工程機械中大變形梁的工程算法探索

劉宇新，倪長輝，張 洋，王雅妮

（1.中聯(lián)重科股份有限公司建設(shè)機械關(guān)鍵技術(shù)國家重點實驗室，湖南 長沙 410000；2.中聯(lián)重科股份有限公司工程起重機分公司，湖南 長沙 410000）

細長梁柔性結(jié)構(gòu)在各行各業(yè)中應(yīng)用極為廣泛，常見的如直升機螺旋槳、汽輪機低壓末級葉片、衛(wèi)星天線、起重機臂架、泵車折疊臂等。這些結(jié)構(gòu)都具有相同的特點——幾何非線性因素影響較大。

為提高細長柔性梁結(jié)構(gòu)變形的計算精確度，從力學模型簡化到計算分析方法已經(jīng)進行了大量的研究。在模型簡化方面，目前較為成熟的2 種簡化模型分別為Euler 梁和Timoshenko 梁。常見的材料力學、結(jié)構(gòu)力學等經(jīng)典力學教程中，都是基于梁的小變形彈性假設(shè)進行處理的，該處理方法因未考慮幾何非線性的影響，其計算結(jié)果誤差較大。目前針對細長梁柔性結(jié)構(gòu)變形的精準計算方法，國內(nèi)外已有大量的研究。Saje［1］從基礎(chǔ)理論出發(fā)，針對梁的變形分析提出了一種變分原理。關(guān)于梁的大變形分析方法，Dado 等［2］進行了系統(tǒng)總結(jié)，常見的有橢圓積分法［3］、打靶法［4］、有限差分法［5］及有限元法［6-7］。有限元法是目前應(yīng)用最為廣泛的一種方法，得益于計算機技術(shù)的發(fā)展。有限元法中最常用的2種方法分別為Euler描述法［8］和Lagrangian描述法［9］。

隨著人工智能（artificial intelligence，AI）技術(shù)的發(fā)展，機械行業(yè)對智能控制等AI 技術(shù)需求相應(yīng)增加，對長細梁柔性結(jié)構(gòu)精準控制時，需要精確的變形響應(yīng)計算方法，并且響應(yīng)時間要求在毫秒級。傳統(tǒng)的有限元及非線性迭代計算方法雖然精度能夠滿足響應(yīng)要求，但計算時間不能滿足毫秒級要求，因此急需一種滿足一定精度要求的快速變形計算方法。本文以有限元及梁偏微分方程為基礎(chǔ)，推導一種快速計算梁變形的計算方法。

1 梁的基本方程

梁理論對于撓曲線的微分方程為［10］

式中：ρ為梁撓曲線的曲率半徑；θ為梁撓曲線x處的截面轉(zhuǎn)角；s為撓曲線弧長；M（x）為梁的彎矩方程；E為材料彈性模量；I（x）為梁橫截面慣性矩。

小變形時，θ很小，可以近似認為：tanθ=sinθ=θ，并且忽略了梁的軸向變形的影響。常見的等截面懸臂梁端部受力結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 懸臂梁載荷關(guān)系Fig.1 Schematic of cantilever beam loads

梁的微分控制方程為［11］

解該方程通常需要采用數(shù)值積分的方法進行求解，需要不斷進行迭代求解，相對計算時間較長。同時對于變截面連續(xù)梁，其微分形式比式（2）更為復(fù)雜，其求解難度更大。

2 工程算法探索

懸臂梁作為工程機械行業(yè)中常見的機械結(jié)構(gòu)形式，在工作過程中的變形狀態(tài)是從設(shè)計到使用階段中影響其性能的一個重要參數(shù)指標。在設(shè)計階段，對變形的準確計算能夠有效地指導設(shè)計，從而設(shè)計出性能更優(yōu)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；在使用階段，對變形的準確計算便于對機械進行精準智能控制，是自動控制技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)。

