初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題的解題策略

王 謙

(江蘇省南通市幸福中學(xué)，江蘇南通，226000)

1 數(shù)值代入

數(shù)值代入是求解二次函數(shù)有關(guān)問題的重要思路.對于已知拋物線或某一二次函數(shù)經(jīng)過確定的坐標(biāo)點的問題，此時將坐標(biāo)數(shù)值代入函數(shù)的解析式中，通過處理等量關(guān)系實現(xiàn)求解，這就是數(shù)值代入.?？碱}型包括求解函數(shù)解析式等，在解答題、選擇題中均有可能出現(xiàn)，在解題時要注意關(guān)注已知的點的坐標(biāo)，一般來說，當(dāng)確定三個坐標(biāo)點并代入解析式后即可列方程組解得對應(yīng)的值，即為所求答案.

例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(-1，1)，B(0，2)，C(1，3)，求二次函數(shù)的解析式.

思考：這類型問題就需要學(xué)生在做日常練習(xí)時清晰知道函數(shù)圖象，本題直接將已知的橫、縱坐標(biāo)代入解析式，解二元一次方程組，根據(jù)得到的參數(shù)值得到二次函數(shù)的解析式.

解：由題意可得，A(-1，1)，B(0，2)，C(1，3)，將上述三點代入y=ax2+bx+c.

因此，二次函數(shù)的解析式為y=-1x2+2x+2.

練習(xí)1無論m是任何實數(shù)，二次函數(shù)y=x2+(2-m)x+m的圖象總經(jīng)過的點是( ).

A. (-1，0) B. (1，0)

C. (-1，0) D. (1，3)

思考：本題要快速解得正確的解，只需要分別將四個選項的坐標(biāo)代入解析式中，通過等號兩端是否相等判斷正確答案，雖有參數(shù)m，但可以利用代入的數(shù)將其消除，代入等式求解.

解：將橫坐標(biāo)代入x，縱坐標(biāo)代入y.

評析：學(xué)習(xí)函數(shù)與類似的坐標(biāo)數(shù)值緊密相關(guān)，是解答二次函數(shù)相關(guān)問題必需的基本技能之一，關(guān)鍵是因為函數(shù)解析式是函數(shù)與相應(yīng)自變量之間的一種數(shù)量關(guān)系.

2 圖象說理

二次函數(shù)具有一定的抽象性，利用圖象解答相關(guān)問題就有重要作用，看懂拋物線等特殊圖象表達(dá)的特殊意義，例如其中反應(yīng)的函數(shù)范圍和自變量的變化，數(shù)量關(guān)系是怎樣的，是利用圖象解題的重要手段.常見的考查題型包括求解自變量的取值范圍，比較兩個函數(shù)值的大小等，主要以選擇題的形式出現(xiàn)，在解答題中也有一定涉及.

例2二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象如圖所示，當(dāng)y<0時，自變量x的取值范圍是( ).

A.-1

C.x>3 D.x<-1或x>3

思考：本題首先需要明白拋物線的哪一段代表y<0，并觀察圖象得到此時自變量的取值范圍，即為所求的解.

解：如圖所示，為函數(shù)y=x2-2x-3的圖象.

由題意可得，當(dāng)y<0時，為x軸下方的一段.

∴這段拋物線對應(yīng)的取值范圍是在-1到3之間.

故自變量x的取值范圍為-1

練習(xí)2已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示：

x…01234…y…41014…

點A(x1、y2)、B(x2、y2)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)1

A.y1>y2B.y1

C.y1≥y2D.y1≤y2

思考：本題根據(jù)已知的二次函數(shù)y與x的對應(yīng)關(guān)系得到函數(shù)圖象，然后分析拋物線的對稱軸方程求出其對稱軸，利用二次函數(shù)的增減性即可判斷出y1、y2的大小關(guān)系.

解：根據(jù)題意已知y=ax2+bx+c(a≠0).

∵當(dāng)x=0時，y=4；x=1時，y=1；x=2時，y=0代入函數(shù)解析式.

∴此拋物線的解析式為：y=x2-4x+4.

如圖所示，該拋物線的開口向上.

∴拋物線的頂點為(2、0).

