基于矩的傳遞函數(shù)模型的“不兼容”非高斯風(fēng)壓過程模擬研究

吳鳳波， 姜 言， 彭留留， 吳 波， 羅 穎

(1. 重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；2. 西南大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，重慶 400700； 3. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400044；4. 長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410015)

風(fēng)壓通常被用于建筑結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計(jì)，特別是建筑圍護(hù)結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)設(shè)計(jì)。研究表明，建筑迎風(fēng)區(qū)域的風(fēng)壓可以用高斯分布進(jìn)行描述，而分離區(qū)處的風(fēng)壓常常具有顯著的非高斯特性[1-3]。結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)非線性分析通常需要較長風(fēng)壓時(shí)程，因此準(zhǔn)確模擬非高斯風(fēng)壓對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)設(shè)計(jì)十分重要。

由于簡便性，傳遞過程法被廣泛用于非高斯風(fēng)壓的模擬[4-7]。傳遞過程法的思想是將非高斯過程表示為高斯過程的函數(shù)，該函數(shù)通常被稱為傳遞函數(shù)。Winterstein[8]研究表明，非高斯過程可顯式地表示為對(duì)應(yīng)高斯過程的Hermite多項(xiàng)式，因而Hermite多項(xiàng)式模型(Hermite polynomial model,HPM)被廣泛用于非高斯風(fēng)壓的模擬[9]和極值估計(jì)[10]。由于傳遞函數(shù)具有單調(diào)性的要求，HPM具有一定范圍的可行區(qū)。這就意味著，對(duì)于不在HPM可行區(qū)內(nèi)的非高斯風(fēng)壓，HPM不再適用。最近，Johnson轉(zhuǎn)換模(Johnson transformation model,JTM)[11]由于具有比HPM更大的可行區(qū)而被用作傳遞函數(shù)。Wu等[12]圍繞HPM和JTM在非高斯風(fēng)壓模擬方面進(jìn)行了系統(tǒng)的對(duì)比研究，研究表明HPM和JTM對(duì)弱非高斯風(fēng)壓的模擬效果較好，而對(duì)強(qiáng)非高斯風(fēng)壓的模擬效果不佳。HPM和JTM的模型參數(shù)通?？苫诜歉咚惯^程前4階統(tǒng)計(jì)矩(均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度)進(jìn)行估計(jì)，因而又被稱為基于矩的傳遞函數(shù)模型。

首先，本文介紹了HPM和JTM兩個(gè)模型；其次，給出了兩個(gè)模型模擬“不兼容”非高斯風(fēng)壓的方法；隨后從理論上對(duì)比了兩個(gè)模型模擬非高斯風(fēng)壓時(shí)出現(xiàn)不兼容情況的異同；最后，基于數(shù)值案例對(duì)兩種模型模擬“不兼容”非高斯風(fēng)壓的效果進(jìn)行了系統(tǒng)的對(duì)比和評(píng)估。

1 基于矩的傳遞函數(shù)模型

1.1 HPM模型

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程Y(t)的峰度大于3時(shí)，Y(t)可表示為相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)高斯過程Z(t)的Hermite多項(xiàng)式函數(shù)

(1)

式中，κ，h3和h4為模型系數(shù)，可根據(jù)Y(t)的偏度和峰度進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)公式見文獻(xiàn)[13]。

當(dāng)Y(t)的峰度小于3時(shí)，它可表示為[14]

(2)

式中，a′=b3/(3b4)；c′=(b′-a′2)3；b′=(b2-b3α3-b4α4)/(3b4)，b2,b3,b4為模型系數(shù)，可根據(jù)Y(t)的偏度和峰度進(jìn)行估計(jì)，其估計(jì)公式見Ding等的研究，其中α3和α4分別為偏度和峰度。

由于傳遞函數(shù)需要滿足單調(diào)性的要求，因此HPM具有一定的可行區(qū)，如圖1所示。對(duì)于軟化過程，HPM可行區(qū)可表示為

3+(1.25α3)2≤α4

(3)

對(duì)于硬化過程，HPM可行區(qū)可表示為

1.25+(1.35α3)2≤α4

(4)

