻器的混沌系統(tǒng)中的共存吸引子，并考慮將其應用在圖像加密中?；谝陨涎芯?，不難發(fā)現(xiàn)，較傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)，具有吸引子共存的混沌系統(tǒng)動態(tài)行為更加復雜，應用在同步通信中具有較好的潛力。因此，提出具有吸引子共存的混沌系統(tǒng)是有意義的。從建立具有簡單系統(tǒng)和復雜行為的角度出發(fā)，提出了一個具有無限多吸引子共存的混沌系統(tǒng)，且將雙曲正切函數(shù)加入該系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)的動態(tài)特性進行了必要的理論和實驗研究。研究表明該系統(tǒng)所產生的吸引子共存具有可調性，理論研究上能夠產生無限多的吸引子共存。此外，將主動反推全局同步控制的方法應用在該系統(tǒng)中。該主動控制方法是以嚴格反饋設計的形式實現(xiàn)控制系統(tǒng)平衡點鎮(zhèn)定的遞推過程，反推同步控制方法廣泛應用于非線性系統(tǒng)的控制中[19-20]。進一步，設計了反饋控制律，然后對反饋控制律進行修正，進而設計出真正的控制器，實現(xiàn)了系統(tǒng)的全局同步控制。

1 系統(tǒng)模型

建立系統(tǒng)模型為

(1)

其中，x1,x2,x3為狀態(tài)變量，a,b為系統(tǒng)常數(shù)，當a=-1.5,b=15,c=2,d=0.5時，系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng)。在仿真中，將初值取為(0.1，0.1，0.1)，圖1展現(xiàn)了系統(tǒng)(1)的吸引子。

圖1 系統(tǒng)(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of system (1)

當參數(shù)a=-1.5,b=15,c=2,d=0.5時，計算出系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)為

L1=0.15,L2=0,L3=-1.17

(2)

通過式(2)可看出，最大李雅普諾夫指數(shù)為L1=0.15且指數(shù)之和總是為負數(shù)。

計算李雅普諾夫維數(shù)得到

(3)

其中,j滿足最大整數(shù)為

(4)

根據(jù)式(2)和式(3)看出，李雅普諾夫指數(shù)為(+,0,-)且維數(shù)為分數(shù)維，符合混沌系統(tǒng)的基本性質。

為了再次驗證系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng)，選取a作為控制參數(shù)，通過MATLAB繪制其分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)圖，如圖2所示。

圖2展現(xiàn)了系統(tǒng)(1)在a∈[-3,-1]區(qū)間的分岔圖及李雅普諾夫指數(shù)譜。圖2a分岔圖表明系統(tǒng)(1)在a∈[-3,-1]區(qū)間內系統(tǒng)由周期運動進入混沌運動。當a=-1.5時，圖2a的分岔圖中有成片的密集點且相對應的圖2b的李雅普諾夫指數(shù)為(+,0,-)，再次說明了系統(tǒng)(1)是混沌的。

系統(tǒng)復雜度的特性是應用在通信領域中的重要理論基礎，為了驗證該混沌系統(tǒng)的復雜行為，以譜熵(SE)為例，SE采用傅式變換并與Shannon熵進行結合得到SE的值，具體算法如下所示。

步驟1去直流。偽隨機序列的長度為N，利用式(5)除掉其中直流部分，能量的信號能夠被頻譜更加精確地表現(xiàn)。

(5)

步驟2對x(n)進行離散傅式轉換。

(6)

其中，k=0,1,2,…,N-1。

步驟3計算相對功率譜，依據(jù)式(6)中的X(k)序列前半部分，根據(jù)Paserval定理，計算某個特定的頻率點功率譜。

(7)

其中，k=0,1,2,…,N/2-1

序列的總功率

(8)

那么，相對功率譜概率

(9)

步驟4根據(jù)式(7)、(8)和(9)，并與Shannon熵進行結合，計算信號的譜熵

(10)

若PK=0，則PKlnPK=0，se的大小將在ln(N/2)處收斂，為了便于分析se，將其進行歸一化處理

(11)

