足式機(jī)器人腿部零動(dòng)力元機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

白 龍，劉佳偉

（北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192）

近3年來(lái)，新冠疫情給人們的生產(chǎn)生活帶來(lái)了諸多不便，小區(qū)封閉使快遞無(wú)法利用人力送貨上門。因此，國(guó)內(nèi)大型的物流企業(yè)如京東、美團(tuán)等都開(kāi)發(fā)了各自的物流機(jī)器人。這些物流機(jī)器人以輪式機(jī)器人為主，能夠在結(jié)構(gòu)化地面上實(shí)現(xiàn)貨物的轉(zhuǎn)運(yùn)，而對(duì)于一些非結(jié)構(gòu)化路面如溝坎樓梯等，輪式機(jī)器人就難以被應(yīng)用。因此，開(kāi)發(fā)一款對(duì)地形適應(yīng)性更強(qiáng)的足式機(jī)器人對(duì)于解決此類問(wèn)題尤為重要。

目前，足式機(jī)器人大體分為仿人型雙足機(jī)器人、仿哺乳動(dòng)物4 足機(jī)器人及仿爬蟲(chóng)的6 足和8 足機(jī)器人等［1］。相比較而言，4 足機(jī)器人比雙足機(jī)器人具有更好的穩(wěn)定性，比6 足、8 足機(jī)器人結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，控制更易實(shí)現(xiàn)，在多種場(chǎng)景中具有廣闊的應(yīng)用前景［2］。

經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，4 足機(jī)器人研究領(lǐng)域已經(jīng)取得了豐碩的成果。國(guó)外比較有代表性的如BigDog［3-4］、LittleDog［5］、Cheetah［6］、TAITANXIII［7］、MiniHyQ［8］、ANYmal［9］等，這些4 足機(jī)器人腿部多采用關(guān)節(jié)型構(gòu)型并在關(guān)節(jié)處搭配驅(qū)動(dòng)器的設(shè)計(jì)。國(guó)內(nèi)山東大學(xué)的SCalf［10］、浙江大學(xué)的“赤兔”［11］、北京交通大學(xué)的DCat［12］、云深處科技公司的“絕影”［13］等4足機(jī)器人也都采用了關(guān)節(jié)型腿部結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。上海交通大學(xué)的“小象”［14］則采用了連桿型的結(jié)構(gòu)對(duì)腿部進(jìn)行設(shè)計(jì)。綜上可知，目前4 足機(jī)器人腿部構(gòu)型主要有關(guān)節(jié)型和連桿型2 種［15］。關(guān)節(jié)型腿部構(gòu)型中驅(qū)動(dòng)器需安裝在關(guān)節(jié)位置處，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，控制容易，但會(huì)導(dǎo)致腿的質(zhì)量增加，能耗上升。連桿型腿部構(gòu)型中驅(qū)動(dòng)器可安裝在非關(guān)節(jié)位置處，連桿傳遞動(dòng)力使腿部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化。通過(guò)設(shè)計(jì)連桿可將電機(jī)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)為腿的擺動(dòng)，避免電機(jī)換向沖擊導(dǎo)致額外能量損耗，提高能量利用率。

針對(duì)現(xiàn)有電機(jī)驅(qū)動(dòng)的4 足機(jī)器人控制較復(fù)雜、腿部慣量較大、頻繁換向的問(wèn)題，提出一種基于曲柄搖桿機(jī)構(gòu)和平行四邊形機(jī)構(gòu)復(fù)合的腿結(jié)構(gòu)，降低了控制復(fù)雜度與腿的質(zhì)量。通過(guò)對(duì)比不同桿長(zhǎng)條件下腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，確定了較為合理的連桿尺寸。對(duì)此種機(jī)器人腿部結(jié)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。為后續(xù)進(jìn)行軌跡規(guī)劃、驅(qū)動(dòng)參數(shù)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

