樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)Kozeny-Carman常數(shù)的分形分析

李子豪，肖波齊，王培龍，朱懷志，龍恭博

武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)具有很多特有的輸運(yùn)特性，廣泛存在于自然輸運(yùn)系統(tǒng)和人工輸運(yùn)系統(tǒng)中，在許多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，比如地下滲流［1］、電子冷卻［2］、石油開采［3］等。Kozeny-Carman（KC）常數(shù)和滲透率是兩個(gè)重要的輸運(yùn)特性，與很多因素有關(guān)，是影響流體流動(dòng)的最重要的物理參數(shù)［4］。由于KC方程能夠很好的表示滲透率和孔隙率之間的關(guān)系，廣泛應(yīng)用于多孔介質(zhì)的流動(dòng)過程中［5］，目前常用如下方程來表征［6-7］：

式中：K為多孔介質(zhì)的滲透率；φ為多孔介質(zhì)的孔隙率；C為KC常數(shù)；S是比表面積［8］。KC常數(shù)是Kozeny在1927年首次提出的，推導(dǎo)出KC常數(shù)為5。KC常數(shù)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，它被證明不是一個(gè)常數(shù)，而且對(duì)于不同介質(zhì)不同環(huán)境中KC常數(shù)都不一樣。這引起了研究人員的廣泛關(guān)注，使得研究者們不斷修正KC方程來提高計(jì)算精度。Xu等［9］回顧并總結(jié)了KC方程和KC常數(shù)相關(guān)的各種模型，推導(dǎo)出了不含經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的KC常數(shù)解析表達(dá)式。但是研究者只關(guān)注于充分發(fā)展的牛頓流體層流流動(dòng)和各向同性松散多孔介質(zhì)的影響，研究結(jié)果表明KC常數(shù)與孔隙率有關(guān)。Xiao等［10］根據(jù)分形理論，推導(dǎo)出了多孔納米纖維材料的KC常數(shù)解析表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)其與孔隙率、面積分形維數(shù)有關(guān)。在低孔隙率時(shí)，KC常數(shù)隨著孔隙率的增加而增大，但與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較誤差較大。Wei等［11］基于水力孔徑的分形分布特性，分析了毛細(xì)管吸脹過程中的KC常數(shù)，但是受吸脹過程中各種因素的影響，無法準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)任意條件下多孔介質(zhì)的KC常數(shù)。Xiao等［12］導(dǎo)出了纖維多孔介質(zhì)中KC常數(shù)的分形模型，結(jié)果表明其與纖維多孔介質(zhì)本身的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，但是該研究沒有考慮多孔介質(zhì)表面粗糙度對(duì)滲流過程的影響。Xiao等［13］推導(dǎo)出了粗糙表面纖維多孔介質(zhì)的KC常數(shù)，但是忽略了其他非線性因素的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)KC常數(shù)隨著粗糙度、孔隙率、孔隙面積分形維數(shù)和彎曲度分形維數(shù)的增加而增大。前人的大量研究表明了KC常數(shù)與多孔介質(zhì)孔隙率密切相關(guān)，但對(duì)KC常數(shù)與多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系研究還不夠深入，并且樹狀分叉輸運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中的KC常數(shù)研究目前還未涉及。為了分析樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)KC常數(shù)，本文采用了一個(gè)理想化的模型（嵌入在多孔介質(zhì)中的分形樹狀網(wǎng)絡(luò)）來模擬真實(shí)的多孔介質(zhì)［14］。最后推導(dǎo)出KC常數(shù)的解析表達(dá)式并討論了孔隙率和網(wǎng)絡(luò)的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)KC常數(shù)的影響。

1 嵌入在多孔介質(zhì)中的分形樹狀網(wǎng)絡(luò)復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)參數(shù)

