基于Kronecker積的差分波束形成

劉文俊，鞏朋成*，吳云韜

1.智能機(jī)器人湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢工程大學(xué)），湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

波束形成本質(zhì)上是一種空間濾波器，對(duì)麥克風(fēng)陣列接收到的信號(hào)進(jìn)行加權(quán)，在接收到的來(lái)自期望信號(hào)方向形成主波束，對(duì)接收到的其他方向的干擾信號(hào)進(jìn)行抑制［1-2］。近幾十年來(lái)，許多專家學(xué)者投入到對(duì)該領(lǐng)域的研究和探索，形成了許多關(guān)于波束形成的分支，常見(jiàn)的包括延遲求和波束形成（delay-sum beamformer，DSB）［3］、超指向性波束形成（super-directive beamformer，SDB）［4］、自適應(yīng)波束形成（adaptive beamformer，AB）［5］、差分波束形成（differential beamformer，DB）［6］等等。

其中，差分波束形成算法是當(dāng)前的一個(gè)研究熱點(diǎn)。差分麥克風(fēng)陣列不同于加性麥克風(fēng)陣列（將麥克風(fēng)陣列接收到的信號(hào)進(jìn)行相加），它利用麥克風(fēng)陣列中相鄰的麥克風(fēng)的聲壓差來(lái)實(shí)現(xiàn)波束形成，相較于加性麥克風(fēng)陣列，差分波束形成具有高指向性增益和能形成波束圖不隨頻率而改變的優(yōu)點(diǎn)。因此，使用差分波束形成算法來(lái)處理像語(yǔ)音信號(hào)這種頻率波動(dòng)大的信號(hào)，具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。另外，差分麥克風(fēng)陣列中的相鄰2個(gè)麥克風(fēng)之間間距較小，致使整個(gè)麥克風(fēng)陣列所占的空間較小，這就方便了它嵌入到小設(shè)備中，為差分麥克風(fēng)陣列的實(shí)際應(yīng)用提供了方便。

最初，差分波束形成是采用多層結(jié)構(gòu)的形式來(lái)設(shè)計(jì)的，一個(gè)高階的差分波束形成器通常由多個(gè)低階的差分波束形成器組成［7］。但是，這種傳統(tǒng)的波束形成缺乏靈活性，存在失配問(wèn)題，而且在低頻時(shí)對(duì)傳感器噪聲和麥克風(fēng)陣列自身的缺陷非常敏感。為了克服以上缺陷，在文獻(xiàn)［8］中，通過(guò)短時(shí)域傅里葉變換來(lái)形成差分波束形成的方法被提出，這個(gè)方法將傳統(tǒng)的求解波束形成問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在零陷約束下對(duì)線性結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解的問(wèn)題。隨著波束形成技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了一種利用空間差分算子來(lái)設(shè)計(jì)波束形成的方法［9］。這種利用空間差分算子來(lái)設(shè)計(jì)波束形成的方法在白噪聲增益和指向性因子之間進(jìn)行了折衷。設(shè)計(jì)的波束形成器在各個(gè)方面的表現(xiàn)更加均衡。

另外，Kronecker積的方法應(yīng)用在多輸入多輸出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷達(dá)波束形成領(lǐng)域［10］，為設(shè)計(jì)差分波束形成提供了新的思路［11］，Kronecker積是將一個(gè)較大的麥克風(fēng)陣分解成2個(gè)麥克風(fēng)子陣列分別優(yōu)化求解，從而設(shè)計(jì)出效果更好的波束形成器。

本文提出一種利用Kronecker積將一個(gè)大的麥克風(fēng)陣列分解成2個(gè)子陣列，其中一個(gè)利用空間差分算子優(yōu)化求解，另一個(gè)則使用零陷約束［12］方法優(yōu)化求解。最終得到的波束形成器可以進(jìn)一步在白噪聲增益（white noise gain，WNG）和指向性因子（directivity factor，DF）之間取得平衡，并得到更好的穩(wěn)健性。

1 信號(hào)模型

考慮將均勻線性麥克風(fēng)陣列作為接收信號(hào)的陣列。它由M個(gè)全方向性麥克風(fēng)組成，相鄰2個(gè)陣元的間距設(shè)為δ，該實(shí)驗(yàn)在遠(yuǎn)場(chǎng)模型中進(jìn)行，即發(fā)射信號(hào)為平面波。用θ表示方位角，且期望信號(hào)方向設(shè)為端射方向(θs=0)。

