分布與端部激勵(lì)下懸索瞬時(shí)相頻特性對(duì)比

孫測(cè)世， 李 聰， 鄧正科， 譚 超

(1. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074； 2. 湖南城市學(xué)院設(shè)計(jì)研究院有限公司，長(zhǎng)沙 410005)

索結(jié)構(gòu)在超高壓輸電線、大型體育館及大跨徑橋梁中應(yīng)用廣泛，且多數(shù)結(jié)構(gòu)以多索形式共同承載[1]。索結(jié)構(gòu)是一種柔性結(jié)構(gòu)，極易在外激勵(lì)作用下，產(chǎn)生各種不同大幅振動(dòng)，進(jìn)而引發(fā)一系列損壞[2-4]。其中大幅振動(dòng)與索間相位差引起的碰撞問題隨著超高建筑、超大跨徑橋梁的發(fā)展愈加突出，全球的多座橋均發(fā)生過拉索碰撞事件[5-7]，給橋梁帶來非常大的危害。

大振幅[8]和相位差是索發(fā)生碰撞的根源，前者是幅頻特性的反映，后者是相頻特性的反映。索碰撞的必要條件是相頻特性差異，相頻特性是指響應(yīng)與激勵(lì)的相位差隨激勵(lì)頻率的變化。相關(guān)研究表明響應(yīng)與激勵(lì)的相位差與激勵(lì)頻率有關(guān)[9-10]，且在多模態(tài)下，結(jié)構(gòu)不同模態(tài)之間的相位差也受激勵(lì)頻率的影響[11]。目前，對(duì)相頻特性或相位差的關(guān)注已不少，如Rega等對(duì)橫向荷載作用下懸索的研究表明響應(yīng)滯后于激勵(lì)，其相位差與激勵(lì)頻率有關(guān)。Bossens等[12]進(jìn)行了大規(guī)模的主動(dòng)控制模型試驗(yàn)，他們給予懸索的主動(dòng)端部振動(dòng)與懸索索力的相位差也隨激勵(lì)頻率變化。Baicu等[13]對(duì)一端施加橫向激勵(lì)的水平懸索進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其相頻曲線是一條具有一正一負(fù)兩個(gè)峰值的曲線。Zhao等[14]進(jìn)行考慮溫度作用下的懸索非線性振動(dòng)研究，發(fā)現(xiàn)其調(diào)諧相位圖中存在多值。Kim等[15]的研究則表明施工過程中斜拉橋的最大懸臂端的豎向振動(dòng)與斜拉索振動(dòng)也有相位差存在。

可見，懸索相頻特性與激勵(lì)及其頻率密切相關(guān)。但上述研究中的相頻特性均指方程線性解中的相移值，當(dāng)激勵(lì)頻率不變時(shí)，該相移值為恒定常數(shù)。而在非線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)響應(yīng)不僅包含其線性項(xiàng)，還有多個(gè)高階近似項(xiàng)。當(dāng)高階項(xiàng)對(duì)響應(yīng)的影響較大時(shí)，將使得響應(yīng)相位隨時(shí)間呈周期變化[16]，即：系統(tǒng)某個(gè)瞬時(shí)的相位在逐漸變化。

分布激勵(lì)和端部激勵(lì)是兩種典型的激勵(lì)形式。為探明兩種激勵(lì)下懸索的瞬時(shí)相頻特性的異同，本文分別建立了面內(nèi)分布激勵(lì)和端部激勵(lì)作用下的懸索模型。采用多尺度法求解系統(tǒng)在不同參數(shù)下的響應(yīng)，利用Hilbert變換得到瞬時(shí)相位，進(jìn)一步對(duì)比分析響應(yīng)的激勵(lì)相位差幅值在λ2-Ω平面內(nèi)的分布規(guī)律。