復(fù)合材料由分形樹狀網(wǎng)絡(luò)和基質(zhì)多孔介質(zhì)兩部分組成［15］。

1.1 分形樹狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。為了建立一個(gè)復(fù)合材料中流體滲流模型，忽略樹狀網(wǎng)絡(luò)每層的壁的厚度，調(diào)整每層管子的分支角度和體積，使其不相互作用，每個(gè)通道在下一層被劃分為n個(gè)分支（這里n=2），分支的最大分叉級(jí)數(shù)為m。為了描述分形樹狀網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，對(duì)于其中任意一級(jí)分叉而言，第k（k=0，1，2，…，m）級(jí)分叉管道的長(zhǎng)度和直徑分別為lk和dk，分叉角為θ。用來描述分叉網(wǎng)絡(luò)幾何結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度比（α）和直徑比（β）可以定義為［16］：

圖1 樹狀分叉示意圖［長(zhǎng)度單位：μm，角度單位：（°）］Fig.1 Tree bifurcation diagram（Length unit：μm，Angle unit：degree）

推出：

其中l(wèi)0和d0分別表示第0分支管道的長(zhǎng)度和直徑。

1.2 復(fù)合材料結(jié)構(gòu)參數(shù)

嵌入在多孔介質(zhì)中分形樹狀網(wǎng)絡(luò)復(fù)合材料如圖2所示，復(fù)合材料的寬度b、長(zhǎng)度L0和分形樹狀網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際長(zhǎng)度Lt的表達(dá)式可寫出：

圖2 嵌入分形樹狀網(wǎng)絡(luò)的多孔介質(zhì)示意圖［長(zhǎng)度單位：μm，角度單位：（°）］Fig.2 Schematic of porous medium embedded with the fractal-like tree network（Length unit：μm，Angle unit：degree）

根據(jù)體積孔隙度的定義，可以得到復(fù)合網(wǎng)絡(luò)的體積孔隙度［17］：

其中Vf表示樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的體積，V是復(fù)合網(wǎng)絡(luò)總體積。

2 樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的滲透率

根據(jù)Hagen-Poiseuille方程，第k級(jí)單根通道中流量可寫為：

其中，μ是流體的黏度，Δpk是第k級(jí)通道的壓降［18］。根據(jù)Darcy定律：

其中Kk是第k級(jí)單根通道的滲透率。聯(lián)立方程（10）、（11）可得：

根據(jù)滲流并聯(lián)模型，第k級(jí)nk根管道并聯(lián)起來的有效滲透率為：

其中，Aki=πd2k/4是第k級(jí)單根分叉管道的橫截面積，Kki=Kk=d2k/32是第k級(jí)單根分叉管道的滲透率是 第k級(jí)nk根 并聯(lián)管道的等效橫截面積。由此可得到第k級(jí)nk根管道并聯(lián)后的有效滲透率：

可以發(fā)現(xiàn)第k級(jí)nk根管道并聯(lián)起來的有效滲透率與第k級(jí)單根管道的滲透率相等?？梢詫⒃摼W(wǎng)絡(luò)視為由m個(gè)長(zhǎng)度為lek，橫截面積為Aek，滲透率為Kek的單通道串聯(lián)而成，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以等效為一個(gè)滲透率為Ke的單通道。Ke也就是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的有效滲透率。對(duì)于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的等效單管，由廣義Darcy定律：

其中Ae和le分別是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)等效單管的橫截面積和長(zhǎng)度是網(wǎng)絡(luò)的總壓降。由于質(zhì)量守恒，第k級(jí)管道的流量與網(wǎng)絡(luò)總流量相等

根據(jù)Hagen-Poiseuille方程：

其中de為等效直徑。

聯(lián)立方程（14～20）可以得到整個(gè)分叉網(wǎng)絡(luò)的有效滲透率：

在滲流過程中，流體的流動(dòng)不可能是沿直線流動(dòng)，而是彎曲曲折地流動(dòng)。因此還需要考慮到迂曲度T對(duì)滲流過程的影響，迂曲度定義為滲流通道的實(shí)際長(zhǎng)度Lt與直線長(zhǎng)度L0的比值［19-20］。

考慮迂曲度的影響后，網(wǎng)絡(luò)的有效滲透率為：

3 嵌入在多孔介質(zhì)中樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的KC常數(shù)

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)中各級(jí)管道的總內(nèi)表面積At可寫為：

于是可以得到比面S的表達(dá)式：

聯(lián)立方程（1）、（9）、（23）、（25）可以得到嵌入在多孔介質(zhì)中樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的KC常數(shù)表達(dá)式：