1.2 JTM模型

Johnson基于中心極限定理提出一種能夠?qū)?biāo)準(zhǔn)高斯過程Z(t)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程Y(t)的四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型，該模型被稱為Johnson轉(zhuǎn)化模型(JTM)。一般地，JTM可表示為

(1) 無界轉(zhuǎn)換模型，SU

y=g(z)=ε+λsinh[(z-γ)/η]

(5)

(2) 有界轉(zhuǎn)換模型，SB

y=g(z)=ε+λ{(lán)1+exp[(γ-z)/η]}-1

(6)

(3) 對(duì)數(shù)正態(tài)轉(zhuǎn)換模型，SL

y=g(z)=ε+λexp[(z-γ)/η]

(7)

式中：ε和γ為控制Johnson曲線位置的參數(shù)；λ和η為控制JTM曲線尺度的參數(shù)，其值總是大于零。這4個(gè)參數(shù)可基于標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程Y(t)的偏度和峰度經(jīng)迭代計(jì)算獲得，具體詳情可見Wu等的研究。

SL轉(zhuǎn)換的可行區(qū)是偏度-峰度圖中的一條曲線，該曲線的閉合表達(dá)式為

(8)

α4=w4+2w3+3w2-3

(9)

式中，w=exp(η-2)。

圖1 HPM和JTM模型的適用范圍Fig.1 Application range of HPM and JTM models

2 “不兼容”非高斯風(fēng)壓過程的模擬

2.1 基于譜的高斯風(fēng)壓模擬方法

本文主要運(yùn)用譜表示法進(jìn)行高斯隨機(jī)過程的模擬。譜表示法是一種利用譜分解和三角函數(shù)技術(shù)疊加來模擬隨機(jī)過程樣本的方法。以一維單變量零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程為例，該方法可表示為[15]

(10)

Al=[2SZ(ωl)Δω]1/2,l=0,1,…,N-1

(11)

ωl=lΔω,l=0,1,2,…,N-1

(12)

Δω=ωu/N

(13)

2.2 相關(guān)函數(shù)偏離關(guān)系

在模擬得到高斯過程樣本后，將這些樣本通過傳遞函數(shù)HPM或JTM即可得到相應(yīng)的非高斯過程樣本。但模擬前我們往往只知道非高斯過程的功率譜或相關(guān)函數(shù)，且高斯過程相關(guān)函數(shù)與非高斯過程相關(guān)函數(shù)存在偏差。因此，我們需要先基于非高斯過程Y(t)的功率譜或相關(guān)函數(shù)得到相應(yīng)高斯過程的功率譜或相關(guān)函數(shù)。

Grigoriu給出了標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)ρNG(τ)為

(14)

式中，z1=z(t)，z2=z(t+τ)，φ[z1,z2;ρG(τ)]為二元標(biāo)準(zhǔn)高斯向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，其表達(dá)式為

(15)

式(14)通常被稱為相關(guān)函數(shù)偏離關(guān)系，已知ρNG(τ)，通常情況下可通過迭代法(如牛頓迭代法)求解相關(guān)函數(shù)偏離關(guān)系來獲得ρG(τ)。然而，當(dāng)由JTM或HPM表示的概率分布與指定的標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程功率譜SY(ω)“不兼容”時(shí)，式(14)的解不存在。下面就“不兼容”情況展開詳細(xì)說明。

2.3 “不兼容”非高斯過程的模擬方法

對(duì)于上述兩種不兼容情況，國內(nèi)外學(xué)者基于傳遞過程理論，提出了幾種獲得與非高斯過程概率分布兼容的功率譜的迭代方法。在這些方法中，Shields等[16]針對(duì)單變量模擬提出的迭代方法不僅精度高，而且計(jì)算效率高。因此，本文也采用該方法來評(píng)估HPM和JTM模擬“不兼容”非高斯風(fēng)壓的性能。該迭代方法可表示為

(16)

(17)

當(dāng)?shù)a(chǎn)生的誤差變化很小時(shí)，迭代結(jié)束。

2.4 “不兼容”非高斯過程的模擬流程

假定非高斯過程X(t)的前4階矩分別為μX，σX，α3X和α4X，X(t)的相關(guān)函數(shù)記為RX(τ)。基于HPM或JTM模擬非高斯過程X(t)的步驟如下。