可見，若序列的振幅不明顯，則說明結構簡單，那么，所得到的譜熵值也就越小，相應地，復雜度也就越小，否則，復雜度就越大。

根據(jù)上述SE算法，對系統(tǒng)(1)進行了計算，并于圖3展示了SE的計算結果。

圖3展示了系統(tǒng)(1)在a∈[-3,-1]區(qū)間譜熵的復雜度，譜熵的最大測量值接近于0.7且振幅較為明顯，因此，復雜度相對較高。一般地，譜熵的復雜度有明顯下降時，系統(tǒng)為周期態(tài)，反之，系統(tǒng)為混沌態(tài)，該仿真實驗結果與圖2基本一致。

圖2 系統(tǒng)的動態(tài)特性Fig.2 Dynamic characteristics of the system

圖3 SE復雜度Fig.3 SE complexity

2 可調數(shù)目的吸引子共存

基于系統(tǒng)(1)，為了使具有可調數(shù)目的吸引子共存，考慮建立雙曲正切函數(shù)的序列用于生成具有無限吸引子共存的混沌系統(tǒng)，建立函數(shù)

(12)

其中，n為非負整數(shù)，參數(shù)λ可調節(jié)，此時取λ=100?？煽闯?，隨著n增大，函數(shù)θi(xi)的零點得到擴展。利用θ1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1，那么在特定參數(shù)下，得到的新系統(tǒng)將會沿x1的方向產生共存吸引子。

首先，考慮沿x1軸的方向產生共存的吸引子，利用θ1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1，得到系統(tǒng)

(13)

系統(tǒng)(1)將會沿x1的方向產生混沌吸引子的共存，如圖4所示，分別給出了n=0,1時的系統(tǒng)(1)的吸引子共存。

圖4a和b分別展示了n=0和n=1時的混沌共存吸引子，其中，圖4a中的混沌共存吸引子對應的初值為(2i-3,0.1,-0.1)，其中i=1,2，圖4b中的混沌共存吸引子對應的初值為(2i-5,0.1,-0.1)，其中i=1,2,3,4。這些混沌吸引子的共存形狀相似，但是軌跡并不相同。若繼續(xù)增大n，系統(tǒng)將會沿x1軸方向產生更多的混沌吸引子共存。

圖4 混沌吸引子共存 Fig.4 Coexistence of chaotic attractors

其次，考慮用H2(x2)取代系統(tǒng)(13)中等式右邊的x2，得到系統(tǒng)(14)

(14)

系統(tǒng)(14)將會沿x1和x2軸方向產生共存的混沌吸引子，圖5分別給出了參數(shù)n=0,1時的吸引子。

圖5 x1和x2軸上的吸引子共存 Fig.5 Coexistence of attractors on x1 and x2 axes

圖5a和b分別展示了2×2,4×4的吸引子，這些吸引子對應的初始條件分別為(2i1-3,2j1-3,-0.1),(2i2-5,2j2-5,-0.1)，其中，i1,j1=1,2，i2,j2=1,2,3,4。

最后，考慮用H3(x3)取代系統(tǒng)(14)中等式右邊的x3，得到系統(tǒng)(15)：

(15)

系統(tǒng)(15)將會沿x1、x2和x3軸方向產生共存的混沌吸引子，圖6分別給出了當n=0,1時的系統(tǒng)(15)的吸引子。

圖6a和b分別展示了2×2×2,4×4×4的吸引子，它們所對應的初始值分別為(2i1-3,2j1-3,2k1-2.8),(2i2-5,2j2-5,2k2-4.8)，其中，i1,j1,k1=1,2，i2,j2,k2=1,2,3,4。

圖6 x1、x2和x3軸方向上的吸引子共存Fig.6 Coexistence of attractors on x1,x2 and x3axes

通過上述研究表明，系統(tǒng)(1)在函數(shù)(12)的作用下，通過調整n可以改變吸引子共存的生成個數(shù)。通常，若沿r個方向來產生吸引子的共存，系統(tǒng)(13)(14)(15)生成的吸引子共存?zhèn)€數(shù)至少為Nr=(2n+2)r,r=1,2,3。當n→∞,Nr→∞時，即吸引子共存?zhèn)€數(shù)趨近于無限多個。

