素養(yǎng)進階練習設(shè)計結(jié)構(gòu)要素與表現(xiàn)形式
——以“數(shù)與運算”主題為例

浙江寧波市奉化區(qū)教師進修學(xué)校（315000）宋煜陽

任何一份練習設(shè)計，都離不開知識內(nèi)容、目標指向和表現(xiàn)形式三個基本元素。素養(yǎng)進階練習設(shè)計的關(guān)鍵，取決于課程內(nèi)容的本質(zhì)認識、課程內(nèi)容所指向的核心素養(yǎng)理解和練習表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計?！皵?shù)與運算”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的一個主題課程內(nèi)容，包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的認識及其四則運算。課程標準就“數(shù)的認識”所指向的核心素養(yǎng)表述有“數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識”“學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，理解和掌握數(shù)的概念”；就“數(shù)的運算”所指向的核心素養(yǎng)表述有“經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。綜上所述，“數(shù)與運算”主題的核心素養(yǎng)主要指向數(shù)感、符號意識、運算能力和推理意識，特別強調(diào)了數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性、數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性。為了凸顯“一致性”這條主線，“數(shù)與運算”主題素養(yǎng)進階練習設(shè)計需要在結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式上尋求突破。

一、“數(shù)的認識”結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式

數(shù)的認識，本質(zhì)上是對數(shù)的結(jié)構(gòu)的把握，而數(shù)的結(jié)構(gòu)需要用結(jié)構(gòu)要素去表達。無論是整數(shù)、小數(shù)，還是分數(shù)，在數(shù)的結(jié)構(gòu)上均保持了一致性，都是對多少個計數(shù)單位的表達。比如，314由3個百、1個十和4個一組成，表示為314=3×100+1×10+4×1；3.14由3個一、1個十分之一和4個百分之一組成，表示為3.14=3×1+1×0.1+4×0.01由2個三分之一組成，表示為一個數(shù)的結(jié)構(gòu)，需要用十進制計數(shù)單位、位值、數(shù)位（數(shù)級）等結(jié)構(gòu)要素去表達，是“數(shù)的認識”練習設(shè)計的核心要素。

“數(shù)的認識”核心要素的表現(xiàn)形式，一般反映為數(shù)量的抽象程度和數(shù)的表征方式兩個方面。數(shù)量的抽象程度，主要表現(xiàn)為“具體—半具體半抽象—抽象”。數(shù)的表征方式，主要表現(xiàn)為動作表征、圖像表征、語言表征、符號表征、情境表征等。

那么，不同抽象程度的學(xué)習材料該如何選擇呢？顯然，需要根據(jù)學(xué)生的年齡特征、數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度來綜合考慮。比如，“捆”是計數(shù)單位“十”的物化材料，經(jīng)常以實物或?qū)嵨飯D呈現(xiàn)，一般供教學(xué)“10以 內(nèi) 數(shù) 的 認 識”“11~20各 數(shù) 的 認 識”“100以 內(nèi)數(shù)的認識”時使用；一個小方塊（一）、一條塊（十）、一個面方塊（百）、大立方體（千）等實物或?qū)嵨飯D，一般在教學(xué)“100各數(shù)的認識”“1000以內(nèi)數(shù)的認識”時使用，都屬于具體的學(xué)習材料。計數(shù)器和數(shù)軸都屬于半具體半抽象的學(xué)習材料，貫穿于整數(shù)、小數(shù)的教學(xué)；數(shù)位順序表屬于抽象的學(xué)習材料，常在教學(xué)整數(shù)和小數(shù)時使用。

練習1下面表示500 400的數(shù)是（）。

練習2用一個正方形代表1元錢，那么陰影部分表示“1.30元”的圖是（）。

練習3數(shù)軸上點A用小數(shù)表示是（），用分數(shù)表示是（），再添上（）個這樣的分數(shù)單位就能變成最小的質(zhì)數(shù)。數(shù)軸上點B表示的數(shù)是（）。

練習1至練習3，分別采用計數(shù)器圖、方格圖、數(shù)軸來表達數(shù)的結(jié)構(gòu)，都屬于典型性學(xué)習材料，分別隨著年級升高而逐步抽象。

