類比，讓學(xué)生對(duì)抽象的知識(shí)掌握更容易
——以《平方根》第一課時(shí)教學(xué)為例

丁 穎

(江蘇省常州市戚墅堰實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇常州，213000)

類比，就是借助于兩類不同本質(zhì)事物之間的相似性，通過(guò)比較將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊對(duì)象的知識(shí)推移到另一種新的特殊對(duì)象上去，從而對(duì)另一事物做出假定性說(shuō)明的推理方法.本文從《平方根》的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)入手，談?wù)勵(lì)惐冉虒W(xué)法在初中數(shù)學(xué)抽象知識(shí)中的應(yīng)用.

1 “類比”在《平方根》教學(xué)中的應(yīng)用

1.1 分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

本章在有理數(shù)和勾股定理等知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)系的第二次擴(kuò)張，引入無(wú)理數(shù)，將有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍，使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深入.從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)是第三學(xué)段數(shù)系擴(kuò)張的最后一個(gè)階段，中學(xué)階段有關(guān)數(shù)的問(wèn)題多是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論的，同時(shí)實(shí)數(shù)也是一元二次方程、函數(shù)等后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

本節(jié)內(nèi)容共計(jì)2個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第1課時(shí)，主要是平方根的概念和性質(zhì)的教學(xué).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求：對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程.

1.2 類比教學(xué)法的過(guò)程設(shè)計(jì)

(1) 與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比，引出本節(jié)課的“教學(xué)目標(biāo)”

師：一個(gè)陌生人，你最想了解他(她)什么？重點(diǎn)了解他什么？最難了解的是他的哪方面？

學(xué)生：了解他(她)叫什么名字？了解他(她)與我們周圍熟悉的人有什么關(guān)系？了解他(她)具有什么性格？最難了解的是他(她)的性格，需要漫長(zhǎng)的過(guò)程.

師：說(shuō)說(shuō)看“平方根”知識(shí)，你想了解它什么？

學(xué)生互相說(shuō)說(shuō)，教師及時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)上.

(2) 與舊知識(shí)進(jìn)行類比，引出平方根與平方互為“逆運(yùn)算”

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)哪些運(yùn)算呢？它們中互為逆運(yùn)算有哪些呢？

學(xué)生：加法、減法、乘法、除法、乘方等五種運(yùn)算.加法與減法互逆、乘法與除法互逆.

師：乘方有沒(méi)有逆運(yùn)算呢？我們先來(lái)看下面的問(wèn)題：

問(wèn)題一：一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為6厘米，那么這個(gè)正方形面積為——

這是已知底數(shù)、指數(shù)，求冪的乘方運(yùn)算.

問(wèn)題二：如果一個(gè)正方形的面積為100平方米，那邊它的邊長(zhǎng)為多少？

解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為X米，則

這是已知指數(shù)和冪，求底數(shù)的問(wèn)題.正與上面的乘方運(yùn)算相反，我們雖然不知道這是什么運(yùn)算，但我們通過(guò)口算很容易求出X=10.

(3) 將“樹(shù)根”“草根”等生活中事物名稱與平方根概念進(jìn)行類比，引入平方根的概念

我們來(lái)看下面的問(wèn)題：

探索 發(fā)現(xiàn)

設(shè)計(jì)目的：這是引入平方根概念的切入點(diǎn)，要讓學(xué)生充分地進(jìn)行思考和比對(duì).知道“兩個(gè)互為相反數(shù)的平方等于同一個(gè)數(shù)”，為平方根的引入作準(zhǔn)備.

(4) 概括：x2=a(a≥0)

因?yàn)閤2≥0，所以a≥0，求x就是幫a找源頭，即幫a找根子，是什么數(shù)平方得到a的？

類比：樹(shù)有樹(shù)根，草有草根，要知道是什么根子，就看根子上方長(zhǎng)什么梢子.

因?yàn)閤的右上方指數(shù)是2，所以x是a的二次方根，也就是說(shuō)x是a的平方根.

平方根概念：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根.

根號(hào)的書(shū)寫(xiě)：先寫(xiě)左邊勾號(hào)，寫(xiě)好被開(kāi)方數(shù)后，再寫(xiě)上面的一橫.

平方根史話：以古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的守舊與其學(xué)生西伯斯的創(chuàng)新進(jìn)行類比，讓學(xué)生了解根號(hào)的由來(lái)，激發(fā)學(xué)生勇于創(chuàng)新，不局限于已有結(jié)論.

(5) 與生活中人的“戴帽”進(jìn)行類比，講解如何求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根

這個(gè)定義，可以簡(jiǎn)記為：一數(shù)平方根，根號(hào)頭上戴，正負(fù)莫丟掉.

開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)平方根的運(yùn)算，叫開(kāi)平方.

(6) 開(kāi)平方與乘方類比，理解新舊知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系

開(kāi)平方是已知指數(shù)和冪，求底數(shù)，與平方運(yùn)算正好相反，所以開(kāi)方與乘方是互為逆運(yùn)算.由于平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，因此可以通過(guò)平方運(yùn)算來(lái)求一個(gè)數(shù)的平方根，也可以通過(guò)平方運(yùn)算來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的平方根.