∵-1

∴y1

評析：根據(jù)上述兩個例題可以發(fā)現(xiàn)，要具有良好的觀察能力才能正確分析圖象問題，最大限度發(fā)揮“圖象說理”的作用，快速求解.

3 數(shù)形結(jié)合

將圖象用坐標(biāo)系表示是函數(shù)的特點之一，二次函數(shù)具有解析式與圖象一一對應(yīng)的關(guān)系，因此利用兩者之間“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系是解題的新思路.如下表所示是不同形式解析式的圖象開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)等值，需要同學(xué)們理解記憶，還可以轉(zhuǎn)化為如下所示的圖象轉(zhuǎn)換關(guān)系，解題時要利用其內(nèi)在聯(lián)系，掌握關(guān)鍵.在選擇題、填空題或解答題中均會運用到數(shù)形結(jié)合，這是同學(xué)們一定要掌握的內(nèi)容.

函數(shù)解析式備注開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)y=ax2(a≠0)特例y=ax2+k(a≠0)特例y=a(x-h)2(a≠0)特例y=a(x-h)2+k(a≠0)頂點形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)一般形式a>0,開口向上a<0,開口向下直線x=0(y軸)(0,0)直線x=0(y軸)(0,k)直線x=h(h,0)直線x=h(h,k)直線x=-b2a-b2a,4ac-b24a

例3將拋物線y=5x2先向右平移3個單位，再向上平移2的單位后，所得的拋物線的解析式為( ).

C.y=5(x-3)2+2

D.y=5(x-3)2-2

思路：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數(shù)解析式求解更簡單，可以根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加得到平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，然后利用頂點式得到解析式即可.

解：∵y=5x2先向右平移3個單位，再向上平移2的單位得到頂點坐標(biāo)為(3，2).

∴所得的拋物線的解析式為y=5(x-3)2+2.

故正確答案為C選項.

練習(xí)3與拋物線y=-5x2-1頂點相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)是( ).

A.y=-5x2-1

B.y=5x2-1

C.y=-5x2+1

D.y=5x2+1

思考：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式中，二次項系數(shù)確定函數(shù)的開口方向，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.頂點相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線，即與原式只有二次項系數(shù)不同.

解：與拋物線y=-5x2-1頂點相同，形象也相同，而開口方向相反的拋物線.

即與拋物線y=-5x2-1只有二次項系數(shù)不同.

∴y=5x2-1，正確答案為B選項.

例4拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1，0)，B(3，0)，則此拋物線的對稱軸是直線x=.

思考：本題考查了二次函數(shù)的對稱性，拋物線經(jīng)過兩個點的縱坐標(biāo)均等于零，借此確定對稱軸.

解：由題意可得，拋物線經(jīng)過了點A(-1，0)，B(3，0).

∵縱坐標(biāo)相等.

∴它們是拋物線上的對稱點.

∴它們的對稱軸時兩點橫坐標(biāo)的平均數(shù).

∴A、B兩點是拋物線上的兩個對稱點.

故正確答案為2.

練習(xí)4已知二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點A(-1，1)，B(0，2)，C(1，3)，(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 畫出二次函數(shù)的圖象.

思考：本題可以利用頂點形式的“數(shù)”來了解“形”，可以通過頂點公式和對稱軸公式解得對應(yīng)的值，然后畫出圖象實現(xiàn)求解.

解：(1)y=-x2+2x+2，過程略；

(2) 將y=ax2+bx+2(a≠0)形式配方成：y=a(x-h)2+k(a≠0)形式.

∵y=-x2+2x+2.

∴對稱軸為x=1，頂點為(1，3)，a=-1<0.

∴圖象經(jīng)過點(3，-1)和(2，2)，且該圖象是對稱的.

故分別與點A(-1，1)，B(0，2)關(guān)于對稱軸對稱得到圖象，如圖所示：

評析：上述兩個問題均是比較簡單的數(shù)形結(jié)合問題，解題時要根據(jù)題意靈活處理圖形變換，要熟悉圖形相關(guān)的知識點，最后實現(xiàn)求解.

對于初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題的相關(guān)解題策略還有方程釋義等手段，本文只著重介紹了以上三種，從上述三種策略可知，必須要熟練掌握不同形式的二次函數(shù)的變換形式，這是解題的重要內(nèi)容.