陣列的導(dǎo)向矢量［13-14］為

其中，j表示復(fù)數(shù)的虛部，ωˉ=ωδ/c，ω=2πf表示角頻率，f>0是頻率，c是聲音在空氣中傳播的速度，一般有c=340 m/s。

使用式（1）中定義的方向矢量，頻域內(nèi)觀察信號(hào)的向量表示為：

Ym(ω)表示第m（1≤m≤M)個(gè)麥克風(fēng)接收到的信號(hào)，X(ω)是零均值期望信號(hào)，v(ω)指零均值加性噪聲信號(hào)向量，它的數(shù)學(xué)形式類似于y(ω)。

波束形成通常是指通過(guò)對(duì)麥克風(fēng)陣列接收到的觀測(cè)信號(hào)應(yīng)用一種空間濾波進(jìn)行加權(quán)的方式，來(lái)估測(cè)期望信號(hào)。一般，波束形成器的輸出可表示為：

其中，Hm是波束形成器中的第m個(gè)元素，Z(ω)是對(duì)期望信號(hào)X(ω)的估測(cè)，上標(biāo)?表示復(fù)共軛。

h(ω)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的線性波束形成器［15-16］。通常，為了獲得無(wú)失真的期望信號(hào)，需要添加無(wú)失真約束：

2 測(cè)量指標(biāo)

利用空間差分算子來(lái)設(shè)計(jì)第一個(gè)子陣列，對(duì)于空間差分算子的定義，可以參考文獻(xiàn)［11］。假設(shè)在這里考慮的是一個(gè)P（1≤P≤M1）階空間差分陣列。為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，將省略對(duì)角頻率ω的表示。

另外有：

式（8）是一個(gè)長(zhǎng)度為p+1的向量。，是二項(xiàng)式系數(shù)。因此，式（2）在空間差分陣列下的觀測(cè)信號(hào)為：

其中，q=τP0

波束形成的過(guò)程就是尋找一個(gè)空間濾波器對(duì)麥克風(fēng)陣列接收到的期望信號(hào)進(jìn)行強(qiáng)化，對(duì)干擾信號(hào)和噪聲進(jìn)行抑制和削弱。因此，一個(gè)p階空間差分波束形成，是將一個(gè)長(zhǎng)度為M1-P的濾波器h(P)作用于觀測(cè)信號(hào)y(P)。

于是有：

對(duì)第二個(gè)子陣列，采用零陷約束來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)N階差分陣列，其中，N≤M2-1。通常，在使用陣列接收期望信號(hào)時(shí)，周圍環(huán)境中存在的噪聲信號(hào)會(huì)對(duì)其產(chǎn)生干擾，零陷約束的本質(zhì)是通過(guò)在噪聲方向上設(shè)置零陷，進(jìn)而起到抑制噪聲信號(hào)，增強(qiáng)期望信號(hào)的目的。一般而言，零陷的個(gè)數(shù)與差分波束形成器的階數(shù)數(shù)值上相等，假設(shè)一個(gè)N階差分波束形成器對(duì)應(yīng)的零陷方向分別為θ0;1，θ0;2，…，θ0;N。第二個(gè)子陣列的導(dǎo)向矢量為：

另有：

其中，

i是(N+1)×(N+1)單位矩陣的第一列。進(jìn)而：

3 Kronecker product方法

利用Kronecker積，將一個(gè)由M個(gè)麥克風(fēng)組成的線性陣列分解成2個(gè)麥克風(fēng)子陣列，一個(gè)子陣列麥克風(fēng)數(shù)為M1，第二個(gè)子陣列麥克風(fēng)數(shù)為M2。其中，M=M1×M2，全局麥克風(fēng)陣列和第一個(gè)子陣列的相鄰兩個(gè)陣元間距為δ，第二個(gè)子陣列的相鄰2個(gè)陣元間距為M1δ，它的結(jié)構(gòu)如圖1所示。而第一個(gè)子陣列在利用Kronecker積的過(guò)程中可以重復(fù)進(jìn)行運(yùn)算，因此，只需要M1+M2個(gè)麥克風(fēng)，這樣不僅節(jié)約了麥克風(fēng)成本，而且使麥克風(fēng)陣列更小巧，便于嵌入到其他設(shè)備中。其中，全局導(dǎo)向矢量可以表示為2個(gè)子陣導(dǎo)向矢量的Kronecker積，有：

