點(diǎn)子圖：讓計(jì)算學(xué)習(xí)既知“書”又達(dá)“理”
——以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”的教學(xué)為例

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校（215000）馮剛

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算既是兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算內(nèi)容的后續(xù)知識，又是三位數(shù)乘兩位數(shù)的前置知識，在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中起著承上啟下的作用。在三年級上學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”的前一課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算。教材這樣編排，意圖非常明晰，即教學(xué)時應(yīng)基于學(xué)生的已有認(rèn)知，將本課內(nèi)容與先前所學(xué)的兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算相關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生在同化與順應(yīng)中實(shí)現(xiàn)知識的自我建構(gòu)。

然而，由于學(xué)生尚未學(xué)習(xí)乘法分配律和乘法結(jié)合律，因此將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)及兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的計(jì)算，對學(xué)生來說就顯得抽象且難于理解，將口算與列豎式筆算環(huán)節(jié)建立聯(lián)系更是困難重重。為此，多數(shù)學(xué)生僅了解豎式的“形”而并未理解豎式的“實(shí)”，對兩位數(shù)乘兩位數(shù)僅僅是知“書”——知道其書寫格式和規(guī)范，而并未達(dá)“理”——理解運(yùn)算背后的算理。如何使得這個轉(zhuǎn)化過程顯得直觀且易于理解，并為后續(xù)豎式模型的建構(gòu)提供支撐，讓學(xué)生從機(jī)械記憶層面過渡到理解學(xué)習(xí)層面，實(shí)現(xiàn)既知“書”又達(dá)“理”，是本課教學(xué)亟須解決的問題。

筆者在查閱眾多版本教材后發(fā)現(xiàn)，人教版教材和北師大版教材均采用了點(diǎn)子圖這一直觀模型，提倡通過直觀的點(diǎn)子圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和探索。為此，在教學(xué)中，筆者借助點(diǎn)子圖這一直觀模型引導(dǎo)學(xué)生在自主探索與合作交流中理解口算拆分方法及豎式計(jì)算方法的合理性，以促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)口算拆分方法與豎式算理上的一致性，進(jìn)而在理解算理的基礎(chǔ)上建構(gòu)豎式模型，實(shí)現(xiàn)既知“書”又達(dá)“理”。

一、抽象點(diǎn)子圖，理解圖示本質(zhì)

點(diǎn)子圖是學(xué)生探究多樣化算法的直觀圖示，有利于學(xué)生理解算理，可謂是實(shí)現(xiàn)知“書”達(dá)“理”的一劑良藥。然而，這樣一劑良藥是否真能做到“藥到病除”，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)抽象算理的直觀化，仍有待實(shí)踐驗(yàn)證。為此，筆者對學(xué)生進(jìn)行了前測調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這劑良藥的效果并不理想：陌生且抽象的點(diǎn)子圖并不受學(xué)生歡迎，學(xué)生也未能在點(diǎn)子圖、算理與算法間建立聯(lián)系。究其原因，是點(diǎn)子圖脫離了學(xué)生的實(shí)際生活，抽象且難以理解。對此，筆者從學(xué)生熟悉的隊(duì)列方陣中抽象出點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷點(diǎn)子圖的形成過程，以便學(xué)生理解與應(yīng)用點(diǎn)子圖。

【教學(xué)片段1】

師：三年級是人生一個重要的階段，而三年級的小朋友正好是十歲，學(xué)校要為小朋友們舉行一場成長禮。其中有一個節(jié)目，需要小朋友排成一個方陣來進(jìn)行啦啦操表演。