1 4足機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)形式豐富，可以實(shí)現(xiàn)平面或空間中多種運(yùn)動(dòng)軌跡。構(gòu)件之間采用低副連接，具有承載能力強(qiáng)、可靠性高、加工成本低等特點(diǎn)。參考曲柄搖桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，曲柄整周轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)搖桿擺動(dòng)固定角度，此特性與電機(jī)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)為腿部擺動(dòng)需求相似。將曲柄作為與電機(jī)連接的主動(dòng)件，搖桿即可作為機(jī)器人的腿部實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)的功能?？紤]到單自由度腿的足端軌跡過(guò)于簡(jiǎn)易，機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境運(yùn)動(dòng)適應(yīng)性較差的問(wèn)題，兩自由度腿的足端比單自由度的能生成更多的運(yùn)動(dòng)軌跡，在合理的尺寸配置下，能產(chǎn)生較平滑的足端軌跡。為實(shí)現(xiàn)兩自由度的腿結(jié)構(gòu)，采用曲柄搖桿機(jī)構(gòu)與平行四邊形機(jī)構(gòu)復(fù)合的方式。由四邊形的一個(gè)長(zhǎng)邊作為大腿，一側(cè)短邊與搖桿機(jī)構(gòu)固聯(lián)為一個(gè)整體，另一側(cè)短邊延長(zhǎng)作為小腿。

腿部的機(jī)構(gòu)如圖1所示，其中AB為曲柄，BC為連桿，CD為搖桿，ABCD構(gòu)成曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，DE為大腿，HEF為小腿，DEHG構(gòu)成平行四邊形機(jī)構(gòu)。桿CD與DG為同一構(gòu)件，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)與平行四邊形機(jī)構(gòu)在D點(diǎn)復(fù)合，A、D為機(jī)架在同一水平線上。電機(jī)驅(qū)動(dòng)曲柄AB進(jìn)行整周轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，桿CDG在一定的角度內(nèi)擺動(dòng)，在桿組DEHG的作用下桿HEF與桿DG有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，實(shí)現(xiàn)小腿的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)。DE桿作為主動(dòng)桿在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行擺動(dòng)，為腿提供一個(gè)額外的自由度。足端F的擺動(dòng)范圍能夠通過(guò)調(diào)節(jié)各個(gè)桿件的桿長(zhǎng)與桿CD與DG之間的夾角實(shí)現(xiàn)，并且通過(guò)調(diào)節(jié)桿長(zhǎng)即可實(shí)現(xiàn)豐富的足端運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖1 腿機(jī)構(gòu)Fig.1 Schematic diagram of the leg mechanism

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及驗(yàn)證

2.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖2展示了機(jī)器人腿部的坐標(biāo)系建立情況。連接CG、GM，構(gòu)件輔助三角形CDG與GMD，在A、D兩點(diǎn)間建立絕對(duì)坐標(biāo)系｛O0｝，D點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)系中的位置為（x1y1z1）。各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)軸作為坐標(biāo)系的Z軸方向，建立局部坐標(biāo)系｛Oi｝，θ1、θ3～θ6表示桿件與水平方向的夾角，θ2表示桿DE與桿EF之間的夾角，θ7為桿DG與豎直方向的夾角，所有桿件長(zhǎng)度為已知。首先對(duì)4 桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到關(guān)于搖桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系后，利用齊次坐標(biāo)變換的方法對(duì)足端運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析。

圖2 腿部坐標(biāo)系Fig.2 Leg coordinate system

4桿機(jī)構(gòu)的封閉矢量方程：

式中：LAD1為A、D兩點(diǎn)水平方向的距離；LAD2為A、D兩點(diǎn)豎直方向的距離；θ4為電機(jī)驅(qū)動(dòng)的曲柄與水平方向的夾角，角度已知。

對(duì)式（1）進(jìn)行平方求和再化簡(jiǎn)可得連桿與水平方向夾角θ5：

將式（2）代入4 桿機(jī)構(gòu)的封閉矢量方程中，可以求解連桿與水平方向的夾角θ6：

由圖2中的角關(guān)系，可以計(jì)算DG桿與豎直方向的夾角θ7和小腿相對(duì)于大腿轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ2：

在已知腿部桿長(zhǎng)LDE、LEF，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1、θ2以及D點(diǎn)坐標(biāo)（x1y1z1），即可通過(guò)齊次坐標(biāo)變換進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析列寫(xiě)出腿的位姿表達(dá)式：

式中：c為cos函數(shù)；s為sin函數(shù)。

為驗(yàn)證公式的正確性，參考機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖建立單腿模型，使用ADAMS 軟件對(duì)4 桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析，能夠得到相應(yīng)桿件的運(yùn)動(dòng)曲線。將得到的曲線與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果利用Matlab 進(jìn)行對(duì)比運(yùn)動(dòng)學(xué)分析驗(yàn)證。由式（6）可以得到4 桿機(jī)構(gòu)中連桿、搖桿與水平方向夾角θ5、θ6隨時(shí)間變化的曲線和膝關(guān)節(jié)處夾角θ2的曲線圖。Adams 的仿真曲線可以對(duì)單腿三維模型的曲柄施加驅(qū)動(dòng)，通過(guò)測(cè)量關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角獲得。對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