1 力學(xué)模型

1.1 基本假定

懸索簡(jiǎn)化模型,如圖1所示。研究懸索分別在分布激勵(lì)和端部激勵(lì)下非線性振動(dòng)的相頻特性。假設(shè)分布與端部激勵(lì)的激勵(lì)頻率大小一致，考慮到精簡(jiǎn)符都采用激勵(lì)頻率Ω。懸索模型中設(shè)分布激勵(lì)幅值為F；端部激勵(lì)面內(nèi)橫向激勵(lì)幅值為ub，豎向激勵(lì)幅值為vb，端部激勵(lì)的面內(nèi)橫向位移Ub(t)，豎向位移Vb(t)，取索長(zhǎng)l和垂度d。考慮到懸索振動(dòng)方向與端部激勵(lì)方向的一致性，此處僅需建立局部振動(dòng)坐標(biāo)系o-xy(見圖 1)，其中：坐標(biāo)原點(diǎn)o為左端錨固點(diǎn)；x為懸索的索向坐標(biāo)；y為索面內(nèi)垂直索向下的坐標(biāo)。另外，各方向?qū)?yīng)位移分別用u，v表示。假設(shè)：①懸索的抗彎剛度足夠小以至于可以忽略不計(jì)；②懸索只承受拉力；③懸索在振動(dòng)過程中的軸向應(yīng)變足夠??；④只考慮幾何非線性，不考慮其他非線性。

圖1 水平懸索動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of horizontal suspended cables

1.2 動(dòng)力平衡方程

考慮懸索的幾何非線性及懸索兩端鉸接，基于Hamilton變分原理，考慮懸索的垂度，得到運(yùn)動(dòng)方程。在準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)下，忽略u(píng)軸向加速度和速度項(xiàng)，即不考慮軸向振動(dòng)，其后考慮邊界條件得到位移u(x,t)[17]，對(duì)方程進(jìn)行約化可得到其面內(nèi)分布激勵(lì)非線性動(dòng)力平衡方程[18]為

其中用到的無量綱變換如下(為書寫方便*已經(jīng)省略)

式中：“′”為對(duì)坐標(biāo)x求導(dǎo)；“·”為對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)；m為拉索單位長(zhǎng)度質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；H為拉索索力；E為彈性模量；A為截面積；y=4(d/l)x(1-x)為拉索靜態(tài)構(gòu)型。

同理，可得到其面內(nèi)端部激勵(lì)非線性動(dòng)力平衡方程[19]為

其中

U(t)=ubcosΩt×cosθ-vbsinΩt×sinθ

式中，θ為拉索的傾角，但是因懸索中的傾角為0，式(2)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)只跟軸向激勵(lì)有關(guān)項(xiàng)，即

U(t)=ubcosΩt

1.3 離散化模型

1.3.1 分布激勵(lì)

分布激勵(lì)下振動(dòng)模型如圖 1(a)所示，已知懸索邊界條件為

v(0,t)=0，v(l,t)=0

在分布外激勵(lì)作用下，懸索振動(dòng)位移被認(rèn)為是由純模態(tài)振動(dòng)產(chǎn)生，因此令

(3)

式中：Φk為懸索第k階振動(dòng)模態(tài)；qk為懸索面內(nèi)振動(dòng)的第k個(gè)廣義時(shí)間坐標(biāo)。其第k階面內(nèi)正對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)函數(shù)[20]為

(4)

式中，h為附加索力軸向分力。

利用Galerkin方法可得

其中

1.3.2 端部激勵(lì)

端部激勵(lì)下振動(dòng)模型如圖 1(b)所示，已知懸索邊界條件為

v(0,t)=0，v(l,t)=Vb(t)

端部激勵(lì)作用下，懸索振動(dòng)位移被認(rèn)為是由純模態(tài)振動(dòng)與靜位移產(chǎn)生，因此令

(6)

利用Galerkin方法進(jìn)行模態(tài)截?cái)嗟玫?/p>

(7)

其中

Δ=2A(t)+L2(t),A(t)=U(t)=ubcosΩt，

2 攝動(dòng)分析

2.1 分布激勵(lì)

基于多尺度法求得近似解并令其為

q(t,ε)=εq0(T0,T1,T2)+ε2q1(T0,T1,T2)+ε3q2(T0,T1,T2)

(8)

(9)

(10)

可解得式(8)近似解為

q0=A1(T1,T2)exp(iωkT0)+cc

(11)

將式(11)代入式(9)，同時(shí)令長(zhǎng)期項(xiàng)為零[21]