步驟1標(biāo)準(zhǔn)化X(t)以獲得標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程Y(t)，則μY=0；σX=1;α3Y=α3X;α4Y=α4X；ρNG(τ)=RY(τ)=

步驟2基于標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程Y(t)的前4階矩估計(jì)HPM和JTM模型參數(shù)，得到HPM和JTM傳遞函數(shù)。

步驟3采用傅里葉變換將ρNG(τ)轉(zhuǎn)化為功率譜，即獲得目標(biāo)功率譜SNG,Tg(ω)。

步驟4按照2.3節(jié)確定由HPM或JTM表示的非高斯過程概率分布與目標(biāo)非高斯過程功率譜是否存在不兼容。當(dāng)出現(xiàn)不兼容，按照以下步驟繼續(xù)模擬。

3 HPM和JTM的理論對(duì)比

圖2 HPM和JTM確定的非高斯過程相關(guān)函數(shù)最小值(軟化過程)Fig.2 The minimum values of the non-Gaussian correlation functions by HPM and JTM (softening process)

圖3 HPM和JTM確定的非高斯過程相關(guān)函數(shù)最小值(硬化過程)Fig.3 The minimum values of the non-Gaussian correlation functions by HPM and JTM (hardening process)

圖4 HPM與JTM確定的非高斯過程相關(guān)函數(shù)最小值間的相對(duì)差距Fig.4 The relative gap between the minimum value of the non-Gaussian correlation functions by HPM and JTM

其次，我們對(duì)比HPM和JTM出現(xiàn)第二類不兼容的情況。同第一類不兼容情況一樣，為了獲得較為全面的結(jié)論，我們針對(duì)軟化和硬化過程開展對(duì)比研究。同時(shí)，圖2和圖3表明基于式(14)獲得的相關(guān)函數(shù)對(duì)峰度不太敏感，而對(duì)偏度較為敏感，因此這里重點(diǎn)探討指定峰度下相關(guān)函數(shù)隨偏度變化而如何變化的問題。

參考Grigoriu，本文取標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程相關(guān)函數(shù)如下

(18)

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)軟化過程，給定非高斯過程相關(guān)函數(shù)，基于HPM或JTM采用式(14)經(jīng)迭代計(jì)算獲得指定峰度為22偏度分別為-0.5和-3.0的高斯過程相關(guān)函數(shù)ρG(τ)；對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)硬化過程，按照類似方法獲得指定峰度為2.5偏度分別為-0.3和-0.7的高斯相關(guān)函數(shù)ρG(τ)。獲得ρG(τ)后，采用傅里葉變換即可獲得高斯過程功率譜SG(ω)，如圖5所示。從圖5可知，偏度(絕對(duì)值)越大，基于HPM和JTM獲得的高斯過程功率譜最小值越小，即更易出現(xiàn)第二類不兼容情況。此外，基于HPM獲得的高斯過程功率譜最小值小于基于JTM獲得的相應(yīng)值，即HPM比JTM更易出現(xiàn)第二類不兼容情況。

圖5 HPM和JTM確定的高斯過程功率譜Fig.5 PSDs of the Gaussian process by HPM and JTM

4 數(shù)值案例

(19)

式中：φ和Φ分別為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)；ξ，δ和α分別為SG分布的位置、尺度和偏度參數(shù)。

SHS概率密度函數(shù)可表示為

p(x)=

(20)

式中,ξ，δ和α分別為SHS分布的位置、尺度和偏度參數(shù)。

本文將對(duì)3個(gè)偏度逐漸增大的非高斯過程進(jìn)行數(shù)值模擬，重點(diǎn)探討不同偏度對(duì)兼容性的影響，概率分布的參數(shù)信息，如表1所示。表1還列出了各分布的前4階矩，以便用于確定HPM和JTM模型參數(shù)。

參考Grigoriu的研究，本文取標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程的相關(guān)函數(shù)如下

(21)

式中，ω0>0， 0<χ<1。通過逆傅里葉變換可將ρNG轉(zhuǎn)化為目標(biāo)功率譜SNG,Tg。

本文考慮兩種相關(guān)函數(shù)，分別為窄帶過程(χ=0.02;ω0=1.0)和寬帶過程(χ=0.3;ω0=1.0)，見表1。將窄帶過程和寬帶過程對(duì)應(yīng)的χ和ω0代入式(21)，可計(jì)算出目標(biāo)相關(guān)函數(shù)ρNG(τ)的最小值分別為-0.94和-0.39。