圖1 全局麥克風(fēng)陣列和麥克風(fēng)子陣列的模型圖Fig.1 Models of microphone global-array and microphone sub-array

全局波束形成器表示為：

根據(jù)Kronecker積的結(jié)合律，有：

其中IM1和IM2分別表示大小為M1×M1和大小為M2×M2的單位矩陣。

對(duì)于設(shè)計(jì)的波束形成器的好壞進(jìn)行評(píng)判，通常，波束圖（beampattern）、白噪聲增益和指向性因子是波束形成器好壞的衡量指標(biāo)。

波束圖［17-18］的定義表示為：

白噪聲增益［19］的定義可表示為：

考慮到指向性因子［20-21］是在各向同性噪聲場(chǎng)條件下的測(cè)量指標(biāo)，所以不能單純將2個(gè)子陣列的指向性因子相乘。結(jié)合式（19），有：

其中，

4 仿真實(shí)驗(yàn)

對(duì)提出的方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并將其與傳統(tǒng)的方法以及單純的空間差分算子方法進(jìn)行對(duì)比。

使用均勻線性陣列，陣元間距σ=1 cm,期望信號(hào)方向?yàn)槎松浞较?，即θs=0°。設(shè)計(jì)傳統(tǒng)差分波束形成的線性陣列的麥克風(fēng)數(shù)M=16，空間差分算子波束形成線性陣列的麥克風(fēng)數(shù)M=4，本文提出的差分波束形成的2個(gè)子線性陣列的麥克風(fēng)數(shù)M1=4，M2=4。

圖2顯示了在陣元間距σ=1 cm，頻率f=3 kHz的條件下，圖2（a）為傳統(tǒng)差分波束形成（麥克風(fēng)數(shù)M=16）對(duì)應(yīng)的波束圖、圖2（b）為空間差分算子波束形成（麥克風(fēng)數(shù)M=4）對(duì)應(yīng)的波束圖以及圖2（c）為本文提出的波束形成方法（麥克風(fēng)數(shù)分別為M1=4，M2=4）對(duì)應(yīng)的波束圖，頻率f設(shè)為3 000 Hz。圖3畫出了傳統(tǒng)差分波束形成（麥克風(fēng)數(shù)M=16）、空間差分算子波束形成（麥克風(fēng)數(shù)M1=4）和本文提出的波束形成方法（麥克風(fēng)數(shù)M2=4）在陣元間距σ=1cm的條件下，關(guān)于頻率f的指向性因子圖3（a）和白噪聲增益曲線圖3（b），其中，D為指向性因子，W為白噪聲增益。通過(guò)圖3，可以看到本文提出的方法相比于傳統(tǒng)差分波束形成、空間差分算子波束形成方法，該方法設(shè)計(jì)的波束形成的指向性因子和白噪聲增益都有一定程度的提升，也就意味著本文提出的方法具有更好的指向性和在白噪聲環(huán)境下更高的穩(wěn)健性。

圖2 波束圖比較：（a）傳統(tǒng)差分波束形成，（b）空間差分算子，（c）本文提出的Fig.2 Comparison of beam patterns：（a）tranditional differential beamforming，（b）spatial difference operator，（c）proposed method

圖3 性能對(duì)比：（a）指向性因子（DF），（b）白噪聲增益（WNG）Fig.3 Comparison of performances：（a）directivity factor，（b）white noise gain

5 結(jié)論

以上提出通過(guò)Kronecker積將一個(gè)全局麥克風(fēng)陣列拆分為2個(gè)小的麥克風(fēng)子陣列來(lái)分別優(yōu)化求解的方法，其中一個(gè)子陣列使用零陷約束來(lái)求解，另一個(gè)子陣列通過(guò)空間差分算子算法求解。通過(guò)上面的仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比，采用Kronecker積的方式設(shè)計(jì)的波束形成，相比于傳統(tǒng)的波束形成方法以及單純的空間差分算子方法而言，不僅減少了麥克風(fēng)數(shù)量，節(jié)約了生產(chǎn)成本。而且，使用Kronecker積來(lái)設(shè)計(jì)的波束形成器具有更高的指向性因子和白噪聲增益，也就意味著設(shè)計(jì)的波束形成器具有更高的方向指向性和更突出的穩(wěn)健性。