D1A=0

(12)

可解得

(13)

其中

將式(13)和式(11)代入式(10)得到關(guān)于q2的長(zhǎng)期項(xiàng)

式(5)的二階近似解為

q=εacos(Ωt-γ)+

(16)

2.2 端部激勵(lì)

同理采用多尺度法求解端部激勵(lì)下面內(nèi)振動(dòng)微分方程。按照ε的冪次進(jìn)行整理，得面內(nèi)方程。

(17)

(18)

(19)

可解得式(17)近似解為

q0=A1(T1,T2)exp(iωkT0)+cc

(20)

將式(20)代入式(18)，同時(shí)令長(zhǎng)期項(xiàng)為零得到[22]

-2iωkD1A1+feiσT1=0

(21)

式中，f為與端部激勵(lì)相關(guān)的項(xiàng)

且得到高階近似項(xiàng)為

(22)

將式(20)和式(22)代入式(19)得到q2的長(zhǎng)期項(xiàng)

(23)

同理，結(jié)合式(21)與式(23)，可得平均方程

式(7)的二階近似解為

q=εacos(Ωt-γ)+

(25)

3 數(shù)值分析

為研究在漂移項(xiàng)及高階項(xiàng)存在的情況下懸索相頻特性，利用MATLAB軟件對(duì)懸索在分布激勵(lì)和端部激勵(lì)下進(jìn)行數(shù)值分析，取索參數(shù)如表1所示。

表1 索參數(shù)[23]Tab.1 Cable parameters

3.1 分布激勵(lì)

3.1.1 時(shí)程曲線

為使結(jié)果一般化，取無量綱分布激勵(lì)頻率Ω=1.0，激勵(lì)幅值F=0.01。參照以往理論的取值范圍，然后從小到大依次取索力為5 500 kN，6 500 kN，7 500 kN，8 500 kN和9 500 kN，相應(yīng)的垂跨比為0.013 1，0.011 1，0.009 6，0.008 5，0.007 6。為使結(jié)果更具有一般性和代表性，引進(jìn)與垂跨比相關(guān)的λ2參數(shù)。圖 2中給出與上述5組垂跨比對(duì)應(yīng)的λ2值5.07，3.91，3.07，2.68，2.00，并且繪畫出相關(guān)λ2值懸索的響應(yīng)時(shí)程曲線。

從圖 2(a)中可以看出在λ2為2.68，2.00時(shí)的響應(yīng)時(shí)程曲線比較接近，并且不難發(fā)現(xiàn)，圖 2中各λ2下時(shí)程曲線均存在向下漂移，這是因?yàn)榻平庵械钠祈?xiàng)所引起的。對(duì)比圖 2(a)中各λ2下時(shí)程曲線線型，可明顯觀察到當(dāng)λ2=5.07和λ2=3.91時(shí)，時(shí)程曲線下波峰線形發(fā)生變化。圖 2(a)中λ2=2.68，λ2=2.00和λ2=5.07，λ2=3.91的曲線相比，后兩個(gè)λ2的曲線下波峰段較為平緩。在圖 2(b)λ2=3.07時(shí)響應(yīng)曲線線型變化更為明顯，時(shí)程曲線整體下移至負(fù)軸，下波峰段向上突起，這是因?yàn)檫@3個(gè)λ2參數(shù)下的二倍頻項(xiàng)對(duì)懸索振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生較大影響所致。

圖2 不同λ2下的時(shí)程曲線圖Fig.2 Time history curves for different λ2

當(dāng)時(shí)程曲線線型發(fā)生改變，瞬時(shí)相位也會(huì)受到影響。因二倍頻項(xiàng)在λ2=5.07和λ2=3.07下對(duì)懸索振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生不一致的影響，為進(jìn)一步分析原因，分別對(duì)其的響應(yīng)與激勵(lì)的時(shí)程曲線進(jìn)行Hilbert變換得到瞬時(shí)相位，再對(duì)同一時(shí)刻的響應(yīng)瞬時(shí)相位與激勵(lì)瞬時(shí)相位做差得到響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差值?？紤]差值在[-π, π]變化，以無量綱時(shí)間為橫坐標(biāo)，瞬時(shí)相位差為縱坐標(biāo)，繪制出如圖 3所示瞬時(shí)相位差的時(shí)程曲線。