圖3 各連桿角度的變化曲線Fig.3 The curves of the angles of the connecting rods

在角度計(jì)算分析驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，將計(jì)算與仿真的足端運(yùn)動(dòng)軌跡結(jié)果對(duì)比，如圖4所示。

圖4 足端運(yùn)動(dòng)軌跡投影Fig.4 Foot trajectory projection

上述連桿角度的對(duì)比結(jié)果和足端軌跡的對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性。

2.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

已知髖關(guān)節(jié)位置Od=（x1y1z1）T以及足端位置Of=（x3y3z3）T，求解大腿、小腿關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度θ1、θ2。假設(shè)：

使03T=01T·12T·23T兩側(cè)同時(shí)乘以01T-1，得

式中：01T為正交矩陣所以。01T-1=01TT，將12T和23T代入可得

于是有

對(duì)式（10）進(jìn)行平方求和再化簡(jiǎn)可得大腿與水平方向的夾角θ1：

將θ1結(jié)果代入式（10），可得小腿相對(duì)大腿夾角θ2：

式中：D=(x3-x1-LDEcθ4)/LEF

根據(jù)圖2中的角關(guān)系可以得

將θ6代入式（1）中可得

將式（15）代入帶回式（1）中可得

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析由已知的髖關(guān)節(jié)、足端坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算可以得到大腿小腿在當(dāng)前位置對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度。在數(shù)值計(jì)算與仿真中確定相同的足端初始位置，并且由初始位置開(kāi)始向x軸正方向水平移動(dòng)，分別得到大腿和小腿關(guān)節(jié)角度變化曲線，對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 大腿和小腿關(guān)節(jié)角度隨足端位置變化曲線Fig.5 Thigh and calf joint angles vary with foot position

由圖5驗(yàn)證了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性，可以得到不同足端位置時(shí)大腿、小腿關(guān)節(jié)所需的驅(qū)動(dòng)角度，為后續(xù)驅(qū)動(dòng)函數(shù)建立奠定了基礎(chǔ)。

3 尺寸優(yōu)化

以上完成了機(jī)器人腿部的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，但是由于4 桿機(jī)構(gòu)存在急回特性以及搖桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在速度波動(dòng)，所以還需要對(duì)腿部的機(jī)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化，盡量減小這些問(wèn)題對(duì)機(jī)器人腿部運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響。整機(jī)模型設(shè)計(jì)需要以4 桿腿結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，盡可能使機(jī)器人腿部小型化輕便化，使其在復(fù)雜環(huán)境中具有較高的靈巧性。A、D兩點(diǎn)作為機(jī)架連接點(diǎn)與機(jī)器人的軀干直接連接，兩個(gè)機(jī)架連接點(diǎn)之間要為驅(qū)動(dòng)電機(jī)以及控制器的安裝預(yù)留出一定的空間。綜合第一代樣機(jī)模型以及設(shè)計(jì)需求，腿部?jī)蓚€(gè)機(jī)架連接點(diǎn)上的距離為100 mm。

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)存在無(wú)急回特性的充分必要條件是曲柄、機(jī)架長(zhǎng)度的平方和與連桿、搖桿長(zhǎng)度的平方和相等。在機(jī)架長(zhǎng)度確定情況下，根據(jù)后期樣機(jī)設(shè)計(jì)及裝配所需要的合理?xiàng)U長(zhǎng)選定其他桿件的尺寸范圍，曲柄長(zhǎng)30～40 mm，連桿長(zhǎng)30～90 mm，搖桿長(zhǎng)度30～90 mm。使用Matlab軟件對(duì)數(shù)值進(jìn)行篩選，可以得到8組滿足無(wú)急回特性的桿長(zhǎng)數(shù)值，見(jiàn)表1。

表1 符合曲柄搖桿機(jī)構(gòu)無(wú)急回特性的桿長(zhǎng)條件Tab.1 It conforms to the rod length condition of crank and rocker mechanism without quick returnmm

分別對(duì)8 組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，選擇兩個(gè)桿長(zhǎng)作為定量，一個(gè)桿長(zhǎng)作為變量，分析不同桿長(zhǎng)條件下對(duì)小腿角速度以及角加速度的影響。