對于懸臂結(jié)構(gòu)目前已知的幾種典型變形計算方法包括：放大系數(shù)法、疊加法、等效慣性矩法、微分方程數(shù)值求解等解析法和有限元法（小變形、大變形）。

以上6 種常用懸臂梁變形計算方法基本囊括了目前處理懸臂梁結(jié)構(gòu)的計算方法，并且這些計算方法的共同輸入?yún)?shù)有：梁的長度L，梁的截面慣性矩I，梁的彈性模量E，梁的外載荷P。其中梁的長度及慣性矩還需要根據(jù)每一段梁的不同截面分別給出。最為重要的一點是以上各分析方法都是建立在簡化力學模型的基礎(chǔ)上完成的，在計算時未考慮制造誤差、裝配間隙等因素對最終變形計算結(jié)果的影響。因為目前的計算需求通常在設(shè)計階段，一般采用安全系數(shù)的方式覆蓋這些因素的影響，只需要保證在安全系數(shù)覆蓋的前提下滿足相關(guān)設(shè)計規(guī)范的要求即可。

隨著精準控制要求越來高，單純的只是保證結(jié)構(gòu)安全已經(jīng)不足以滿足需求。為了實現(xiàn)實時的精準控制，需要對懸臂結(jié)構(gòu)工作后變形量進行精確判定。為了做到變形量的實時動態(tài)輸出，其計算響應(yīng)時間通常要求小于500 ms，同時計算精度也需要滿足需求，這對結(jié)構(gòu)變形計算提出了新的要求。傳統(tǒng)計算變形的方法已經(jīng)不能同時滿足精度及計算響應(yīng)時間要求。

本文以梁微分方程為基礎(chǔ)，采用泰勒展開的方式，通過結(jié)合實測數(shù)據(jù)進行數(shù)值擬合的形式建立梁的變形解析表達式。泰勒展開數(shù)學描述為

若函數(shù)f(x)在包含x0的某個區(qū)間（a，b）內(nèi)具有（n+1）階導數(shù)，則對于任意x∈(a，b)，有

結(jié)合梁變形后曲線及式（2），在（0，L）內(nèi)存在多階導數(shù)，對于懸臂梁結(jié)構(gòu)的變形方程y(x)，x∈[0，L]，令x0=0，顯然y(x0)=0。則對于懸臂梁結(jié)構(gòu)其變形方程可以根據(jù)式（3）結(jié)果簡寫為（忽略高階項，這里只保留3階，且C0=0，C1=0）：

對于式（4）中的系數(shù)項，由式（2）很難直接求出其具體數(shù)值，這里2個未知數(shù)C2和C3，需要至少2個已知變量才能求出式（4）的具體表達式。

由于以上推導都是基于力學簡化的梁模型獲得的，實際梁結(jié)構(gòu)中還存在制造誤差、裝配間隙等因素的影響，因此，要獲得較為準確的式（4）表達式，需要通過與試驗數(shù)據(jù)相結(jié)合的方式確定最終的未知參數(shù)C2和C3。對于實際產(chǎn)品，大多數(shù)產(chǎn)品出廠前會進行強度、剛度（變形）的驗證試驗，此時可以獲得產(chǎn)品的真實變形量，將這些變形量作為已知條件代入式（4）則可以求出具體的表達式。

3 算例

本文以汽車起重機的臂架結(jié)構(gòu)為例進行數(shù)值驗證，某汽車起重機主臂結(jié)構(gòu)如圖2所示。由于變幅油缸的軸向剛度很大，變幅油缸與伸縮主臂鉸接點以下及起重機工作臺形成一個穩(wěn)定的三角形區(qū)域，臂架鉸點到變幅點之間基本不會產(chǎn)生變形，因此可以將主臂實際結(jié)構(gòu)等效為根部固定的懸臂梁。

圖2 汽車起重機主臂結(jié)構(gòu)Fig.2 Schematic of boom

由圖2可知：以吊臂鉸點為原點、懸臂梁軸向為x軸、懸臂梁橫向為y軸，建立坐標系。將吊載沿坐標系分解為橫向力T和軸向力N。若采用傳統(tǒng)解析法中計算效率最高的等效慣性矩法求解，則端部撓度計算公式描述為