練習4在數(shù)線上用★表示60 300的位置，正確的是（）。

練習5請根據(jù)第1、2幅圖的寫數(shù)規(guī)律，寫出第三幅圖所表示的數(shù)。

寫作：1 0050 0030

寫作：2 0010 0305

寫作：（ ）

練習6左圖是用臺秤稱菠蘿時臺秤顯示的菠蘿的質(zhì)量，右圖是另一個臺秤。請你在右圖臺秤上用箭頭標出菠蘿的質(zhì)量。

練習4至練習6分別圍繞計數(shù)單位、數(shù)位順序表、進制進行設(shè)計。其中練習4采用相同的數(shù)線引導(dǎo)學(xué)生對計數(shù)單位“十”“百”“千”進行辨認；練習5采用水果替代數(shù)位順序表引導(dǎo)學(xué)生讀數(shù)、寫數(shù)；練習6則在“十進制”與其他進制的對比中引導(dǎo)學(xué)生體會計數(shù)單位的變化。這些變式練習都能幫助學(xué)生理解計數(shù)單位的本質(zhì)，進一步認識數(shù)學(xué)核心要素。

數(shù)的表征方式，重點強調(diào)各種表征方式的綜合運用以及方式之間的切換，從操作、圖像、敘述、解釋、舉例等維度對數(shù)的概念進行具體化和形式化兩個層面的表征。

比如，在認識“1000”這個數(shù)時，浙教版教材以“大家來說1000”的舉例形式實現(xiàn)各種表征方式的綜合運用。

圍繞“10個百”的意義，采用了多層次的表征和多元化的結(jié)構(gòu)表達：有操作層面的“10個百”實物圖像的情境表征，有加法、乘法、乘加多種方式的符號層面的符號表征和語言表征。

又如，在“1～5的認識”練習中，可以采用畫一畫、圈一圈、寫一寫的方式進行表征。

對數(shù)進行表征，其中就有動作表征、情境表征、圖像表征、符號表征等，這是通過給出某種表征的信息來填充其他表征。這樣的練習不僅表征手段豐富，而且重視表征方式之間的切換，能從多個維度幫助學(xué)生體會從數(shù)量到數(shù)的抽象過程。

數(shù)概念的一致性體現(xiàn)為計數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的基礎(chǔ)，認識計數(shù)單位是數(shù)的認數(shù)關(guān)鍵。在設(shè)計“數(shù)的認識”練習時，要始終把計數(shù)單位作為核心，圍繞數(shù)位順序表、位值等核心要素對數(shù)進行多層次表征和多元化表達，促使學(xué)生充分體會數(shù)量抽象為數(shù)的過程。同時，利用基于數(shù)軸等學(xué)習材料的填數(shù)練習，能夠幫助學(xué)生體會整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)性、小數(shù)的稠密性和分數(shù)的等價性。

二、“數(shù)的運算”結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式

算理和算法是數(shù)的運算的“雙核”，也是練習設(shè)計的主要對象。計數(shù)單位、運算律和等式的性質(zhì)是算理和算法的基礎(chǔ)。為此，在設(shè)計“數(shù)的運算”練習時，要圍繞計數(shù)單位、運算律和等式性質(zhì)。

整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加減法運算，在算理上都反映為“相同計數(shù)單位個數(shù)的加減”，在算法上表現(xiàn)為“相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計數(shù)單位不變”。為此，在數(shù)的加減運算練習設(shè)計中，需要圍繞算法上的“相同數(shù)位對齊”、算理上的“相同計數(shù)單位個數(shù)相加減”這條主線，設(shè)計看圖填空、畫圖表征、解釋說理等題型。

練習1在算31+25=（ ）時，聰聰是這樣算的，你知道“3+2=5”表示什么意思嗎？請在方框里畫一畫。

練習2一本練習本和一套三角尺共多少元？下面分別是聰聰和明明的計算方法，你同意哪個？寫出你的理由。

練習1是兩位數(shù)加兩位數(shù)的口算，對“相同數(shù)位上的數(shù)相加”背后的原理進行了表征；練習2是小數(shù)加法筆算，圍繞“小數(shù)點對齊”和“末尾對齊”進行辨析和說理，都指向了理解算理。