表1 數(shù)值模擬案例參數(shù)取值Tab.1 Theparameter values of the numerical simulation cases

圖7對(duì)比了基于HPM和JTM迭代后獲得兼容的非高斯過程功率譜SNG和目標(biāo)功率譜SNG,Tg，其中誤差ε定義見式(17)。從圖7可知，基于JTM迭代產(chǎn)生的誤差ε整體比基于HPM迭代產(chǎn)生的誤差ε小一些。特別對(duì)于圖7(d)中的強(qiáng)寬帶非高斯過程，基于JTM獲得的非高斯功率譜比基于HPM獲得的功率譜更接近目標(biāo)功率譜。

圖6 基于傳遞函數(shù)模型迭代估計(jì)的高斯和非高斯過程的功率譜Fig.6 PSDs of the Gaussian and non-Gaussian processes by translation function models

基于迭代獲得的最終高斯功率譜SG進(jìn)行數(shù)值模擬。模擬中，取N=2 048，模擬樣本為100。對(duì)比了模擬的非高斯概率密度(所有樣本的均值)和目標(biāo)概率密度，如圖8所示。由圖8可知，基于JTM和HPM模擬的概率密度整體上與目標(biāo)值吻合較好，其中圖8(c)～圖8(d)表明基于JTM獲得的非高斯概率密度比基于HPM獲得的概率密度更接近目標(biāo)值。

圖7 基于轉(zhuǎn)換函數(shù)模型迭代估計(jì)的非高斯過程的功率譜Fig.7 PSDs of the non-Gaussian process by translation function models

圖8 基于轉(zhuǎn)換函數(shù)模型模擬的非高斯過程概率密度函數(shù)Fig.8 PDFs of the non-Gaussian process by translation function models

5 結(jié) 論

本文首先對(duì)HPM和JTM兩種傳遞函數(shù)模型進(jìn)行了介紹；其次，介紹了“不兼容”非高斯風(fēng)壓過程的模擬方法；然后，基于理論分析，針對(duì)軟化過程和硬化過程系統(tǒng)對(duì)比了HPM和JTM兩種模型出現(xiàn)第一類和第二類不兼容的情況；最后基于具體數(shù)值案例對(duì)HPM和JTM模擬“不兼容”非高斯過程做了系統(tǒng)評(píng)估。整個(gè)研究得出以下結(jié)論：

(1) 理論分析表明，基于HPM和JTM獲得的非高斯相關(guān)函數(shù)最小值對(duì)峰度值不太敏感，而對(duì)偏度較為敏感。隨著偏度值(絕對(duì)值)增加，基于HPM和JTM獲得的非高斯相關(guān)函數(shù)和高斯功率譜最小值增加，即HPM和JTM更易出現(xiàn)第一類不兼容；同時(shí)，基于HPM和JTM獲得的高斯過程功率譜最小值越小，即HPM和JTM更易出現(xiàn)第二類不兼容。

(2) 理論分析表明，對(duì)于軟化過程，在偏度-峰度坐標(biāo)系中的左上方或右上方局部區(qū)域里，JTM通常比HPM更易出現(xiàn)第一類不兼容情況；在靠近偏度-峰度坐標(biāo)系中可行區(qū)邊緣區(qū)域，HPM通常比JTM更易出現(xiàn)第一類不兼容情況。對(duì)于峰度大于2.2的強(qiáng)偏斜硬化過程，JTM通常比HPM更易出現(xiàn)第一類不兼容情況；而對(duì)于峰度小于2.2的強(qiáng)偏斜硬化過程，HPM通常比JTM更易出現(xiàn)第一類不兼容情況。

(3) 數(shù)值案例表明，相比HPM，基于JTM迭代獲得的非高斯功率譜更接近目標(biāo)值，即JTM模擬“不兼容”非高斯風(fēng)壓過程的總體效果比HPM稍好。

致謝

感謝國家自然科學(xué)基金(51908074)、重慶市自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(cstc2021jcyj-msxmX1141；CSTB2022NSCQ-MSX1349)和重慶市教育委員會(huì)科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJQN202200729)對(duì)本文的資助。