圖3 瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線Fig.3 Instantaneous phase difference time histories curve

為求得響應(yīng)瞬時(shí)相位，且體現(xiàn)其一般性，定義無量綱參數(shù)為

(26)

式中，Δp為拉索響應(yīng)瞬時(shí)相位與激勵(lì)瞬時(shí)相位之差。

瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線的周期與時(shí)程曲線的周期相同。由圖 3可知，響應(yīng)與激勵(lì)瞬時(shí)相位差隨著時(shí)間不再是一個(gè)定值，這是受近似解中二倍頻項(xiàng)與漂移項(xiàng)的影響。當(dāng)λ2=5.07時(shí)，瞬時(shí)相位差波動(dòng)峰值僅為0.26，且變化波形較為平緩；當(dāng)λ2=3.91時(shí)，峰值接近0.96，即瞬時(shí)相位差值接近π，同時(shí)峰值附近瞬時(shí)相位差具有明顯突變。圖 3中的瞬時(shí)相位以原平衡位置為基準(zhǔn)，瞬時(shí)相位差較大值出現(xiàn)在上波峰處，由于漂移項(xiàng)的影響使得響應(yīng)與激勵(lì)的振動(dòng)中線分離，從而進(jìn)一步導(dǎo)致瞬時(shí)相位差的增大。

通過求解空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡來獲得懸索的運(yùn)動(dòng)情況，取圖 2中較為典型的3個(gè)不同的λ2參數(shù)，這3個(gè)參數(shù)具有較大的差距時(shí)程曲線，即對(duì)λ2=3.91，λ2=3.07和λ2=2.68的q(t)進(jìn)行Hilbert變換。通過繪制復(fù)平面圖和瞬時(shí)相位差幅值的時(shí)程曲線圖來分析激勵(lì)與響應(yīng)的瞬時(shí)相位差的變化特性以及最大瞬時(shí)相位差的原因，如圖 4所示。

圖4 復(fù)平面圖及瞬時(shí)相位時(shí)程圖Fig.4 Complex plane diagram and instantaneous phase time histories graph

對(duì)應(yīng)點(diǎn)隨著時(shí)間的變化繞著響應(yīng)曲線轉(zhuǎn)動(dòng)，瞬時(shí)相位具有周期性。圖 4(a)為λ2=3.91的復(fù)平面圖及瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線圖，由于響應(yīng)振動(dòng)存在較大的漂移，從而使得響應(yīng)投影曲線向左移動(dòng)，進(jìn)而引起瞬時(shí)相位差的產(chǎn)生。如圖 4(b)所示，當(dāng)λ2=3.07時(shí)復(fù)平面圖中響應(yīng)投影曲線左端出現(xiàn)小“圓環(huán)”，對(duì)應(yīng)著響應(yīng)時(shí)程曲線的下波峰，可見這是受二倍頻的影響，當(dāng)二倍頻系數(shù)越大，小“圓環(huán)”越明顯。同時(shí)響應(yīng)投影曲線向左平移至二三象限使得響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位在右端點(diǎn)上產(chǎn)生較大的相位差，瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線出現(xiàn)突變點(diǎn)。如圖 4(c)所示，當(dāng)λ2= 2.68時(shí)，最大瞬時(shí)相位差小于0.2π，可見此參數(shù)下響應(yīng)與激勵(lì)不會(huì)產(chǎn)生較大的瞬時(shí)相位差。

3.1.2 最大瞬時(shí)相位差的分布

為便于進(jìn)一步對(duì)p的幅值進(jìn)行研究，再定義一個(gè)新的無量綱參數(shù)

(27)

式中，Δpmax為懸索響應(yīng)瞬時(shí)相位與激勵(lì)相位之差Δp的幅值。后續(xù)分析中均考察pmax的分布規(guī)律用以討論不同參數(shù)下的懸索的瞬時(shí)相頻特性。