4 分析與討論

方程（26）給出了樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)復(fù)合材料的KC常數(shù)解析式，很明顯它與分叉網(wǎng)絡(luò)的微觀結(jié)構(gòu)有著直接的關(guān)系。從圖3中可以看到KC常數(shù)隨著孔隙率φ的增加而增大，這與前人的研究結(jié)果相吻合。圖3顯示KC常數(shù)隨著分叉網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)度比α的增加而增大，這是因?yàn)殡S著長(zhǎng)度比的增加，下一級(jí)分叉管道就越長(zhǎng)，流體流動(dòng)阻力就越大，滲透率降低，根據(jù)方程（1），KC常數(shù)增大。圖3顯示KC常數(shù)隨著直徑比β的增加而減小，這是由于直徑比的增加，下一級(jí)分叉管道就越粗，流體流量增加，滲透率升高，根據(jù)方程（1），KC常數(shù)減小。圖4列舉了一些前人研究成果中KC常數(shù)的預(yù)測(cè)值，并與本文推算出的預(yù)測(cè)值作比較，發(fā)現(xiàn)在孔隙率較?。?<φ<0.2）時(shí)，本文預(yù)測(cè)結(jié)果和Sullivan［21］及徐鵬等［22］的結(jié)果較吻合；在0.2<φ<0.3時(shí)，本文預(yù)測(cè)結(jié)果和Devies［23］等人及Sparrow［24］等的結(jié)果十分接近；當(dāng)孔隙率在0.3附近時(shí)，本文預(yù)測(cè)結(jié)果符合Happel［25］等的結(jié)果，此時(shí)分形模型的預(yù)測(cè)值接近經(jīng)典的KC常數(shù)值；在0.4<φ<0.5時(shí)，本文預(yù)測(cè)結(jié)果和Kyan等［26］及Sahraoui等［27］的預(yù)測(cè)值較接近。綜上發(fā)現(xiàn)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，這很好地驗(yàn)證了本模型的正確性。KC常數(shù)和孔隙率間的定量關(guān)系因?yàn)椴煌瑢W(xué)者的研究方法和手段的差異，在學(xué)界還未有定論，故不斷有學(xué)者提出討論。本文研究的是樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的KC常數(shù)，而參考文獻(xiàn)中模型多是單根管道，所以數(shù)據(jù)對(duì)比會(huì)有差異性，但是數(shù)值量綱與前人研究成果相符合。

圖3 樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)KC常數(shù)與孔隙率φ、長(zhǎng)度比α、直徑比β的關(guān)系Fig.3 Relations between KC constants and porosities，length ratios，diameter ratios in tree bifurcation network

圖4 不同模型中KC常數(shù)與孔隙率的關(guān)系Fig.4 Relations between KC constants and porosities in different models

5 結(jié)論

前人的大量研究表明了KC常數(shù)與多孔介質(zhì)孔隙率密切相關(guān)，但是對(duì)于樹狀分叉輸運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中的KC常數(shù)研究目前還未涉及，而本文創(chuàng)新的推導(dǎo)出了嵌入在多孔介質(zhì)中的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)復(fù)合材料的KC常數(shù)的解析表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)KC常數(shù)與孔隙率和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)系。結(jié)果表明樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)KC常數(shù)隨著復(fù)合網(wǎng)絡(luò)孔隙率的增加而增大，隨著分叉網(wǎng)絡(luò)長(zhǎng)度比的增加而增大，隨著分叉網(wǎng)絡(luò)直徑比的增加而減小。當(dāng)孔隙率在0.3附近時(shí)，本文分形模型的預(yù)測(cè)值最接近經(jīng)典的KC常數(shù)值（5）。盡管本文推導(dǎo)出了嵌入在多孔介質(zhì)中樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)復(fù)合材料KC常數(shù)的解析表達(dá)式，但是該結(jié)果忽略了樹狀分叉管道壁表面的粗糙元素，為了進(jìn)一步深入的研究樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)中的KC常數(shù)，需要將粗糙度對(duì)滲流過程的影響考慮進(jìn)去。