乘法和除法運算的一致性體現(xiàn)為計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘或相除、計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘或相除。整數(shù)乘除法、小數(shù)乘除法在算理層面貫穿了計數(shù)單位的個數(shù)累加或均分的過程，保持了運算之間算理的一致性。比如，整數(shù)除法140÷4，運算步驟為“14（十）÷4=3（十）……2（十），2（十）轉(zhuǎn)化為20（一），20（一）÷4=5（一），最后把3（十）、5（一）組合成35”，關(guān)鍵在于把被除數(shù)拆分為以不同計數(shù)單位為單位的若干部分進行均分。練習設(shè)計需要加強這個運算程序的梳理，可以結(jié)合小棒操作流程圖，讓學(xué)生填寫除法豎式，如“84÷3”就可以采用下圖來考查學(xué)生對算理和算法的過程性理解。

上述列舉和討論的內(nèi)容都是圍繞計數(shù)單位，下面將討論有關(guān)運算律的習題設(shè)計。與算理、算法關(guān)聯(lián)最緊密的當屬乘法分配律，所以乘法分配律的本質(zhì)屬性和運算應(yīng)用是“數(shù)的運算”練習設(shè)計的重要考查對象。

因為乘法分配律一般是通過不完全歸納推理得出，所以對規(guī)律的理解可以通過解釋說理、舉例說明的方式進行。下面的題組就充分反映了這一思路。

（1）聰聰計算78×73+78×27時，采用了“78×73+78×27=78×（73+27）”的計算方法。聰聰這樣算所依據(jù)的運算定律是什么？

（2）將計算下圖面積的過程填寫完整。

這個圖形的面積是16×15+14×15，運用（1）中的規(guī)律可以得出：

16×15+14×15=（○）×15=（）（平方厘米）

（3）請舉一個可以用（1）中的規(guī)律解決問題的生活例子。

該題組在學(xué)生回憶運算定律的依據(jù)、面積模型的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生自己舉例說明，在乘法分配律的舉例驗證活動中對運算定律不完全歸納推理的應(yīng)用進行了考查。

應(yīng)用乘法分配律在課程標準的核心素養(yǎng)“運算能力”的主要體現(xiàn)是：提出了“能夠清楚運算的對象和意義”“選擇合理簡潔的運算策略解決問題”等要求。像“計算49+98×48+47”這道題能考查學(xué)生能否整體觀察數(shù)據(jù)，能否保持敏銳的數(shù)感，能否識別到“49+98×48+47=98×48+96=98×48+48×2=48×（98+2）”這個過程。又如，江蘇南京四年級期末調(diào)研測試卷就圍繞乘法分配律的應(yīng)用設(shè)計了如下題組：

數(shù)學(xué)課上，李老師讓大家比較“9×9+19”與“10×10”的大小，大部分同學(xué)根據(jù)計算的結(jié)果判斷出它們相等。愛較真的軒軒激動地說：“我能通過推理說明兩個式子相等?！彼呎f邊寫（見下圖的左框）。

聽了軒軒的想法，大家眼前一亮，不禁躍躍欲試。李老師接著出示“99×99+199”，讓大家填寫：

（1）99×99+199=（ ）×（ ）；

（2）請在右邊方框中寫出推算的過程。

該題是以題組的形式，通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境激活學(xué)生的探究欲望。學(xué)生在自主探究、互動交流中積累了多次運用乘法分配律解題的經(jīng)驗。

上述對“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式進行了討論，其實“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”本身是同一個主題，聯(lián)系非常緊密。比如，整數(shù)筆算乘法是基于乘法意義的“求和模型”、位值制、計數(shù)單位個數(shù)、乘法分配律的綜合運用，是算理的一次升級，是融數(shù)的認識、數(shù)的運算為一體的綜合活動。在素養(yǎng)進階練習設(shè)計中，教師只有抓核心、悟結(jié)構(gòu)、尋聯(lián)系、促遷移，才能有效落實核心素養(yǎng)目標。