式中：f1=為橫向力產(chǎn)生的吊臂端部撓度；Cf為放大系數(shù)［12］；Ncr為臨界力；E為彈性模量；I為等效慣性矩。

在求解等效慣性矩與臨界力時，計算公式復(fù)雜，需輸入每節(jié)臂的臂長、慣性矩及臂節(jié)間搭接長度等參數(shù)。

使用本文實測數(shù)據(jù)結(jié)合數(shù)值擬合方法，只需要代入不同工況下的臂頭撓度實測數(shù)據(jù)，即可反求得等效慣性矩I、臨界力Ncr等參數(shù)，從而得到吊臂端部撓度的具體表達式，在此基礎(chǔ)上，采用數(shù)值擬合方法，即可得到整個吊臂的撓度變形曲線。

以500 t 全地面起重機主臂全伸工況為數(shù)值算例，展開驗證分析，主臂參數(shù)信息見表1。為了描述方便，對主臂的面積和慣性矩數(shù)值進行歸一化處理，設(shè)第一節(jié)臂的面積和慣性矩為1。

表1 臂架參數(shù)Tab.1 Boom parameters

如圖3所示，基于ANSYS 按表1實際尺寸沿吊臂軸線方向建立吊臂的有限元仿真計算模型。約束吊臂后鉸點，將吊載沿坐標系分解，打開結(jié)構(gòu)的大變形效應(yīng)。在主臂全伸工況下，選取了2 種不同仰角，每個仰角選取了3 種不同吊重。6 種工況組合見表2。

圖3 汽車起重機主臂結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.3 Finite element model of boom

表2 工況列表Tab.2 Tableofload cases

在全伸臂長L=85 m，設(shè)EI=a，Ncr=b，則式（5）可以轉(zhuǎn)化為

代入2個不同工況，即可求解參數(shù)a、b，從而得到吊臂端部撓度的表達式。因此，將工況1和工況2載荷和撓度數(shù)據(jù)，代入式（6），得到a=9.67×109，b=1.76×106。根據(jù)式（6）及L=85 m、a=9.67×109、b=1.76×106，可以求得工況3～6的吊臂端部數(shù)據(jù)，并將該數(shù)據(jù)與ANSYS仿真數(shù)據(jù)對比，誤差見表3。由表3可知，所有工況的吊臂端部撓度絕對誤差不超過0.25 m。

表3 吊臂端部撓度數(shù)據(jù)誤差對比表Tab.3 Comparison table of displacement error onboom ends

基于吊臂端部撓度數(shù)據(jù)及式（4）懸臂梁撓曲線方程，將吊臂等效為等截面梁進行撓曲線數(shù)值擬合，數(shù)值擬合曲線方程的解析式為

式中：a=9.67×109；b=1.76×106；L=85。

工況1～6工況的數(shù)值擬合曲線與仿真變形曲線對比如圖4所示。由圖4可知，6個工況下2條曲線的撓度最大差值不超過0.5 m。對于500 t全地面起重機，在主臂全伸工況下，起重量不大于20 t。因此，本文的工程算法即實測數(shù)據(jù)結(jié)合數(shù)值擬合方法具有很強的工程適用性，且誤差在工程允許范圍內(nèi)。

圖4 撓度曲線對比Fig.4 Comparison diagram of displacement curves

4 結(jié)語

本文采用實測數(shù)據(jù)與數(shù)值擬合相結(jié)合的方式，能夠快速、準確地實時求出工程機械中梁結(jié)構(gòu)的變形數(shù)學表達式，這與傳統(tǒng)的基于力學簡化模型的計算方法相比，避免了輸入?yún)?shù)多的情況，在計算效率與計算精度無法同時滿足需求的情況，為實時智能控制提供了保障。