退化拋物型方程擴散系數(shù)識別的反問題

許 瑤 瑤

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

我們研究兩種退化拋物型方程的擴散系數(shù)識別的反演問題,主要討論一維線性方程.當(dāng)0<α<1時,弱退化方程如下:

(1)

當(dāng)1≤α<2時,強退化方程如下:

(2)

考慮并分析以下兩種類型的未知擴散系數(shù)識別的反演問題.

線性情況:給定α=1,反問題是根據(jù)在某一時刻的附加數(shù)據(jù)來識別常數(shù)系數(shù)a(x)≡a的,其中a是未知的正常數(shù).

冪指數(shù)型情況:給定a(x)=1,反問題是根據(jù)在某一時刻的附加數(shù)據(jù)來識別冪指數(shù)α∈(0,2)的.

近年來,退化拋物型方程由于其重要的相關(guān)理論分析和實際應(yīng)用而受到越來越多的關(guān)注,如氣候?qū)W[1]、種群遺傳學(xué)[2]、金融數(shù)學(xué)[3]、流體動力學(xué)[4]等.反問題是一種在Hadamard意義上不適定的問題[5-6],這意味著,要么解不存在,要么解不唯一,或者觀測數(shù)據(jù)的小誤差可能會導(dǎo)致解的計算出現(xiàn)巨大誤差.而對于討論解的唯一性和穩(wěn)定性的理論方法主要包括:能量方法和Hardy不等式,強極值原理[7],Laplace積分變換和其他類似的積分變換方法,以及Carleman不等式.

退化拋物型方程反問題具有重要的基礎(chǔ)意義和實際應(yīng)用.期權(quán)定價中著名的Black-Scholes方程:

就是一個退化拋物型方程,很顯然s=0是它的退化邊界.文獻[8]研究了利用市場觀測數(shù)據(jù)重構(gòu)隱含波動率σ的反問題.文獻[9]考慮退化拋物型方程的唯一延拓和近似能控型:

Lu:=ut+(xαux)x,Q=(0,1)×(0,T)，

邊界條件為u(0,t)=(xαux)(0,t)=0.推導(dǎo)出L新的局部Carleman估計得到唯一的延拓性結(jié)果并推導(dǎo)出弱退化問題的Dirichlet邊界控制的近似可控性;文獻[10]運用壓縮映射原理和基于預(yù)測-校正方法的數(shù)值算法分析了退化拋物型方程一階系數(shù)的反演問題;文獻[11]基于最優(yōu)控制理論來反演一類退化熱傳導(dǎo)方程中的與空間相關(guān)的熱源.

我們注意到對于確定非退化拋物型方程的電導(dǎo)率和輻射系數(shù)等空間變化系數(shù)的反問題已有大量的工作[12-13]；但大多數(shù)用于處理非退化拋物方程的方法不再適用于退化的情況,一般會將退化拋物型系數(shù)反演問題重新表述為極值問題,這是當(dāng)今經(jīng)典的方法并且已經(jīng)在許多情況下得到應(yīng)用[14-15].

本文結(jié)構(gòu)如下，第一節(jié)中,我們考慮正問題(1)和(2)的解的適定性;第二節(jié)第一部分使用能量方法證明了線性情況下常數(shù)系數(shù)a的Lipschitz穩(wěn)定性和唯一性結(jié)果;第二節(jié)第二部分將專門討論冪指數(shù)型情況下識別(1)和(2)中的α.同樣,冪指數(shù)α的Lipschitz穩(wěn)定性和唯一性將通過能量方法得到有效證明.

1 預(yù)備知識

本節(jié)中,我們將考慮與(1)和(2)有關(guān)的正問題的適定性.對于任意的l>0,令H=L2(0,l),對于α∈(0,2),我們考慮以下函數(shù)空間:

(3)

和

0<α<2.

現(xiàn)在將經(jīng)典的龐加萊不等式應(yīng)用于上述加權(quán)空間.

定理1(龐加萊不等式) 對于所有的ε>0,存在一個常數(shù)Cp=Cp(ε,l)>0，使得對所有的α∈[0,2-ε],以下不等式成立:

(4)

證明因為l>0是給定的,考慮以下兩種情況.

①假設(shè)α=1對于所有的x∈(0,l),有

因此,得到

②假設(shè)α≠1且α<2,有

因此,有

定理1得證.

(5)

問題(1)和(2)可以用抽象的形式重新表述

(6)

通過引入線性算子A:D(A)?H→H定義為

(7)

(8)

因此可以通過文獻[16]得到(6)和非齊次問題(9)的適定結(jié)果

(9)

定理2[16]假設(shè)(5),那么A是強連續(xù)收斂半群etA的無窮小生成元.而且etA是可解析的.因此對于任意的u0∈H,問題(6)的解u(x,t)=(etAu0)(x)滿足:

(i)u∈C([0,∞);H),

(iii)u(t)∈∩n≥1D(An)，?t>0.

此外,如果u0∈D((-A)1/2),那么對于任意的f∈L2(0,T;T)，則問題(9)有弱解

注u(t)∈H1(0,T;H)∩C([0,T];D((-A)1/2))∩L2(0,T;D(A))且對于幾乎所有的t∈[0,T],u(t)滿足(9)中的方程.

2 通過能量方法重構(gòu)

2.1 線性情況: 唯一性和Lipschitz穩(wěn)定性

(10)

當(dāng)a=ai時,令ui,i=1,2是(10)的解,也就是說

(11)

(12)

證明假設(shè)a2≥a1,令w=u1-u2.則

?tw+c(x)w-a1?x(x?xw)=(a1-a2)?x(x?xu2),

兩邊同乘u2并分部積分,我們得到

又因為c(x)是有界函數(shù)且c(x)≤m,則

顯然,由上述定理的證明,可以推導(dǎo)出下列唯一性結(jié)果.

2.2 冪指數(shù)型情況:唯一性和Lipschitz穩(wěn)定性

本節(jié)中,我們考慮退化拋物型方程(1)和(2)中的冪α的反問題.首先為了簡單起見，令a(x)≡1和f≡0,則方程(1)和(2)可分別改寫為:弱退化方程(0<α<1)

(13)

和強退化方程(1≤α<2)

(14)

在這一節(jié)中，我們分析(13)和(14)中冪α的唯一性和穩(wěn)定性,從唯一性結(jié)果開始分析.

定理4假設(shè)0

證明為了不失一般性,假設(shè)α1<α2,設(shè)w(x,t)=u2(x,t)-u1(x,t)，則

?tw+c(x)w-?x(xα2?xw)=
?x((xα2-xα1)?xu1),

(15)

兩邊同乘u1并分部積分,得到

(16)

由假設(shè)可知，存在t0∈(0,T]，使得?tw(·,t0)=w(·,t0)=0.那么,由式(16)有

又因為對于所有的x∈(0,l),有xα1>xα2,通過上式可得，對于幾乎所有的x∈(0,l)，

?xu1(·,t0)=0.

利用拋物型方程逆時問題解的唯一性，可知u0=0,與定理假設(shè)矛盾.故α1=α2.定理4得證.

定理5(Lipschitz穩(wěn)定性)假設(shè)00，

(17)

那么存在一個正常數(shù)C=C(ε,l,m)>0使得

其中α1∨α2=max{α1,α2}.

注定理5中，假設(shè)0

首先,令w(x,t)=u2(x,t)-u1(x,t).通過式(15)和(16),我們觀察到

另一方面,有

(18)

下面,通過式(16)知，

故由龐加萊不等式(4)，可以得到

則由式(18)和(19)可知

則定理5成立.