師（出示方陣圖，圖略）：觀察方陣圖，你們能告訴我該怎么列隊(duì)嗎？

生1：人太多，隊(duì)伍很擠，通過現(xiàn)在的方陣圖數(shù)不清楚每排有幾個人。

師：數(shù)學(xué)講究的是簡潔清楚。有沒有什么辦法既能讓大家看清人數(shù)，又不改變方陣的形狀？

生2：可以用一個圓點(diǎn)代替一個人。

師：就聽你的！

師（出示點(diǎn)子圖，如圖1）：從點(diǎn)子圖中你看出了哪些數(shù)學(xué)信息？

圖1

生3：每排有14人，另一邊每排有12人。

師：也就是說每行有14人，有這樣的幾行？

生4：12行。

師：誰能完整地說一遍？

生5：每行有14人，有12行。

師：根據(jù)這些信息，誰來提一個數(shù)學(xué)問題？

10歲成長禮是學(xué)生人生中的重要儀式，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，易于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在真實(shí)的方陣圖中，密密麻麻的人群分布不易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)人員的排列規(guī)律。由此，學(xué)生自然而然產(chǎn)生簡化的想法?；谶@樣的真實(shí)需求，筆者巧妙地將真實(shí)的方陣圖抽象為點(diǎn)子圖，由抽象的點(diǎn)子圖再提出實(shí)際問題，直觀與抽象的相互轉(zhuǎn)換，一方面有助于學(xué)生深入理解點(diǎn)子圖的本質(zhì)，另一方面，使得學(xué)生的抽象能力和符號意識得到了發(fā)展。

二、圈畫點(diǎn)子圖，探索多樣算法

在教學(xué)本課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)及兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法。根據(jù)皮亞杰的發(fā)生認(rèn)知論可知，這些已有認(rèn)知是學(xué)生進(jìn)行同化和順應(yīng)的基礎(chǔ)和前提。但是，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理依據(jù)是乘法分配律與乘法結(jié)合律，而學(xué)生尚未學(xué)習(xí)這兩種運(yùn)算律，這就成了新知轉(zhuǎn)化過程中的阻力。如何將抽象的算理直觀化，如何巧妙化解這樣的阻力，幫助學(xué)生直觀地理解算理，是亟須解決的問題。為此，借助抽象出來的點(diǎn)子圖，以點(diǎn)子圖這一直觀圖示巧妙繞開運(yùn)算律的障礙，可以讓學(xué)生的轉(zhuǎn)化過程自然順暢且易于理解。

【教學(xué)片段2】

師：14×12的結(jié)果究竟是多少呢？請拿出研學(xué)單，按研學(xué)要求開始探索吧！

出示研學(xué)單：

（1）用你喜歡的方法計(jì)算14×12。

（2）在點(diǎn)子圖中圈一圈、畫一畫，表示出你的計(jì)算方法。

（3）你還能想到其他方法嗎？

生1：14×2=28，14×10=140，140+28=168。（如圖2-1）

生2：14×6=84，84×2=168。（如圖2-2）

生3：14×4×3=168。（如圖2-3）

圖2 -1

圖2 -2

圖2 -3

師：瞧，經(jīng)過我們的研究，得出了這么多不同的方法。你們有沒有想過，為什么一開始不好算的14×12，現(xiàn)在口算就算出來了呢？是怎么做到的？

生4：本來是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，現(xiàn)在變成了兩位數(shù)乘一位數(shù)或兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)。

師：像這樣把不太會做的變成已經(jīng)學(xué)過的東西，我們就把它稱為轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化這一方法能把復(fù)雜的問題變成簡單的問題。

看著點(diǎn)子圖說一說不同的算法，其本質(zhì)是借助圖示直觀地解釋運(yùn)算過程，進(jìn)而深入理解算理。此外，借助點(diǎn)子圖這一直觀圖示來解決問題，學(xué)生既感受到了數(shù)形結(jié)合思想在解決問題時的形象性，也體會到了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維均得以發(fā)展。

三、借助點(diǎn)子圖，抽象豎式模型

要想深入理解算理，學(xué)生必須理解筆算中每一步計(jì)算結(jié)果的含義，明確每一步計(jì)算結(jié)果背后的算理。為此，可以借助點(diǎn)子圖這一直觀素材，嘗試將豎式計(jì)算過程中的每一步豎式表征與圖形表征同步演繹，促進(jìn)學(xué)生對豎式中各部分結(jié)果意義的理解。將點(diǎn)子圖引入筆算教學(xué)，就是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生親歷兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式模型的建構(gòu)過程。在這樣的過程中，學(xué)生對算理的感性認(rèn)識已然上升到對方法的理性認(rèn)識?！胺ㄖ幸娎恚碇械梅ā?，實(shí)現(xiàn)知“書”的同時也將達(dá)“理”落到實(shí)處。