首先固定連桿與搖桿的尺寸，將曲柄尺寸作為變量進(jìn)行計(jì)算，繪制小腿的運(yùn)動(dòng)曲線，如圖6所示。由圖6可知，當(dāng)曲柄L1尺寸越小時(shí)，小腿的角速度和角加速度就越小，對(duì)腿部的運(yùn)動(dòng)就越有利。

圖6 曲柄尺寸變化對(duì)小腿運(yùn)動(dòng)的影響Fig.6 Influence of crank size change on calf movement

連桿尺寸L2作為變量時(shí)的運(yùn)動(dòng)曲線如圖7所示。連桿尺寸增大時(shí)會(huì)導(dǎo)致小腿擺動(dòng)的角速度和角加速度的變化范圍更大，所以連桿尺寸應(yīng)越小越好。

圖7 連桿尺寸變化對(duì)小腿運(yùn)動(dòng)的影響Fig.7 Influence of linkage size change on calf movement

由搖桿尺寸L3作為變量時(shí)的運(yùn)動(dòng)曲線如圖8所示。由圖8可知，搖桿尺寸越長(zhǎng)，小腿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度曲線幅值變化范圍就越小。

圖8 搖桿尺寸變化對(duì)小腿加速度的影響Fig.8 Influence of rocker size change on leg acceleration

平行四邊形機(jī)構(gòu)中兩短邊分別與搖桿和小腿相連接，三者具有相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線。長(zhǎng)邊作為機(jī)器人的大腿，具有一個(gè)獨(dú)立的自由度。將3 種不同的大腿長(zhǎng)度進(jìn)行了對(duì)比，如圖9所示。坐標(biāo)原點(diǎn)代表大腿關(guān)節(jié)的固定點(diǎn)，從上至下3 個(gè)網(wǎng)格分別代表3種不同的大腿尺寸，第1 層網(wǎng)格150 mm，第2 層網(wǎng)格175 mm，第3 層網(wǎng)格200 mm，小腿尺寸均相同，在關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和小腿尺寸相同的條件下，大腿長(zhǎng)度越長(zhǎng)，足端軌跡畫(huà)出的點(diǎn)陣面積越大，說(shuō)明腿部擁有較好的運(yùn)動(dòng)性能。

圖9 不同大腿尺寸工作空間對(duì)比Fig.9 Comparison of workspace with different thigh sizes

綜上所述，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中，在曲柄和連桿的尺寸應(yīng)盡量小，搖桿尺寸盡量大的條件下，消除4桿機(jī)構(gòu)對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的不利影響效果最好。依照這一原則在滿足曲柄搖桿機(jī)構(gòu)無(wú)急回特性的數(shù)據(jù)中，第1 組數(shù)據(jù)尺寸是較為合理的。平行四邊形的長(zhǎng)邊尺寸（即大腿桿長(zhǎng)度）與足端的越障能力有直接關(guān)系，大腿越長(zhǎng)機(jī)器人足端的工作空間越大，所以大腿尺寸應(yīng)在滿足結(jié)構(gòu)合理的條件下盡可能大。

4 結(jié)語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種由4 桿機(jī)構(gòu)傳遞動(dòng)力的機(jī)器人腿部方案，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)腿部擺動(dòng)的設(shè)想。通過(guò)對(duì)單腿模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，同時(shí)通過(guò)齊次坐標(biāo)變換對(duì)足端的位置和姿態(tài)進(jìn)行了計(jì)算。在已知足端軌跡的情況下對(duì)腿部進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，獲得了大腿及小腿關(guān)節(jié)角度的變化曲線。同時(shí)通過(guò)建立模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性，為后續(xù)足端軌跡規(guī)劃提供參考。通過(guò)分析可知機(jī)器人越障能力與大腿尺寸有關(guān)，大腿越長(zhǎng)，機(jī)器人的越障能力越好。當(dāng)曲柄尺寸較小、連桿與搖桿尺寸較大時(shí)4 桿機(jī)構(gòu)的速度波動(dòng)最小，能有效減小對(duì)腿部運(yùn)動(dòng)的影響。后續(xù)工作將會(huì)對(duì)足端軌跡進(jìn)行規(guī)劃，完成驅(qū)動(dòng)函數(shù)的設(shè)計(jì)。依據(jù)本文運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和尺寸優(yōu)化的數(shù)據(jù)進(jìn)行虛擬樣機(jī)仿真分析，并搭建試驗(yàn)樣機(jī)完成相應(yīng)的測(cè)試。