定弦定角在解題中的運(yùn)用

王 黎，馬紹文

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南昆明，650500)

定弦定角問題：動點(diǎn)對某條長度恒定的線段張成的角固定不變，即動角的大小恒定不變，該線段稱為“定弦”，定弦所對的角稱為“定角”.

預(yù)備知識：

知識點(diǎn)1如圖1，以AB為直徑的⊙O上有一動點(diǎn)，則∠ACB恒為90°；反之當(dāng)∠ACB=90°時，點(diǎn)C一定在以AB為直徑的圓上.

圖1

知識點(diǎn)2如圖2，在⊙O中，弦AB一定時，則該弦所對應(yīng)的劣弧(或優(yōu)弧)上的圓周角∠ACB就一定；反之當(dāng)∠ACB為一定值時，點(diǎn)C一定在以AB為弦的圓上.

圖2

1 求最值問題

例1(2021廣東中考)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，點(diǎn)D為平面上的一個動點(diǎn)，∠ADB=45°，則線段CD的最小值為( )

圖1-2

圖1-1

例2如圖2-1，已知正方形ABCD以BC為腰向正方形內(nèi)部作等腰△BCE，其中BE=BC，過點(diǎn)E作EF⊥BC，點(diǎn)P是Rt△BEF的內(nèi)心，連接AP，若正方形的邊長為2，求AP的最小值.

圖2-1

圖2-3

點(diǎn)E是動點(diǎn)，Rt△BEF也隨之改變，則內(nèi)心P也隨之改變，CB所對應(yīng)的圓周角為135°，因此所對應(yīng)圓心角為90°，作CB的垂線可以找到圓心，即可找到點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡.

圖2-2

2 路徑長問題

例3如圖3-1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是AB邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CE的垂線，垂足為F，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)F的運(yùn)動路徑長為( ).

圖3-1

解析：由題目可知，在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，∠BFC=90°始終成立，即定弦BC的對角是定角，構(gòu)成定弦定角模型.因此點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以BC為直徑的圓弧.需要確定點(diǎn)F的起始位置和終點(diǎn)位置.如圖3-2，起始位置是點(diǎn)A，E重合，此時點(diǎn)F是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)O，終點(diǎn)位置是點(diǎn)B，E重合，此時點(diǎn)F是點(diǎn)B.所以點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以BC為直徑的圓上的劣弧BO.

圖3-2

∠CGO=∠ABC=60°.

例4如圖4-1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是( )

圖4-1

解析：如圖4-2所示，設(shè)O是AB的中點(diǎn)，分析可得OM垂直平分于弦PC，所以∠CMO=90°.

圖4-2

3 定弦定角求面積最值

例5如圖5-1，已知四邊形ABCD滿足BC=CD，∠BCD=60°，∠BAD=90°，AC=6，則四邊形ABCD面積的最小值是( )

圖5-1

圖5-2

圖5-3

解析：三點(diǎn)共線問題，首先把△CBA繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，此時△CBA?△CDE，求四邊形ABCD面積最小轉(zhuǎn)化為求四邊形CADE面積最小.

∵△CBA?△CDE?CA=CE，∠BCA=∠DCE，∠CAB=∠CED.

∴∠ACE=60°?△CAE是邊長為6的等邊三角形.

SACDE=SCAE-SADE，SCAE是已知的，當(dāng)四邊形CADE面積最小時即SADE最大.

∠ADE=∠ACD+∠DCE+∠CAD+∠CED=90°+60°=150°.

∠ADE是固定的，AE的長也是固定的，可轉(zhuǎn)化為一個定弦定角問題.

弦AE對應(yīng)圓周角是150°，所以對應(yīng)圓心角是60°.

點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是一段以O(shè)為圓心以AO(OE)為半徑的圓弧.

4 “手拉手”模型與定弦定角

“手拉手”定義：兩個頂角相等且共頂點(diǎn)的等腰三角形形成的圖形.因?yàn)楣岔旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，左手拉左手，右手拉右手，所以被稱為“手拉手”模型.

“手拉手”全等(圖6-1)：AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE.

圖6-1

圖6-2

例6如圖6-3，在Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=4，AC為邊作正△ACD，連接BD，求BD的最大值.

圖6-3

圖6-4

解析：由∠ACB=90°，AB=4可知(弦AB的對角是定角，構(gòu)成一個定弦定角)，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，弦AB是不變的就以AB為邊作正△ABF，易得∠DAB=∠CAF，構(gòu)成一個手拉手模型.

容易證明出：△DAB?△CAF，∴BD=CF.

當(dāng)CF過圓心M時最大.

5 求邊長數(shù)量關(guān)系問題

例7(2018廣州中考)如圖7-1，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.連接BD，探究AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系.

圖7-1

解析：連接AC，由∠B=60°，AB=BC，易得出△ABC為等邊三角形.由∠D=30°，AC是確定的，可以得到這是一個定弦定角問題.作點(diǎn)B關(guān)于線段AC的對稱點(diǎn)B′，然后再以點(diǎn)B′為圓心，AB′為半徑作圓弧，則點(diǎn)D可以是圓弧上的任意一點(diǎn).

圖7-2

如何探究這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)這三條線段是分散的，可以通過旋轉(zhuǎn)作全等變換，把分散的線段集中起來.

將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，所以△BCD?△BAE.

得出CD=AE，BD=BE，∠BCD=∠EAB.

∵BD=BE，∠EBD=60°.

∴△EBD是等邊三角形.∴BD=ED.

∵∠EAD=360°-(∠EAB+∠BAD)

=360°-(∠BCD+∠BAD)=360°-270°=90°.

∴EA2+AD2=ED2.∴AD2+CD2=BD2.

總之，定弦定角問題都有一個固定的解題方法，其解題思路其實(shí)是一樣的，需要學(xué)生在認(rèn)真分析問題的基礎(chǔ)上，通過定弦定角找到“隱圓”.也可進(jìn)行反向思考，要想得出答案，就必須具備什么樣的條件，在猜測的基礎(chǔ)上一步步找出題目給出的隱含條件，幫助解決問題.希望以上定弦定角的應(yīng)用方法和策略能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教師和學(xué)生起到良好的理論指導(dǎo)作用，幫助學(xué)生更快速、更便捷地解決這部分的問題.