【教學(xué)片段3】

師：對于14×12，請說說你是怎么想的。

生1：2×4=8，2×1=2。

師：為什么8寫在個位上，而2寫在十位上呢？

生1：2×1實(shí)際上代表的是2×10，得到的2表示的是2個十，所以2寫在十位上。

生2：十位的1×4=4，4寫在十位上，1×1=1，1寫在百位上。

師：你怎么知道4要寫在十位上呢？

生3：這個1是1個十，1個十乘4就是4個十。

師：是的，十位上的4表示40，我們一般不寫0。那1為什么寫在百位上呢？

生4：這里實(shí)際上是10×10=100。

師：說得真好！最后應(yīng)該怎么算？

生5：最后算8+0=8，2+4=6，0+1=1。

師：為什么最后用加法而不是乘法呢？

生6：因?yàn)橐獙刹糠趾掀饋怼?/p>

師：是的，28表示2行的人數(shù)，140表示10行的人數(shù)，最后加起來就是12行的人數(shù)。

師：由此，我們用豎式也算得結(jié)果是168。（出示圖3）圖中我們看到了168，不過，豎式計(jì)算時要將數(shù)位對齊，圖中對齊了嗎？讓它對齊好不好？（出示圖4）看這個圖，你有什么感覺？

圖3

圖4

在豎式模型的建構(gòu)過程中，每一步運(yùn)算的結(jié)果均能在點(diǎn)子圖中找到對應(yīng)的位置，將抽象的運(yùn)算與直觀的點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，化抽象為直觀。學(xué)生借助直觀圖能很好地理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的順序，以及每次運(yùn)算后積的表征及積的書寫位置，初步掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算算法背后的算理。而讓學(xué)生將點(diǎn)子圖進(jìn)行數(shù)位對齊，并觀察其變化，能進(jìn)一步將抽象的豎式模型以直觀的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前。學(xué)生能將抽象的豎式模型與直觀的點(diǎn)子圖模型相關(guān)聯(lián)，自然就能化抽象為直觀，于直觀中思抽象，豎式模型便深深扎根于腦海中。

四、關(guān)聯(lián)點(diǎn)子圖，建構(gòu)豎式模型

南京大學(xué)的鄭毓信教授曾說：“數(shù)學(xué)知識不求全，而應(yīng)求聯(lián)?！必Q式本質(zhì)上是對計(jì)算過程的記錄，換言之，豎式本質(zhì)上是口算算式和過程的另一種表達(dá)方式，是針對復(fù)雜計(jì)算而歸納出的一種計(jì)算模型。既然豎式模型的建構(gòu)與口算拆分方法有著密切的聯(lián)系，唯有將兩者相關(guān)聯(lián)，抽象的豎式模型才能牢牢建構(gòu)于學(xué)生的頭腦中。為此，將點(diǎn)子圖、橫式與豎式計(jì)算的每一步相關(guān)聯(lián)，在三者的聯(lián)系與對比中，筆算算法形成的脈絡(luò)和算法的合理性得以進(jìn)一步凸顯，學(xué)生就能在知“書”達(dá)“理”的基礎(chǔ)上建構(gòu)豎式模型。

【教學(xué)片段4】

師（出示圖5）：請大家繼續(xù)觀察，豎式與這里的口算，以及對應(yīng)的點(diǎn)子圖有沒有什么聯(lián)系？

圖5

生：豎式里的28就是口算的第一步，表示2行的人數(shù)，14就是口算的第二步，表示10行的人數(shù)，最后的168就是口算的第三步。

師：是的，豎式其實(shí)就是將三道口算題綜合到一個豎式里面，這樣計(jì)算就更加簡便。

通過在點(diǎn)子圖、橫式與豎式三者之間建立聯(lián)系，抽象的數(shù)與直觀的形得到有機(jī)結(jié)合，學(xué)生對算理的理解自然也就有“形”可依。而通過對點(diǎn)子圖、橫式與豎式三者的綜合對比和分析，豎式模型中三步計(jì)算的過程在學(xué)生的頭腦中變得清晰有序。學(xué)生經(jīng)歷了抽象算理到直觀算法的演繹過程，在數(shù)形結(jié)合中實(shí)現(xiàn)對算理的深刻理解，達(dá)成對算法的理解和掌握，真正建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式模型。

對算理的深入理解與對算法的熟練掌握是學(xué)生運(yùn)算能力得以提高的前提。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式模型是學(xué)生后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)筆算的基礎(chǔ)。教師在教學(xué)中應(yīng)基于學(xué)生的已有認(rèn)知，巧妙依托點(diǎn)子圖進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)既知“書”又達(dá)“理”。