求一個(gè)數(shù)的平方根方法：

練習(xí)1：0.09的平方根記作

i.被開(kāi)方數(shù)是完全平方數(shù)的開(kāi)平方方法：被開(kāi)方數(shù)要出來(lái)，先變完全平方數(shù)，去掉平方去根號(hào)，符號(hào)寫(xiě)在底數(shù)旁.

ii.被開(kāi)方數(shù)不是完全平方數(shù)的開(kāi)平方方法：不能寫(xiě)成平方數(shù)，根號(hào)里面長(zhǎng)期住.

練習(xí)2：41的平方根是多少呢？

④ 因?yàn)椋?=-36，“？”不存在，因此負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以-36沒(méi)有平方根.

通過(guò)分類討論，使學(xué)生對(duì)有理數(shù)的平方根有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步深化了平方根的概念，加深了對(duì)符號(hào)意義的理解和對(duì)平方根概念的靈活應(yīng)用，這是平方根知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).

2 類比教學(xué)材料的編寫(xiě)與制作方法

2.1 類比前的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，主要是促使學(xué)生發(fā)散思維，在原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中尋找與新知識(shí)(靶問(wèn)題)匹配的類比源，也就是我們所說(shuō)的“源問(wèn)題”.這個(gè)過(guò)程應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)搜尋建構(gòu)，但所用時(shí)間較長(zhǎng)，容易誤入歧途，或者根本找不到類比源.可能學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有這種類比的思維習(xí)慣，也不知道如何搜尋類比源.為了讓學(xué)生順利找到類比源，教師必須發(fā)揮好主導(dǎo)作用，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串來(lái)引導(dǎo)學(xué)生找到相應(yīng)的類比源.如本節(jié)課我設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題，串起本節(jié)知識(shí)點(diǎn)：① 與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)“了解一個(gè)陌生人”進(jìn)行類比，引出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)；② 與舊知識(shí)進(jìn)行類比，引出乘方與開(kāi)方互為“逆運(yùn)算”，理解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系；③ 與“樹(shù)根”“草根”等生活中事物名稱與平方根概念進(jìn)行類比，引入平方根的概念；④ 以古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的守舊與其學(xué)生西伯斯的創(chuàng)新進(jìn)行類比，讓學(xué)生了解根號(hào)的由來(lái)，激發(fā)學(xué)生勇于創(chuàng)新，不局限于已有結(jié)論.⑤ 與生活中人的“戴帽”進(jìn)行類比，講解如何求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根.

2.2 類比的實(shí)施環(huán)節(jié)

類比，最核心的目標(biāo)就是找到“有效的類比條件”，順利實(shí)現(xiàn)由舊知識(shí)向新知識(shí)的類比.所謂“有效的類比條件”，就是類比實(shí)施的突破口，找到它就相當(dāng)于找到了一把打開(kāi)類比大門(mén)的鑰匙，這是類比實(shí)施的中心環(huán)節(jié)，也是類比教學(xué)的難點(diǎn).為了突破這個(gè)難點(diǎn)，就需要教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的體系要有較為深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)各部分知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系有充分地了解，善于發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的類比關(guān)系，做好長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)、思考和積累.

2.3 類比結(jié)果的驗(yàn)證

并不是每種形式的類比都需要有此過(guò)程，有很多情況，此環(huán)節(jié)就已經(jīng)蘊(yùn)含在類比實(shí)施的過(guò)程中了.對(duì)于類比結(jié)果的驗(yàn)證有兩點(diǎn)好處：一方面可以檢驗(yàn)類比的正誤，重新判斷一下這個(gè)類比的可信度；另一方面，如果類比是正確的，通過(guò)驗(yàn)證可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，從而達(dá)到鞏固類比所得到新知識(shí)的目的.

2.4 多元評(píng)價(jià)

課堂上要對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中所學(xué)知識(shí)效果情況進(jìn)行評(píng)價(jià).這種評(píng)價(jià)不斷指導(dǎo)著學(xué)生的情感態(tài)度和價(jià)值觀，指導(dǎo)著學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略，保證教學(xué)目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn).

一方面，可以進(jìn)行學(xué)生之間的自評(píng)和互評(píng).課堂上每學(xué)完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)我就讓學(xué)生進(jìn)行自評(píng)和互評(píng)一次，培養(yǎng)學(xué)生的自尊心和正確評(píng)價(jià)自我的能力，提高其自信心.評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)就是根據(jù)回答的準(zhǔn)確性和回答的速度分為A、B、C三等.學(xué)生通過(guò)自評(píng)和互評(píng)可以發(fā)現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中所取得的成績(jī)和不足，不斷地調(diào)整自己.

另一方面，可以進(jìn)行教師評(píng)價(jià).學(xué)生的自評(píng)和互評(píng)，都必須與老師的評(píng)價(jià)結(jié)合起來(lái)，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，教師的作用是展示優(yōu)秀學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和評(píng)價(jià)方法，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)自評(píng).多采用一些鼓勵(lì)性的評(píng)價(jià)語(yǔ)言.教學(xué)評(píng)價(jià)能夠幫助教師及時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，便于修改或調(diào)整教學(xué)活動(dòng)計(jì)劃，獲得更加理想的教學(xué)效果.