3 混沌系統(tǒng)的主動反推全局同步控制

反推控制的設計方法是針對不確定系統(tǒng)的一種系統(tǒng)化的控制器綜合方法，它能夠應用在線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)中。特別地，應用在非線性復雜系統(tǒng)中時，它能使在線計算時間的目的減少，同時，通過設計反推使得V函數(shù)和控制器的設計過程系統(tǒng)化及結構化。

這里，基于含有雙曲正切函數(shù)的系統(tǒng)(14)，采用主動反推同步控制的方法用于實現(xiàn)非線性復雜系統(tǒng)的同步控制。

選取系統(tǒng)(14)為驅動系統(tǒng)，如式(16)：

(16)

其中，x1,x2,x3為狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)的參數(shù)。

相應的響應系統(tǒng)如式(17)：

(17)

其中，yi為狀態(tài)變量，ui是反饋控制律，i=1,2,3。

系統(tǒng)(16)和系統(tǒng)(17)之間的同步誤差定義為

(18)

同步誤差系統(tǒng)為

(19)

考慮設計反饋制律為

(20)

將式(20)代入式(19)，誤差系統(tǒng)簡化為

(21)

選取李雅普諾夫函數(shù)為

(22)

其中，

θ1=e1

(23)

對式(22)進行求導得到

(24)

其中，令：

θ2=e1+e2

(25)

簡化式(24)為

(26)

接下來，選取李雅普諾夫函數(shù)為

(27)

進行求導得到

(28)

同理，

(29)

經過反推得到

(30)

令n=-3e1-5e2-3e3-kθ3，得到

N=-kθ3

(31)

將式(30)代入式(29)得到

(32)

其中，它在R6上是半正定和二次的函數(shù)。

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知， 當t→∞時，全部的ei(0)∈R,(i=1,2,3),誤差系統(tǒng)ei(t)→0,(i=1,2,3)。誤差系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，驅動與響應系統(tǒng)實現(xiàn)全局同步。

最后，將反饋控制律更新為

(33)

圖7 系統(tǒng)(16)和(17)誤差同步Fig.7 Error synchronization of system (16) and (17)

其中，k為控制增益，k>0，控制增益k取值越大，同步誤差收斂于零的速度越快，所需要的時間就越短。如圖7所示，系統(tǒng)(16)和(17)實現(xiàn)誤差同步。

數(shù)值仿真實驗時，選擇參數(shù)(a,b,c,d)=(1.5,15,2,0.5)，控制增益k=20，初值驅動系統(tǒng)X(0)=(0.1,0.1,0.1)和響應初值Y(0)=(5.8,-4.9,-1)。

圖7表明誤差同步在較短的時間內收斂于零。數(shù)值分析和實驗結果一致。驗證了該方法的有效性。

4 結論和展望

本文提出了一種模型較為簡單的混沌系統(tǒng)。描述了該系統(tǒng)的基本特性，為能夠生成混沌吸引子提供了基礎。進一步地，將雙曲正切函數(shù)加入該系統(tǒng)，使得該系統(tǒng)能夠產生無限多吸引子共存且吸引子的個數(shù)具有可調性。理論研究表明該系統(tǒng)能夠生成無限多個吸引子的共存，為生成無限多吸引子共存的混沌系統(tǒng)提供了理論依據(jù)。此外，在含有雙曲正切函數(shù)系統(tǒng)的基礎上設計了反饋控制律及系統(tǒng)的控制器，實現(xiàn)了系統(tǒng)的全局同步控制。理論研究和數(shù)值模擬仿真驗證了主要研究結果。該系統(tǒng)具有無限多個可調數(shù)目的吸引子共存，與傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)相比其動力學行為更復雜。下一步計劃將其應用在安全通信中。