采用MATLAB軟件對(duì)懸索在分布激勵(lì)下的主共振響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析。通過改變懸索的λ2與激勵(lì)頻率Ω獲得對(duì)應(yīng)的時(shí)程數(shù)據(jù)，其中λ2變化范圍為1～6，間隔為1.0；激勵(lì)頻率Ω的變化范圍為0.90～1.35，間隔為0.01。對(duì)不同參數(shù)下的時(shí)程數(shù)據(jù)和激勵(lì)時(shí)程數(shù)據(jù)分別進(jìn)行Hilbert變換來得到兩者的瞬時(shí)相位差。

圖 5為分布激勵(lì)下最大相位差pmax在λ2-Ω平面內(nèi)分布的等高線圖。其中，圖 5(a)為λ2在1～6內(nèi)的整體圖像，圖 5(b)為λ2在2.81～3.37內(nèi)的局部放大圖，為保證圖像的準(zhǔn)確性，數(shù)值計(jì)算時(shí)對(duì)點(diǎn)進(jìn)行了加密計(jì)算。由整體圖可知，pmax在λ2≈3.0的狹小區(qū)間內(nèi)有突變，數(shù)值接近1，即相位差接近π；而在其他區(qū)間pmax數(shù)值均在0.5以下。由局部放大圖可知，等高線圖以λ2=3.06為界，其左右兩邊的pmax變化趨勢(shì)大致成反對(duì)稱分布。當(dāng)λ2<3.06時(shí)，同一λ2參數(shù)下pmax隨Ω增大而增大；而在λ2>3.06時(shí)，變化趨勢(shì)相反。另外，由局部放大圖還可看出，pmax接近1的區(qū)域會(huì)隨λ2和Ω的關(guān)系而變化，大致以Ω=-0.96λ2+4.06和λ2=3.06兩條直線的交點(diǎn)為中心(對(duì)應(yīng)Ω=1.12)，沿Ω=-0.96λ2+4.06逐漸變寬。

圖5 分布激勵(lì)下λ2-Ω平面內(nèi)的pmax等高線圖Fig.5 pmax contour map in λ2-Ω plane under external excitation

為更清楚的進(jìn)行對(duì)比，取Ω=0.95，1.10和1.25時(shí)pmax隨λ2參數(shù)的變化曲線繪于圖 6。由圖 6可知，3種激勵(lì)頻率Ω下Pmax在λ2=3.06附近時(shí)均突然增大，且其峰值隨Ω增大而往λ2負(fù)方向移動(dòng)。

圖6 分布激勵(lì)作用下的pmax-λ2曲線Fig.6 pmax-λ2 curves under external excitation

3.2 端部激勵(lì)下的最大瞬時(shí)相位差

類似的，對(duì)端部激勵(lì)下的時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行Hilbert變換，得到最大瞬時(shí)相位差隨λ2及激勵(lì)頻率Ω的變化曲線圖，如圖 7所示。相比分布激勵(lì)，端部激勵(lì)下的pmax在λ2-Ω平面上的所有區(qū)域內(nèi)的數(shù)值均較小，其最大值僅約為0.3，且僅集中出現(xiàn)在λ2≈3.0且Ω≈1.12附近的很小區(qū)域內(nèi)。將λ2在2.59～3.39的區(qū)域加密再局部放大，得到右側(cè)的局部放大圖如圖 7(b)。可見，pmax≈0.3的區(qū)域很小。pmax的等高線圖變化趨勢(shì)也大致關(guān)于λ2=3.06呈反對(duì)稱分布。

圖7 端部激勵(lì)下λ2-Ω平面內(nèi)的pmax等高線圖Fig.7 pmax contour map in λ2-Ω plane under end excitation

圖 8為無量綱端部激勵(lì)頻率為1.00，1.12和1.27時(shí)的瞬時(shí)相位差幅值隨λ2參數(shù)的變化曲線。由圖 8可見，僅在激勵(lì)頻率Ω=1.12的pmax曲線出現(xiàn)突增，峰值接近0.3，其他激勵(lì)頻率下pmax數(shù)值變化較小，最大值不超過0.1。

圖8 端部激勵(lì)作用下的pmax-λ2曲線Fig.8 The pmax-λ2 curves under end excitation

3.3 對(duì)比分析

從以上pmax的等高線圖來看，無論分布激勵(lì)還是端部激勵(lì)，在λ2-Ω的參數(shù)平面內(nèi)，響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差幅值均會(huì)在λ2≈3.0附近某一個(gè)狹小的區(qū)域內(nèi)發(fā)生突變，且從局部看均存在反對(duì)稱分布規(guī)律。不同之處在于，分布激勵(lì)下pmax整體上大于端部激勵(lì)下的情形，前者最大值約為1，后者最大值僅為0.3；前者分布于λ2≈3.0的一個(gè)狹長(zhǎng)的帶域附近，而后者分布在λ2≈3.0且Ω≈1.12的一個(gè)點(diǎn)域附近。另外，結(jié)合等高線圖和pmax-λ2曲線圖還可以看出，懸索受不同類型激勵(lì)作用時(shí)，激勵(lì)頻率變化對(duì)瞬時(shí)相位差產(chǎn)生的影響并不同。

從解析式表達(dá)式來看，分布激勵(lì)和端部激勵(lì)的近似解式(16)和式(25)的形式是一致的，導(dǎo)致兩者響應(yīng)及其相位差不同的原因是：分布激勵(lì)和端部激影響了長(zhǎng)期項(xiàng)的形式，從而導(dǎo)致響應(yīng)幅值的變化。這可以由式(12)與式(21)看出，式(21)中多了與端部激勵(lì)相關(guān)的項(xiàng)feiσT1；同時(shí)，式(14)與式(23)對(duì)比，式(14)中多出0.5FeiσT1一項(xiàng)。因此，分離實(shí)、虛部后的方程不同。得到的頻率響應(yīng)方程式(15)和式(24)雖在結(jié)構(gòu)上類似，但右邊項(xiàng)不同，所以響應(yīng)振幅a不同，導(dǎo)致高階近似解的漂移項(xiàng)和二倍頻項(xiàng)不同，進(jìn)而出現(xiàn)不同的相頻特性。

3.4 討 論

(1)瞬時(shí)相頻特性本質(zhì)上是非線性效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)固有頻率的調(diào)制作用，即：系統(tǒng)非線性固有頻率隨時(shí)間變化，因而響應(yīng)的頻率并非時(shí)時(shí)等于激勵(lì)頻率，體現(xiàn)為“瞬時(shí)”性和“周期”性。

(2)瞬時(shí)相頻特性對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，便是瞬時(shí)頻率，而后者與懸索瞬時(shí)索力間存在確定性關(guān)系。因此，兩種類型激勵(lì)下，懸索瞬時(shí)相頻特性pmax在λ2-Ω平面內(nèi)分布上的差異，可能對(duì)其動(dòng)態(tài)最大索力的研究有借鑒意義，值得后續(xù)開展深入研究。

(3)由于瞬時(shí)相頻特性是各個(gè)時(shí)刻相位的真實(shí)反映，因此其也是研究斜拉橋等結(jié)構(gòu)中具有相近參數(shù)拉索間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。

4 結(jié) 論

(1)考慮高階近似項(xiàng)的影響后，響應(yīng)與激勵(lì)瞬時(shí)相位差不再是與時(shí)間無關(guān)的定值γ，而是隨時(shí)間成周期變化。

(2)瞬時(shí)相位差產(chǎn)生的原因，一是漂移項(xiàng)導(dǎo)致復(fù)平面偏移，從而影響瞬時(shí)相位差最大值；二是二倍頻的存在導(dǎo)致復(fù)平面曲線圈線形發(fā)生改變，從而影響瞬時(shí)相位變化規(guī)律。

(3)懸索在分布激勵(lì)與端部激勵(lì)作用下，響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差幅值pmax均會(huì)在λ2≈3.0且Ω≈1.12為中心的局部范圍內(nèi)突然增大，且近似在λ2-Ω平面內(nèi)呈反對(duì)稱分布。但是，前者突變的范圍呈現(xiàn)在λ2≈3.0的狹長(zhǎng)帶域內(nèi)，而后者集中在該中心點(diǎn)附近。另外，量值上分布激勵(lì)下的pmax約為1，而端部激勵(lì)下僅為0.3。